{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nFunkcja kwadratowa f x\nm\nx\nm\nx\nm\n2\n1\n2\n1\n1\n2\nh\nh\nh\nma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi\nnie więcej niż 4.\n\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n13\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nFunkcja kwadratowa f x\nm\nx\nm\nx\nm\n2\n1\n2\n1\n1\n2\nh\nh\nh\nma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi\nnie więcej niż 4.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR1.1. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację\ngeometryczną.\nR3. Równania i nierówności. Zdający:\n2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe\nz parametrem;\n8) rozwiązuje proste nierówności wymierne.\nPrzykładowe rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy wszystkie wartości\nparametru m, dla których funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe. W drugim etapie wyznaczymy\nte wartości parametru m, dla których odległość między dwoma miejscami zerowymi funkcji jest równa\nco najwyżej 4. W trzecim etapie wyznaczymy wszystkie wartości parametru m spełniające warunki\nzadania.\n13 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRealizacja pierwszego etapu\nFunkcja f jest trójmianem kwadratowym, gdy m\n2\n1\n0\n!\n, czyli m\n2\n1\n!\nFunkcja f ma dwa miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni.\nm\nm\nm\n4\n1\n4 2\n1\n1\n0\n4\n2\n2\nh\nh\nh\nm\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n2\n1\n0\n2\n2\n2\nm\nm\n5\n0\n2\n2\nm m\n5\n0\n2\nh\nZatem dla\n,\nm\n0 5\n2\n1\n! ^\nh $\n. funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne miejsca zerowe.\nRealizacja drugiego etapu\nZ geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej wynika, że odległość między dwoma miejscami\nzerowymi funkcji jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy. Należy zatem rozważyć warunek\nx\nx\n4\n1\n2 G\nSposób I\nKorzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego.\na\nb\na\nb\n2\n2\n4\nT\nT G\na\n4\nT G\nObie strony nierówności są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do kwadratu,\notrzymujemy nierówność równoważną:\na\n16\n2T G\n,\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n5\n16\n2\n2\nG\nh\nh\n, gdzie m\n2\n1\n!\nWyrażenie\nm\n4\n2\n1\n2\nh jest dodatnie, więc mnożąc obie strony ostatniej nierówności przez\nm\n4\n2\n1\n2\nh ,\notrzymujemy nierówność równoważną.\n,\n,\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n5\n4 2\n1\n4 4\n4\n1\n5\n0\n17\n21\n4\n0\n17\n4\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n,\n3\n3\nG\nH\nH\n!\nh\nh\nj\nSposób II\nObie strony nierówności x\nx\n4\n1\n2 G\nsą dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do\nkwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną.\nx\nx\nx\nx\nx x\n16\n4\n16\n1\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n2\nG\nG\nh\nh\nm\n5\n0\n2\n1\n14 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nStosujemy wzory Viète’a.\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n1\n4 2\n1\n1\n16\n2\n$\nG\nc ^\nh m\n, gdzie m\n2\n1\n!\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n2\n1\n2\n1\n4\n1\n2\n1\n2\n1\n16 2\n1\n0\n4\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n$\nG\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nPo uproszczeniu otrzymujemy nierówność.\nm\nm\n17\n21\n4\n0\n2\nH\n,\n,\nm\n17\n4\n1\n,\n3\n3\n! -\nj\nRealizacja trzeciego etapu\nWyznaczamy iloczyn zbiorów otrzymanych w etapach pierwszym i drugim.\nZatem odległość między miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f jest równa co najwyżej 4, gdy\n,\n,\nm\n0 17\n4\n1 5\n,\n! `\nj.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to ustalenie, dla jakich wartości parametru m funkcja f jest trójmianem kwadratowym\ni ma dwa miejsca zerowe: a\n0\n!  i\n0\nT 2 dla\n,\nm\n0 5\n2\n1\n! ^\nh $\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nUwaga\nJeżeli zdający nie rozważy warunku a\n0\n! lub zapisze\n0\nT H , to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nEtap drugi to rozwiązanie nierówności x\nx\n4\n1\n2 G\n. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci a\n16\n2T G\nlub x\nx\nx x\n4\n16\n1\n2\n2\n1\n2 G\nh\n2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m, np. w postaci\nm\nm\nm\n2\n1\n4\n5\n16\n2\n2\nG\nh\nh\nlub\nm\nm\nm\nm\n2\n1\n2\n1\n4 2\n1\n1\n16\n2\n$\nG\nc ^\nh m\n3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności:\n,\n,\nm\n17\n4\n1\n,\n3\n3\n! -\nj.\nEtap trzeci to wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków z etapów pierwszego i drugiego:\n,\n,\nm\n0 17\n4\n1 5\n,\n! `\nj.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wtedy, gdy zdający poprawnie wykona\nprzynajmniej jeden z etapów (pierwszy lub drugi), a ponadto w obu etapach otrzyma zbiory niepuste\ni różne od zbioru liczb rzeczywistych oraz konsekwentnie wyznaczy iloczyn tych zbiorów.\nŁącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 6 punktów.\n3\n4\n5\n1\n2\n0\n2\n1\n17\n4\n15 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Funkcja kwadratowa f x
m
x
m
x
m
2
1
2
1
1
2
h
h
h
ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi
nie więcej niż 4.

