{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nW czworokącie ABCD dane są: AC\n5\n= , \nBAD\nBCD\nB\nB\n90c\n,  sin\nABC\n3\n5\nB\nOblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.\nOdpowiedź:\n\n5 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nW czworokącie ABCD dane są: AC\n5\n= ,\nBAD\nBCD\nB\nB\n90c\n, sin\nABC\n3\n5\nB\nOblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7. Planimetria. Zdający:\n1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu;\n5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nPonieważ\nDAB\nDCB\nB\nB\n180c\n, więc na tym czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD\nczworokąta jest jednocześnie średnicą tego okręgu (kąt wpisany prosty jest oparty na średnicy).\nZ twierdzenia sinusów w trójkącie ABC otrzymujemy:\nsin\nAC\nBD\na =\n,\nBD\n3\n5\n5\nStąd BD\n3 5\nSposób II\nWprowadzamy oznaczenia na rysunku.\nDAC\nB\n90c\nb\n- oraz\nADC\nB\n360\n2 90\n180\n$\nc\nc\nc\na\na\nA\nD\nC\nB\n5\nα\nA\nD\nC\nB\n5\nα\nβ\n3 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nStosujemy twierdzenie sinusów w trójkątach ABC i ACD.\nsin\nsin\nBC\n5\nb\na\nsin\nBC\n3 5\nb\nsin\nsin\nCD\n90\n180\n5\nc\nc\nb\na\nh\nh\ncos\nCD\n3 5\nb\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD otrzymujemy:\nBD\nBC\nCD\n2\n2\n2\n,\nsin\ncos\nBD\n3 5\n3 5\n2\n2\n2\nb\nb\nh\nh ,\nsin\ncos\nBD\n45\n2\n2\n2\nb\nb\nh,\nBD\n45\n3 5\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy sporządzi poprawny rysunek.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy sporządzi rysunek i:\nzauważy, że na czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD jest średnicą tego okręgu\nalbo\nuzależni długości odcinków BC i CD od funkcji trygonometrycznych kąta β:\nsin\nBC\n3 5\nb\n,\ncos\nCD\n3 5\nb\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy obliczy długość przekątnej: BD\n3 5","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
W czworokącie ABCD dane są: AC
5
= ,
BAD
BCD
B
B
90c
,  sin
ABC
3
5
B
Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.
Odpowiedź:

\n

5 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
W czworokącie ABCD dane są: AC
5
= ,
BAD
BCD
B
B
90c
, sin
ABC
3
5
B
Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąta.
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
R7. Planimetria. Zdający:

\n
  1. stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg
\n

i czworokąty opisane na okręgu;

\n
  1. znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem
\n

twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku.
Ponieważ
DAB
DCB
B
B
180c
, więc na tym czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD
czworokąta jest jednocześnie średnicą tego okręgu (kąt wpisany prosty jest oparty na średnicy).
Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC otrzymujemy:
sin
AC
BD
a =
,
BD
3
5
5
Stąd BD
3 5
Sposób II
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku.
DAC
B
90c
b

\n\n

ADC
B
360
2 90
180
$
c
c
c
a
a
A
D
C
B
5
α
A
D
C
B
5
α
β
3 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkątach ABC i ACD.
sin
sin
BC
5
b
a
sin
BC
3 5
b
sin
sin
CD
90
180
5
c
c
b
a
h
h
cos
CD
3 5
b
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD otrzymujemy:
BD
BC
CD
2
2
2
,
sin
cos
BD
3 5
3 5
2
2
2
b
b
h
h ,
sin
cos
BD
45
2
2
2
b
b
h,
BD
45
3 5
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy sporządzi poprawny rysunek.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy sporządzi rysunek i:
zauważy, że na czworokącie można opisać okrąg, a przekątna BD jest średnicą tego okręgu
albo
uzależni długości odcinków BC i CD od funkcji trygonometrycznych kąta β:
sin
BC
3 5
b
,
cos
CD
3 5
b
,
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje
3 pkt
gdy obliczy długość przekątnej: BD
3 5

","solutions":[]}