{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nUrna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej\nkuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły\nliczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę\nparzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nWynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\n9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n11\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nUrna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej\nkuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły\nliczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę\nparzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nWynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji,\nwariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej\nzłożonych sytuacjach kombinatorycznych .\nPrzykładowe rozwiązania\nWszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, jest to zatem model klasyczny.\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy liczbę wszystkich\nmożliwych wyników doświadczenia losowego, czyli X . W drugim etapie obliczymy, na ile\nsposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym\nznajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka, czyli A . W trzecim etapie wyznaczymy\nprawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.\nRealizacja pierwszego etapu\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie ośmiowyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5}, czyli wariacje z powtórzeniami. Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia\nlosowego jest zatem równa:\n58\nX =\n9 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRealizacja drugiego etapu\nNiech A oznacza zdarzenie, że utworzymy ośmiocyfrową liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym\nwystąpią dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nSposób I\nNajpierw obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema\ntrójkami, przy czym cyfry wybieramy ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.\nNależy uwzględnić następujące warunki:\nliczba ma być parzysta, zatem cyfrę jedności wybieramy spośród {2, 4},\nmają być dokładnie trzy cyfry 3, zatem miejsca dla nich wybieramy na 3\n7\nj sposobów (bo ostatnie\nmiejsce jest już zajęte),\npozostają cztery wolne miejsca, na które możemy wstawić po jednej cyfrze ze zbioru {1, 2, 4, 5}.\nKorzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy:\n!\n!\n!\n2\n3\n7\n4\n2 3\n4\n7\n256\n17 920\n4\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nNastępnie obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema\ntrójkami i bez cyfry 5.\n!\n!\n!\n2\n3\n7\n3\n2 3\n4\n7\n81\n5670\n4\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nWszystkich ośmiocyfrowych liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy\ntrójki i co najmniej jedna piątka, jest:\nA\n17 920\n5670\n12 250\nSposób II\nZbiór wyników sprzyjających zdarzeniu A można podzielić na zdarzenia wykluczające się,\nuwzględniając liczbę piątek w zapisie dziesiętnym liczby ośmiocyfrowej:\n1. z dokładnie jedną cyfrą 5: 2\n3\n7\n4 3\n7560\n3\n$\n$\n$\nj\n2. z dokładnie dwiema cyframi 5:\n2\n3\n7\n2\n4\n3\n3780\n2\n$\n$\n$\nj\nj\n3. z dokładnie trzema cyframi 5:\n2\n3\n7\n3\n4\n3\n840\n$\n$\n$\nj\nj\n4. z dokładnie czterema cyframi 5:\n2\n3\n7\n70\n$\nj\nRazem: 7560\n3780\n840\n70\n12 250\nZatem A\n12 250\nRealizacja trzeciego etapu\nJest to model klasyczny, więc:\nP A\nA\n5\n12250\n5\n98\n3125\n98\n8\n5\nX\n^ h\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to ustalenie liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego:\n58\nX =\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 3\nwybór\npozostałych cyfr\nwybór cyfry\njedności\nwybór miejsc\ndla trzech 3\nwybór\npozostałych cyfr\n(bez 5 i 3)\n10 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nEtap drugi to obliczenie, na ile sposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą,\nw której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy:\nobliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami,\no cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}: 17 920\nalbo\nobliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami i bez\ncyfry 5: 5670\nalbo\npoprawnie rozważy przynajmniej jeden przypadek uwzględniający liczbę piątek w zapisie\ndziesiętnym liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami, o cyfrach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5}: z 1 piątką - 7560, z 2 piątkami - 3780, z 3 piątkami - 840, z 4 piątkami - 70.\n3 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy obliczy liczbę wszystkich wyników sprzyjających zdarzeniu A:\nA\n12 250\nEtap trzeci to obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie wyniku w postaci ułamka zwykłego\nnieskracalnego: P A\n5\n12250\n3125\n98\n8\n^ h\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany również wtedy, gdy zdający popełni błąd rachunkowy\nw pierwszym lub drugim etapie i konsekwentnie obliczy P A\n^ h, pod warunkiem, że otrzyma wartość\nz przedziału (0, 1).\nŁącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 5 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Urna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej
kuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły
liczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę
parzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.
Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

\n

9 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
11
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

