{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:\nsin\ncos\nx\nx\n2\n1\n2\n2 -\n= . Oblicz sumę\nwszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału\n,0 32r .\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n9\n10\nMaks. liczba pkt\n3\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:\nsin\ncos\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n. Oblicz sumę\nwszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału\n,0 32r .\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR6.6. Trygonometria.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.\nP5.3. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów: pierwszy to ustalenie rozwiązań równania\ntrygonometrycznego, a drugi - wyznaczenie sumy wszystkich rozwiązań równania należących do\nprzedziału\n,0 32r .\nRealizacja pierwszego etapu\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.\nsin\ncos\nsin\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n4\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\n7 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSzkicujemy wykres funkcji sinus, by wyznaczyć wszystkie rozwiązania ostatniej alternatywy.\nZatem wszystkie rozwiązania równania możemy zapisać w postaci: x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą.\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.\nsin\ncos\ncos\nsin\ncos\ncos\ncos\ncos\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nk\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n2\n0\n2\n2\n2\n2\nr\nr\nStąd x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nRealizacja drugiego etapu\nSpośród rozwiązań równania należących do przedziału\n,0 32r wybieramy najmniejsze - jest to\nx\n4\n0\nr\n(dla k = 0). Ponieważ każde dwa sąsiednie rozwiązania równania różnią się o 2\nr , więc dla\nkolejnych liczb naturalnych k tworzą one rosnący ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz a\n4\n1\nr\n,\na różnica r\n2\nr\n. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:\na\nn\nn\n4\n1\n2\n2\n4\nn\n$\nr\nr\nr\nr\nh\nWyznaczamy liczbę wyrazów tego ciągu znajdujących się w przedziale\n,0 32r\na\n32\nn G\nr\nn\n2\n4\n32\nG\nr\nr\nr\nPo przekształceniu nierówności otrzymujemy warunek:\n,\nn\n64 5\nG\n,\nwięc\n, , , ,\nn\n1 2 3\n64\n! \"\n,.\nZatem 64 początkowe wyrazy ciągu an\nh należą do przedziału\n,0 32r . Obliczamy ich sumę.\nS\n2\n2 4\n63 2\n64\n1024\n64\n$\n$\n$\nr\nr\nr\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający przekształci równanie do postaci:\nsinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nalbo\ncos x\n2\n0\nx\ny\nπ\n2π\n0\n1\n-1\n4\nπ\n4\nπ\n2\nπ\n2\nπ\n4\n3π\n4\n3π\n4\n5π\n2\n3π\n4\n7π\n4\n9π\n8 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n3 pkt\nZdający poda rozwiązania równania, np. w postaci: x\nk\n4\n2\n$\nr\nr\n, gdzie k jest liczbą całkowitą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n4 pkt\nZdający obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego należących do przedziału\n,0 32r : n\n64\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający obliczy sumę wszystkich rozwiązań równania trygonometrycznego należących do przedziału\n,0 32r : S\n1024\n64\nr\nUwagi\n1. Jeżeli zdający w wyniku przekształceń zapisze tylko jedno z równań sinx\n2\n2\nalbo sinx\n2\n2\n,\npoda poprawne rozwiązania tego równania i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje\n1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poda poprawnie rozwiązania tylko jednego z równań: sinx\n2\n2\nlub sinx\n2\n2\nalbo zapisze równość x\nk\n2\n2\nr\nr\ni stąd błędnie wyznaczy rozwiązania równania, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający rozwiąże tylko jedno z równań sinx\n2\n2\n, sinx\n2\n2\nalbo z każdego\nz wymienionych równań poda tylko jedną serię wyników i konsekwentnie - stosując własności ciągu\narytmetycznego - obliczy sumę wszystkich rozwiązań należących do przedziału\n,0 32r , to otrzymuje\n3 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (0-5)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:
sin
cos
x
x
2
1
2
2 -
= . Oblicz sumę
wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału
,0 32r .
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
9
10
Maks. liczba pkt
3
5
Uzyskana liczba pkt

\n

8 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-5)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie:
sin
cos
x
x
2
2
1
2
. Oblicz sumę
wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału
,0 32r .
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
R6.6. Trygonometria.
Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.
P5.3. Ciągi.
Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego.
Przykładowe rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów: pierwszy to ustalenie rozwiązań równania
trygonometrycznego, a drugi - wyznaczenie sumy wszystkich rozwiązań równania należących do
przedziału
,0 32r .
Realizacja pierwszego etapu
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.
sin
cos
sin
sin
sin
sin
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
1
2
1
4
2
4
2
2
2
2
2
2
h
sinx
2
2
lub sinx
2
2
7 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Szkicujemy wykres funkcji sinus, by wyznaczyć wszystkie rozwiązania ostatniej alternatywy.
Zatem wszystkie rozwiązania równania możemy zapisać w postaci: x
k
4
2
$
r
r
, gdzie k jest liczbą
całkowitą.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie.
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
r
r
Stąd x
k
4
2
$
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Realizacja drugiego etapu
Spośród rozwiązań równania należących do przedziału
,0 32r wybieramy najmniejsze - jest to
x
4
0
r
(dla k = 0). Ponieważ każde dwa sąsiednie rozwiązania równania różnią się o 2
r , więc dla
kolejnych liczb naturalnych k tworzą one rosnący ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz a
4
1
r
,
a różnica r
2
r
. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
a
n
n
4
1
2
2
4
n
$
r
r
r
r
h
Wyznaczamy liczbę wyrazów tego ciągu znajdujących się w przedziale
,0 32r
a
32
n G
r
n
2
4
32
G
r
r
r
Po przekształceniu nierówności otrzymujemy warunek:
,
n
64 5
G
,
więc
, , , ,
n
1 2 3
64
! "
,.
Zatem 64 początkowe wyrazy ciągu an
h należą do przedziału
,0 32r . Obliczamy ich sumę.
S
2
2 4
63 2
64
1024
64
$
$
$
r
r
r
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający przekształci równanie do postaci:
sinx
2
2
lub sinx
2
2
albo
cos x
2
0
x
y
π
2π
0
1
-1
4
π
4
π
2
π
2
π
4
3π
4
3π
4
5π
2
3π
4
7π
4
9π
8 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
3 pkt
Zdający poda rozwiązania równania, np. w postaci: x
k
4
2
$
r
r
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
4 pkt
Zdający obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego należących do przedziału
,0 32r : n
64
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający obliczy sumę wszystkich rozwiązań równania trygonometrycznego należących do przedziału
,0 32r : S
1024
64
r
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający w wyniku przekształceń zapisze tylko jedno z równań sinx
\n

2
2
albo sinx
2
2
,
poda poprawne rozwiązania tego równania i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje
1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poda poprawnie rozwiązania tylko jednego z równań: sinx
\n

2
2
lub sinx
2
2
albo zapisze równość x
k
2
2
r
r
i stąd błędnie wyznaczy rozwiązania równania, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający rozwiąże tylko jedno z równań sinx
\n

2
2
, sinx
2
2
albo z każdego
z wymienionych równań poda tylko jedną serię wyników i konsekwentnie - stosując własności ciągu
arytmetycznego - obliczy sumę wszystkich rozwiązań należących do przedziału
,0 32r , to otrzymuje
3 punkty.

","solutions":[]}