\n

13 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
13
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

14 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Funkcja kwadratowa f x
m
x
m
x
m
2
1
2
1
1
2
h
h
h
ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi
nie więcej niż 4.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.
R1.1. Liczby rzeczywiste.
Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację
geometryczną.
R3. Równania i nierówności. Zdający:

\n
  1. rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe
\n

z parametrem;

\n
  1. rozwiązuje proste nierówności wymierne.
\n

Przykładowe rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. W pierwszym wyznaczymy wszystkie wartości
parametru m, dla których funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca zerowe. W drugim etapie wyznaczymy
te wartości parametru m, dla których odległość między dwoma miejscami zerowymi funkcji jest równa
co najwyżej 4. W trzecim etapie wyznaczymy wszystkie wartości parametru m spełniające warunki
zadania.
13 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Realizacja pierwszego etapu
Funkcja f jest trójmianem kwadratowym, gdy m
2
1
0
!
, czyli m
2
1
!
Funkcja f ma dwa miejsca zerowe, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest dodatni.
m
m
m
4
1
4 2
1
1
0
4
2
2
h
h
h
m
m
m
m
m
2
1
2
2
1
0
2
2
2
m
m
5
0
2
2
m m
5
0
2
h
Zatem dla
,
m
0 5
2
1
! ^
h $
. funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne miejsca zerowe.
Realizacja drugiego etapu
Z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej wynika, że odległość między dwoma miejscami
zerowymi funkcji jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy. Należy zatem rozważyć warunek
x
x
4
1
2 G
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
a
b
a
b
2
2
4
T
T G
a
4
T G
Obie strony nierówności są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do kwadratu,
otrzymujemy nierówność równoważną:
a
16
2T G
,
m
m
m
2
1
4
5
16
2
2
G
h
h
, gdzie m
2
1
!
Wyrażenie
m
4
2
1
2
h jest dodatnie, więc mnożąc obie strony ostatniej nierówności przez
m
4
2
1
2
h ,
otrzymujemy nierówność równoważną.
,
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
5
4 2
1
4 4
4
1
5
0
17
21
4
0
17
4
1
2
2
2
2
2
,
3
3
G
H
H
!
h
h
j
Sposób II
Obie strony nierówności x
x
4
1
2 G
są dodatnie, więc podnosząc obie strony nierówności do
kwadratu, otrzymujmy nierówność równoważną.
x
x
x
x
x x
16
4
16
1
2
2
1
2
2
1
2
G
G
h
h
m
5
0
2
1
14 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Stosujemy wzory Viète’a.
m
m
m
m
2
1
2
1
4 2
1
1
16
2
$
G
c ^
h m
, gdzie m
2
1
!
m
m
m
m
m
m
m
m
m
2
1
4
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
16 2
1
0
4
2
1
2
2
2
2
2
2
$
G
h
h
h
h
h
h
h
h
Po uproszczeniu otrzymujemy nierówność.
m
m
17
21
4
0
2
H
,
,
m
17
4
1
,
3
3
! -
j
Realizacja trzeciego etapu
Wyznaczamy iloczyn zbiorów otrzymanych w etapach pierwszym i drugim.
Zatem odległość między miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f jest równa co najwyżej 4, gdy
,
,
m
0 17
4
1 5
,
! `
j.
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Etap pierwszy to ustalenie, dla jakich wartości parametru m funkcja f jest trójmianem kwadratowym
i ma dwa miejsca zerowe: a
0
!  i
0
T 2 dla
,
m
0 5
2
1
! ^
h $
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Uwaga
Jeżeli zdający nie rozważy warunku a
0
! lub zapisze
0
T H , to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Etap drugi to rozwiązanie nierówności x
x
4
1
2 G
. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje
3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci a
16
2T G
lub x
x
x x
4
16
1
2
2
1
2 G
h
2 punkty zdający otrzymuje za zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m, np. w postaci
m
m
m
2
1
4
5
16
2
2
G
h
h
lub
m
m
m
m
2
1
2
1
4 2
1
1
16
2
$
G
c ^
h m
3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności:
,
,
m
17
4
1
,
3
3
! -
j.
Etap trzeci to wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków z etapów pierwszego i drugiego:
,
,
m
0 17
4
1 5
,
! `
j.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Za ostatni etap 1 punkt może zostać przyznany tylko wtedy, gdy zdający poprawnie wykona
przynajmniej jeden z etapów (pierwszy lub drugi), a ponadto w obu etapach otrzyma zbiory niepuste
i różne od zbioru liczb rzeczywistych oraz konsekwentnie wyznaczy iloczyn tych zbiorów.
Łącznie za poprawne rozwiązanie całego zadania (podanie odpowiedzi) zdający otrzymuje 6 punktów.
3
4
5
1
2
0
2
1
17
4
15 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}