{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nProsta o równaniu y\na x\na\n3\n2\nprzecina hiperbolę o równaniu y\nx\n4\nw dwóch punktach, A i B.\nWyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a\n0\n1 . Wyznacz równanie prostej,\nktóra przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była najmniejsza.\n\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nProsta o równaniu: y\na x\na\n3\n2\nprzecina hiperbolę o równaniu: y\nx\n4\nw dwóch punktach, A i B.\nWyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a\n0\n1 . Wyznacz równanie prostej,\nktóra przecina opisaną hiperbolę tak, że długość odcinka AB jest najmniejsza.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR11.6. Rachunek różniczkowy.\nZdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień\noptymalizacyjnych.\nR3.3. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje układy równań prowadzące do równań\nkwadratowych.\nP8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWyznaczamy współrzędne punktów wspólnych prostej i hiperboli. W tym celu rozwiązujemy układ\nrównań.\ny\na x\na\ny\nx\n3\n4\n2\n, gdzie x\n0\n! i a\n0\n1\na x\na\nx\n3\n4\n2 +\na x\nax\n3\n4\n0\n2\n2 +\na\na\na\n3\n4\n4\n25\n2\n2\n$\n$\nT =\nh\nh\na\na\n5\n5\nT =\n, bo a\n0\n1\nx\na\ny\na\n1\n4\n1\n1\n, x\na\ny\na\n4\n2\n2\nProsta i hiperbola mają zatem dwa punkty wspólne:\n,\nA\na\na\n1 4\nj,\n,\nB\na\na\n4\nj.\nObliczamy długość odcinka AB.\nAB\na\na\na\na\n1\n4\n4\n2\n2\nj\nh\nAB\na\na\n5\n1\n2\n4\n$\n, gdzie\n,\na\n0\n3\n! -\nh\nRozważmy funkcję pomocniczą określoną wzorem f a\na\na\n1\n2\n4\n^ h\n,\n,\nD\n0\nf\n3\nh.\nFunkcja g x\nx\n^ h\njest rosnąca w przedziale\n,0 3h z czego wynika, że funkcje AB i f mają takie\nsame przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) przyjmują dla tych\nsamych argumentów.\n18 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nWyznaczamy pochodną funkcji f.\n'f\na\na\na\na\na\n4\n2\n1\n4\n5\n4\nh\nh\n'f\na\na\na\na\n2\n2\n4\n5\n^ h\n,\n,\nD\nD\n0\n'f\nf\n3\nh\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej.\n'f\na\na\na\n0\n2\n2\n0\n5\n^ h\na a\na\na\n2\n1\n1\n1\n0\n2\nh\nh\nh\na\n0\n1 = , a\n1\n2 = ,\n1\na3 =-\n,\na a\nDf\n1\n2 g\nBadamy znak pochodnej w dziedzinie. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, wystarczy\nzbadać znak licznika.\n'f\na\n0\n1\n^ h\ndla\n,\na\n1\n3\n! -\nh oraz 'f\na\n0\n2\n^ h\ndla\n,\na\n1 0\n! -\nh.\nZatem funkcja f jest malejąca w przedziale\n,\n1\n3\ni rosnąca w przedziale\n,1 0\nh. Wynika stąd,\nże dla\n1\na =- funkcja f osiąga wartość najmniejszą, więc i długość odcinka AB jest najmniejsza, gdy\n1\na =- .\nSzukana prosta jest więc określona równaniem: y\nx\n3\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nEtap pierwszy to:\na) zapisanie układu równań:\ny\na x\na\ny\nx\n3\n4\n2\noraz wyprowadzenie z niego równania z jedną\nniewiadomą i parametrem a, np. a x\na\nx\n3\n4\n2 +\n;\nb) wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i hiperboli w zależności od wartości\nparametru a\n0\n1 , np.\n,\nA\na\na\n1 4\nj,\n,\nB\na\na\n4\nj;\nc) zapisanie długości odcinka AB jako funkcji zmiennej a: AB\na\na\n5\n1\n2\n4\n$\n, gdzie\n,\na\n0\n3\n! -\nh.\nZdający otrzymuje po 1 punkt za realizację każdej z części tego etapu.\nEtap drugi to:\na) wyznaczenie pochodnej funkcji wymiernej f a\na\na\n1\n2\n4\n^ h\n: 'f\na\na\na\na\n2\n2\n4\n5\n^ h\n;\nb) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: a\n0\n1 = , a\n1\n2 = ,\n1\na3 =- ;\nc) uzasadnienie, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą dla\n1\na =- .\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\na\n1\n------ -1\n0\n19 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nUwaga\nW uzasadnieniu przyjmowania wartości najmniejszej nie wystarcza stwierdzenie, że skoro pochodna\nzmienia znak „z - na +”, to dla\n1\na =- funkcja f osiąga minimum. Uzasadnienie uznajemy za\npoprawne, jeżeli ze znaku pochodnej zdający określi przebieg funkcji w dziedzinie (np. poda przedziały\nmonotoniczności, zbuduje tabelę przebiegu zmienności lub naszkicuje wykres) i stąd wywnioskuje\nfakt, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla\n1\na =- .\nEtap trzeci to wyznaczenie równania prostej, która przecina hiperbolę o równaniu y\nx\n4\ntak, że\ndługość odcinka AB jest najmniejsza: y\nx\n3\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd rachunkowy,\nktóry nie ułatwia znacząco dalszych obliczeń, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd merytoryczny,\ni otrzyma zupełnie inną funkcję (np. wielomian), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty (za etap I).\n20 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Prosta o równaniu y
a x
a
3
2
przecina hiperbolę o równaniu y
x
4
w dwóch punktach, A i B.
Wyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a
0
1 . Wyznacz równanie prostej,
która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była najmniejsza.