10 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Urna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej
kuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły
liczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę
parzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.
Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.
R10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
i kombinatoryka.
Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji,
wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej
złożonych sytuacjach kombinatorycznych .
Przykładowe rozwiązania
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, jest to zatem model klasyczny.
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy liczbę wszystkich
możliwych wyników doświadczenia losowego, czyli X . W drugim etapie obliczymy, na ile
sposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym
znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka, czyli A . W trzecim etapie wyznaczymy
prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A.
Realizacja pierwszego etapu
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ośmiowyrazowe ciągi o wyrazach ze zbioru
{1, 2, 3, 4, 5}, czyli wariacje z powtórzeniami. Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia
losowego jest zatem równa:
58
X =
9 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Realizacja drugiego etapu
Niech A oznacza zdarzenie, że utworzymy ośmiocyfrową liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym
wystąpią dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.
Sposób I
Najpierw obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema
trójkami, przy czym cyfry wybieramy ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.
Należy uwzględnić następujące warunki:
liczba ma być parzysta, zatem cyfrę jedności wybieramy spośród {2, 4},
mają być dokładnie trzy cyfry 3, zatem miejsca dla nich wybieramy na 3
7
j sposobów (bo ostatnie
miejsce jest już zajęte),
pozostają cztery wolne miejsca, na które możemy wstawić po jednej cyfrze ze zbioru {1, 2, 4, 5}.
Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy:
!
!
!
2
3
7
4
2 3
4
7
256
17 920
4
$
$
$
$
$
j
Następnie obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema
trójkami i bez cyfry 5.
!
!
!
2
3
7
3
2 3
4
7
81
5670
4
$
$
$
$
$
j
Wszystkich ośmiocyfrowych liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy
trójki i co najmniej jedna piątka, jest:
A
17 920
5670
12 250
Sposób II
Zbiór wyników sprzyjających zdarzeniu A można podzielić na zdarzenia wykluczające się,
uwzględniając liczbę piątek w zapisie dziesiętnym liczby ośmiocyfrowej:

\n
  1. z dokładnie jedną cyfrą 5: 2
\n

3
7
4 3
7560
3
$
$
$
j

\n
  1. z dokładnie dwiema cyframi 5:
\n

2
3
7
2
4
3
3780
2
$
$
$
j
j

\n
  1. z dokładnie trzema cyframi 5:
\n

2
3
7
3
4
3
840
$
$
$
j
j

\n
  1. z dokładnie czterema cyframi 5:
\n

2
3
7
70
$
j
Razem: 7560
3780
840
70
12 250
Zatem A
12 250
Realizacja trzeciego etapu
Jest to model klasyczny, więc:
P A
A
5
12250
5
98
3125
98
8
5
X
^ h
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Etap pierwszy to ustalenie liczby wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego:
58
X =
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
wybór cyfry
jedności
wybór miejsc
dla trzech 3
wybór
pozostałych cyfr
wybór cyfry
jedności
wybór miejsc
dla trzech 3
wybór
pozostałych cyfr
(bez 5 i 3)
10 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Etap drugi to obliczenie, na ile sposobów w doświadczeniu losowym można otrzymać liczbę parzystą,
w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka.
Za tę część rozwiązania zdający może otrzymać 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
2 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy:
obliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami,
o cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}: 17 920
albo
obliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami i bez
cyfry 5: 5670
albo
poprawnie rozważy przynajmniej jeden przypadek uwzględniający liczbę piątek w zapisie
dziesiętnym liczb ośmiocyfrowych parzystych z dokładnie trzema trójkami, o cyfrach ze zbioru
{1, 2, 3, 4, 5}: z 1 piątką - 7560, z 2 piątkami - 3780, z 3 piątkami - 840, z 4 piątkami - 70.
3 punkty zdający otrzymuje wtedy, gdy obliczy liczbę wszystkich wyników sprzyjających zdarzeniu A:
A
12 250
Etap trzeci to obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie wyniku w postaci ułamka zwykłego
nieskracalnego: P A
5
12250
3125
98
8
^ h
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Za ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany również wtedy, gdy zdający popełni błąd rachunkowy
w pierwszym lub drugim etapie i konsekwentnie obliczy P A
^ h, pod warunkiem, że otrzyma wartość
z przedziału (0, 1).
Łącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 5 punktów.

","solutions":[]}