Zadanie 12. (0-5)
W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równoramiennym o ramionach AC i BC długości 4
i kącie między nimi 30°. Punkt E - środek krawędzi AB - jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa,
a krawędź boczna CS tworzy z podstawą kąt 60°. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez
krawędź AB i mającą z przeciwległą krawędzią boczną CS wspólny punkt D (jak na rysunku). Oblicz
pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że z podstawą ostrosłupa tworzy on kąt 75°. Podaj dokładny
wynik obliczeń.
A
E
B
C
S
D
11 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
12
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
12 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Zadanie 12. (0-5)
W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równoramiennym o ramionach AC i BC
długości 4 i kącie między nimi 30°. Punkt E - środek krawędzi AB - jest spodkiem wysokości
tego ostrosłupa, a krawędź boczna CS tworzy z podstawą kąt 60°. Ostrosłup przecięto płaszczyzną
przechodzącą przez krawędź AB i mającą z przeciwległą krawędzią boczną CS wspólny punkt D
(jak na rysunku). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że tworzy on z podstawą ostrosłupa
kąt 75°. Podaj dokładny wynik obliczeń.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
P2) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między
odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami,
przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;
P4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między
ścianami;
R2) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub
ostrosłupa płaszczyzną;
R7.5. Planimetria.
Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich
z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
11 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Przykładowe rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. Zauważmy, że w trójkącie EDC miara kata EDC jest równa 45°.
Obliczamy długość krawędzi AB, stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC.
cos
AB
AB
AB
2 4
2 4
30
16 2
3
4 2
3
2
2
2
2
$
$
$
c
h
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie EBC i wyznaczamy wysokość EC.
EC
EC
EC
EC
4
2 2
3
16
8
4 3
4 2
3
2 2
3
2
2
2
2
2
h
i
Odcinek ED jest wysokością przekroju ABD. Jego długość obliczymy, stosując twierdzenie sinusów
w trójkącie ECD.
sin
sin
ED
EC
ED
ED
60
45
2
2
2 2
3
2
3
2
3
6
$
$
c
c
Pole przekroju ABD jest zatem równe:
P
2
1 4 2
3
2
3
6
ABD
$
$
$
T
,
P
2 6
4
3
ABD
$
T
,
P
2 6
ABD =
T
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający obliczy miarę kąta EDC równą 45°.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający obliczy długość krawędzi AB
4 2
3
albo wysokość podstawy ostrosłupa:
EC
2 2
3
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
A
E
B
C
S
D
75
45
60
12 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający
obliczy długość krawędzi AB
4 2
3
i wysokość podstawy ostrosłupa: EC
2 2
3
albo
obliczy wysokość podstawy ostrosłupa: EC
2 2
3
i wysokość przekroju ABD:
ED
2
3
6
$
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne
4 pkt
Zdający obliczy długości odcinków: AB (krawędź podstawy ostrosłupa), EC (wysokość podstawy
ostrosłupa) i ED (wysokość trójkąta ABD, będącego przekrojem ostrosłupa)
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający obliczy pole przekroju ostrosłupa: P
2 6
ABD =
T
Uwagi
ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów.
\npłaszczyzny przekroju do podstawy, ale przy korzystaniu z własności figur, w których te kąty nie
występują, wykazuje się innymi umiejętnościami matematycznymi, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
obliczenia na przybliżeniach, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
","solutions":[]}