\n

17 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
15
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

18 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Prosta o równaniu: y
a x
a
3
2
przecina hiperbolę o równaniu: y
x
4
w dwóch punktach, A i B.
Wyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a
0
1 . Wyznacz równanie prostej,
która przecina opisaną hiperbolę tak, że długość odcinka AB jest najmniejsza.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.
R11.6. Rachunek różniczkowy.
Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień
optymalizacyjnych.
R3.3. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje układy równań prowadzące do równań
kwadratowych.
P8.6. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zdający oblicza odległość dwóch punktów.
Przykładowe rozwiązanie
Wyznaczamy współrzędne punktów wspólnych prostej i hiperboli. W tym celu rozwiązujemy układ
równań.
y
a x
a
y
x
3
4
2
, gdzie x
0
! i a
0
1
a x
a
x
3
4
2 +
a x
ax
3
4
0
2
2 +
a
a
a
3
4
4
25
2
2
$
$
T =
h
h
a
a
5
5
T =
, bo a
0
1
x
a
y
a
1
4
1
1
, x
a
y
a
4
2
2
Prosta i hiperbola mają zatem dwa punkty wspólne:
,
A
a
a
1 4
j,
,
B
a
a
4
j.
Obliczamy długość odcinka AB.
AB
a
a
a
a
1
4
4
2
2
j
h
AB
a
a
5
1
2
4
$
, gdzie
,
a
0
3
! -
h
Rozważmy funkcję pomocniczą określoną wzorem f a
a
a
1
2
4
^ h
,
,
D
0
f
3
h.
Funkcja g x
x
^ h
jest rosnąca w przedziale
,0 3h z czego wynika, że funkcje AB i f mają takie
same przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne (tego samego rodzaju) przyjmują dla tych
samych argumentów.
18 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Wyznaczamy pochodną funkcji f.
'f
a
a
a
a
a
4
2
1
4
5
4
h
h
'f
a
a
a
a
2
2
4
5
^ h
,
,
D
D
0
'f
f
3
h
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej.
'f
a
a
a
0
2
2
0
5
^ h
a a
a
a
2
1
1
1
0
2
h
h
h
a
0
1 = , a
1
2 = ,
1
a3 =-
,
a a
Df
1
2 g
Badamy znak pochodnej w dziedzinie. Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni, wystarczy
zbadać znak licznika.
'f
a
0
1
^ h
dla
,
a
1
3
! -
h oraz 'f
a
0
2
^ h
dla
,
a
1 0
! -
h.
Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale
,
1
3
i rosnąca w przedziale
,1 0
h. Wynika stąd,
że dla
1
a =- funkcja f osiąga wartość najmniejszą, więc i długość odcinka AB jest najmniejsza, gdy
1
a =- .
Szukana prosta jest więc określona równaniem: y
x
3
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Etap pierwszy to:
a) zapisanie układu równań:
y
a x
a
y
x
3
4
2
oraz wyprowadzenie z niego równania z jedną
niewiadomą i parametrem a, np. a x
a
x
3
4
2 +
;
b) wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i hiperboli w zależności od wartości
parametru a
0
1 , np.
,
A
a
a
1 4
j,
,
B
a
a
4
j;
c) zapisanie długości odcinka AB jako funkcji zmiennej a: AB
a
a
5
1
2
4
$
, gdzie
,
a
0
3
! -
h.
Zdający otrzymuje po 1 punkt za realizację każdej z części tego etapu.
Etap drugi to:
a) wyznaczenie pochodnej funkcji wymiernej f a
a
a
1
2
4
^ h
: 'f
a
a
a
a
2
2
4
5
^ h
;
b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: a
0
1 = , a
1
2 = ,
1
a3 =- ;
c) uzasadnienie, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą dla
1
a =- .
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
a
1
------ -1
0
19 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Uwaga
W uzasadnieniu przyjmowania wartości najmniejszej nie wystarcza stwierdzenie, że skoro pochodna
zmienia znak „z - na +”, to dla
1
a =- funkcja f osiąga minimum. Uzasadnienie uznajemy za
poprawne, jeżeli ze znaku pochodnej zdający określi przebieg funkcji w dziedzinie (np. poda przedziały
monotoniczności, zbuduje tabelę przebiegu zmienności lub naszkicuje wykres) i stąd wywnioskuje
fakt, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla
1
a =- .
Etap trzeci to wyznaczenie równania prostej, która przecina hiperbolę o równaniu y
x
4
tak, że
długość odcinka AB jest najmniejsza: y
x
3
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd rachunkowy,
\n

który nie ułatwia znacząco dalszych obliczeń, to może otrzymać co najwyżej 6 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze długość odcinka AB w zależności od zmiennej a, popełniając błąd merytoryczny,
\n

i otrzyma zupełnie inną funkcję (np. wielomian), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty (za etap I).
20 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}