{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\ni okręgu\no równaniu x\ny\n2\n5\n2\n2\n2\nj\n\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\ni do okręgu\no równaniu x\ny\n2\n5\n2\n2\n2\nj\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nP7.2. Planimetria.\nZdający korzysta z własności stycznej do okręgu.\nR8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) oblicza odległość punktu od prostej;\n5) posługuje się równaniem okręgu x\na\ny\nb\nr\n2\n2\n2\nh\nh\nR11.3. Rachunek różniczkowy.\nZdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.\nPrzykładowe rozwiązania\nPunkt\n,\nP\np\np\n2\n1\n2\nj jest dowolnym punktem należącym do paraboli o równaniu y\nx\n2\n1\n2\nZaczynamy od wyznaczenia równania stycznej do tej paraboli w punkcie P w zależności od wartości\nparametru p\nR\n!\n. W tym celu obliczamy pochodną funkcji f x\nx\n2\n1\n2\n^ h\n:\n'f\nx\nx\n^ h\nWspółczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie\nstyczności. Stąd\na\nf\np\np\n^ h\n. Styczna do paraboli w punkcie P wyraża się zatem równaniem postaci:\ny\np\np x\np\n2\n1\n2\nh,\ny\npx\np\n2\n1\n2\nNastępnie tak dobieramy wartość parametru p, aby prosta o równaniu y\npx\np\n2\n1\n2\nbyła styczna do\nokręgu o środku\n,\nS\n0\n2\n5\nj i promieniu r\n2\nSposób I\nProsta jest styczna do okręgu wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi\nokręgu.\nPrzekształcamy równanie prostej: y\npx\np\n2\n1\n2\ndo postaci ogólnej:\npx\ny\np\n2\n1\n0\n2\n2\n$\npx\ny\np\n2\n2\n0\n2\ni układamy równanie, stosując wzór na odległość punktu od prostej.\np\np\n2\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nh\nh\np\np\n5\n8\n8\n2\n2\nObie strony równania są nieujemne, więc podnosząc je do kwadratu, otrzymujemy równanie\nrównoważne.\np\np\np\n25\n10\n8\n8\n2\n4\n2\np\np\n18\n17\n0\n4\n2\nPodstawiamy p\nt\n2 = , gdzie t\n0\nH , i otrzymujemy równanie: t\nt\n18\n17\n0\n2 -\n= , które spełniają dwie\nliczby: t\n1\n1 = , t\n17\n2 =\n. Więc:\np\n1\n2 = lub p\n17\n2 =\n,\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n,.\n16 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nParabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:\ny\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n, y\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17\nSposób II\nProsta jest styczna do okręgu wtedy, gdy ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny. Należy tak dobrać\nparametr p, by układ równań:\ny\npx\np\nx\ny\n2\n1\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nj\nZ\n[\n]]]]\n]]]]\nmiał dokładnie jedno rozwiązanie.\nRozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.\nx\npx\np\n2\n1\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nj\nx\np x\np\np x\npx\np\n4\n1\n4\n25\n5\n2\n5\n2\n0\n2\n2\n2\n4\n3\n2\np\nx\np\np\nx\np\np\n1\n5\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n2\n2\n3\n4\n2\nh\nh\nUkład równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (tzn. prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny\nz okręgiem) wtedy, gdy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego jest równy zero.\n0\nT =\np\np\np\np\np\n5\n4 1\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n3 2\n2\n4\n2\nh\nh\nj\np\np\np\np\np\np\n25\n10\n1\n10\n17\n0\n2\n4\n6\n2\n4\n2\n^h\nh\nPo wykonaniu mnożenia i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie:\np\np\n18\n17\n0\n4\n2 +\n= , które spełniają liczby:\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n,.\nParabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:\ny\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n, y\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania\n1 pkt\nZdający zapisze współrzędne punktu leżącego na paraboli w zależności od jednej zmiennej,\nnp.\n,\nP\np\np\n2\n1\n2\nj oraz wyznaczy pochodną funkcji f x\nx\n2\n1\n2\n^ h\n: 'f\nx\nx\n^ h\ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający wyznaczy funkcję pochodną: 'f\nx\nx\n^ h\ni poda współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli\nw zależności od pierwszej współrzędnej punktu styczności, np.\na\nf\np\np\n^ h\ni na tym zakończy lub\ndalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy równanie stycznej do paraboli w zależności od pierwszej współrzędnej punktu\nstyczności: y\npx\np\n2\n1\n2\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania (np. błędy rachunkowe)\n4 pkt\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku styczności prostej do okręgu,\nnp.\np\np\n2\n2\n5\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nlub\np\np\np\np\np\n5\n4 1\n4\n1\n2\n5\n4\n17\n0\n3 2\n2\n4\n2\nh\nh\nj\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie prawie pełne\n5 pkt\nZdający poda rozwiązania równania:\n, ,\n,\np\n1 1\n17\n17\n!\n, i poprzestanie na tym lub rozwiąże\nzadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania), ale otrzyma\ncztery styczne.\nRozwiązanie pełne\n6 pkt\nZdający poda równania wspólnych stycznych paraboli i okręgu: y\nx\n2\n1\n, y\nx\n2\n1\n,\ny\nx\n17\n2\n17\n, y\nx\n17\n2\n17","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Wyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y
x
2
1
2
i okręgu
o równaniu x
y
2
5
2
2
2
j

\n

15 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
14
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

16 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Wyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y
x
2
1
2
i do okręgu
o równaniu x
y
2
5
2
2
2
j
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
P7.2. Planimetria.
Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu.
R8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:

\n
  1. oblicza odległość punktu od prostej;
  2. posługuje się równaniem okręgu x
\n

a
y
b
r
2
2
2
h
h
R11.3. Rachunek różniczkowy.
Zdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej.
Przykładowe rozwiązania
Punkt
,
P
p
p
2
1
2
j jest dowolnym punktem należącym do paraboli o równaniu y
x
2
1
2
Zaczynamy od wyznaczenia równania stycznej do tej paraboli w punkcie P w zależności od wartości
parametru p
R
!
. W tym celu obliczamy pochodną funkcji f x
x
2
1
2
^ h
:
'f
x
x
^ h
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie
styczności. Stąd
a
f
p
p
^ h
. Styczna do paraboli w punkcie P wyraża się zatem równaniem postaci:
y
p
p x
p
2
1
2
h,
y
px
p
2
1
2
Następnie tak dobieramy wartość parametru p, aby prosta o równaniu y
px
p
2
1
2
była styczna do
okręgu o środku
,
S
0
2
5
j i promieniu r
2
Sposób I
Prosta jest styczna do okręgu wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi
okręgu.
Przekształcamy równanie prostej: y
px
p
2
1
2
do postaci ogólnej:
px
y
p
2
1
0
2
2
$
px
y
p
2
2
0
2
i układamy równanie, stosując wzór na odległość punktu od prostej.
p
p
2
2
5
2
2
2
2
h
h
p
p
5
8
8
2
2
Obie strony równania są nieujemne, więc podnosząc je do kwadratu, otrzymujemy równanie
równoważne.
p
p
p
25
10
8
8
2
4
2
p
p
18
17
0
4
2
Podstawiamy p
t
2 = , gdzie t
0
H , i otrzymujemy równanie: t
t
18
17
0
2 -
= , które spełniają dwie
liczby: t
1
1 = , t
17
2 =
. Więc:
p
1
2 = lub p
17
2 =
,
, ,
,
p
1 1
17
17
!
,.
16 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Parabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:
y
x
2
1
, y
x
2
1
, y
x
17
2
17
, y
x
17
2
17
Sposób II
Prosta jest styczna do okręgu wtedy, gdy ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny. Należy tak dobrać
parametr p, by układ równań:
y
px
p
x
y
2
1
2
5
2
2
2
2
j
Z
[
]]]]
]]]]
miał dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.
x
px
p
2
1
2
5
2
2
2
2
j
x
p x
p
p x
px
p
4
1
4
25
5
2
5
2
0
2
2
2
4
3
2
p
x
p
p
x
p
p
1
5
4
1
2
5
4
17
0
2
2
3
4
2
h
h
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (tzn. prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny
z okręgiem) wtedy, gdy wyróżnik otrzymanego równania kwadratowego jest równy zero.
0
T =
p
p
p
p
p
5
4 1
4
1
2
5
4
17
0
3 2
2
4
2
h
h
j
p
p
p
p
p
p
25
10
1
10
17
0
2
4
6
2
4
2
^h
h
Po wykonaniu mnożenia i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie:
p
p
18
17
0
4
2 +
= , które spełniają liczby:
, ,
,
p
1 1
17
17
!
,.
Parabola i okrąg mają zatem cztery wspólne styczne. Są to proste o równaniach:
y
x
2
1
, y
x
2
1
, y
x
17
2
17
, y
x
17
2
17
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
1 pkt
Zdający zapisze współrzędne punktu leżącego na paraboli w zależności od jednej zmiennej,
np.
,
P
p
p
2
1
2
j oraz wyznaczy pochodną funkcji f x
x
2
1
2
^ h
: 'f
x
x
^ h
i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający wyznaczy funkcję pochodną: 'f
x
x
^ h
i poda współczynnik kierunkowy stycznej do paraboli
w zależności od pierwszej współrzędnej punktu styczności, np.
a
f
p
p
^ h
i na tym zakończy lub
dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający wyznaczy równanie stycznej do paraboli w zależności od pierwszej współrzędnej punktu
styczności: y
px
p
2
1
2
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
4 pkt
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą wynikające z warunku styczności prostej do okręgu,
np.
p
p
2
2
5
2
2
2
2
h
h
lub
p
p
p
p
p
5
4 1
4
1
2
5
4
17
0
3 2
2
4
2
h
h
j
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
17 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Rozwiązanie prawie pełne
5 pkt
Zdający poda rozwiązania równania:
, ,
,
p
1 1
17
17
!
, i poprzestanie na tym lub rozwiąże
zadanie do końca z błędem rachunkowym (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania), ale otrzyma
cztery styczne.
Rozwiązanie pełne
6 pkt
Zdający poda równania wspólnych stycznych paraboli i okręgu: y
x
2
1
, y
x
2
1
,
y
x
17
2
17
, y
x
17
2
17

","solutions":[]}