{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n0\n4\n3\n2\nH\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n7\n8\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n0\n4\n3\n2\nH\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nP2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb\n2\n!\nh oraz a\nb\n2\n2\nR3.7. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nLewa strona nierówności jest wielomianem W x\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n4\n3\n2\n^ h\no współczynnikach\ncałkowitych. Szukamy pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników liczby 9.\nW\n1\n1\n4\n2\n12\n9\n0\nh\nWykonujemy dzielenie wielomianu W przez dwumian x\n1\n+ i otrzymujemy P x\nx\nx\nx\n5\n3\n9\n3\n2\n^ h\nTeraz szukamy pierwiastków wielomianu P(x) wśród dzielników liczby 9.\nP\n1\n1\n5\n3\n9\n0\nh\nWykonujemy dzielenie wielomianu P przez dwumian x\n1\n+ i otrzymujemy Q x\nx\nx\n6\n9\n2\n^ h\n4 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nKorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i zapisujemy Q x\nx\n3\n2\nh\nh .\nA zatem W x\nx\nx\n1\n3\n2\n2\nh\nh\nh .\nDla każdej liczby x\nR\n!\nprawdziwe są nierówności x\n1\n0\n2 H\nh\ni x\n3\n0\n2 H\nh\n, a więc prawdziwa jest\nteż nierówność x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\n, co należało udowodnić.\nSposób II\nPrzekształcamy lewą stronę nierówności, stosując wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania\nwyrazów.\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n2\n1\n4\n16\n4\n8\n1\n4\n2\n2\n4\n2\n1\n1\n4\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n8\n1\n6\n9\n1\n3\n4\n3\n2\n4\n2\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nh\nDla każdej liczby x\nR\n!\nprawdziwa jest nierówność x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\n, bo kwadrat dowolnej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny, czego należało dowieść.\nSposób III\nRozważmy funkcję f x\nx\nx\nx\nx\n4\n2\n12\n9\n4\n3\n2\n^ h\nWielomian jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych,\na\nlim\nlim\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n1\n4\n2\n12\n9\nx\nx\n4\n2\n3\n4\n3\n!\n!\n3\n3\nf^\na\nh\nk\n,\nwięc wystarczy wykazać, że najmniejsza wartość wielomianu f jest dodatnia.\nWyznaczamy funkcję pochodną:\n'f\nx\nx\nx\nx\n4\n12\n4\n12\n3\n2\n^ h\n,\ni obliczamy jej miejsca zerowe.\n'f\nx\nx\nx\nx\n0\n4\n12\n4\n12\n0\n3\n2\n^ h\nx\nx\nx\n4\n3\n4\n3\n0\n2\nh\nh\nx\nx\nx\n4\n1\n1\n3\n0\nh\nh\nh\nx\n1\n= lub\n1\nx =- lub x\n3\nSzkicujemy wykres znaku pochodnej.\nFunkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (\n,\n1\n3\nH\noraz\n,1 3 i rosnąca w każdym\nz przedziałów\n,1 1\noraz\n,3 3h, więc wartość najmniejszą przyjmuje w jednym z minimów\nlokalnych, czyli dla x\n1\n=- lub x\n3\n(\n)\nf\n1\n4\n2\n12\n9\n0\n1 =\nf 3\n81\n4 27\n18\n36\n9\n0\n$\n^ h\nWartość najmniejsza funkcji f jest równa 0, zatem f x\n0\nH\n^ h\ndla x\nR\n!\n, co kończy dowód.\nx\n1\n3\n--- -1\nf (x)\n5 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy znajdzie przynajmniej 2 pierwiastki wielomianu stopnia czwartego i zapisze ten wielomian\nw postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego\nalbo\ngdy grupę składników: x\nx\n2\n1\n4\n2\n+ zapisze w postaci: x\nx\n1\n1\n2\n2\nh\nh lub grupę składników:\nx\nx\n4\n12\n8\n3\n+ rozłoży na czynniki, np. do postaci:\nx\nx\nx\n4\n2\n2\n1\n2\n^h\nh\nalbo\ngdy wyznaczy funkcję pochodną: 'f\nx\nx\nx\nx\n4\n12\n4\n12\n3\n2\n^ h\ni obliczy jej miejsca zerowe:\n, ,\nx\n1 1 3\n! -\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zapisze nierówność w postaci x\nx\n1\n3\n0\n2\n2 H\nh\nh\nalbo\ngdy zbada znak pochodnej i ustali argumenty, dla których wielomian może osiągnąć wartość\nnajmniejszą\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
x
x
x
x
4
2
12
9
0
4
3
2
H
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
7
8
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

6 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:
x
x
x
x
4
2
12
9
0
4
3
2
H
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie
i argumentacja.
P2.1. Wyrażenia algebraiczne.
Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na a
b
2
!
h oraz a
b
2
2
R3.7. Równania i nierówności.
Zdający rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe.
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Lewa strona nierówności jest wielomianem W x
x
x
x
x
4
2
12
9
4
3
2
^ h
o współczynnikach
całkowitych. Szukamy pierwiastków tego wielomianu wśród dzielników liczby 9.
W
1
1
4
2
12
9
0
h
Wykonujemy dzielenie wielomianu W przez dwumian x
1

\n\n

x
x
x
5
3
9
3
2
^ h
Teraz szukamy pierwiastków wielomianu P(x) wśród dzielników liczby 9.
P
1
1
5
3
9
0
h
Wykonujemy dzielenie wielomianu P przez dwumian x
1

\n\n

x
x
6
9
2
^ h
4 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i zapisujemy Q x
x
3
2
h
h .
A zatem W x
x
x
1
3
2
2
h
h
h .
Dla każdej liczby x
R
!
prawdziwe są nierówności x
1
0
2 H
h
i x
3
0
2 H
h
, a więc prawdziwa jest
też nierówność x
x
1
3
0
2
2 H
h
h
, co należało udowodnić.
Sposób II
Przekształcamy lewą stronę nierówności, stosując wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania
wyrazów.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
12
9
2
1
4
16
4
8
1
4
2
2
4
2
1
1
4
2
2
1
1
2
1
4
8
1
6
9
1
3
4
3
2
4
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
Dla każdej liczby x
R
!
prawdziwa jest nierówność x
x
1
3
0
2
2 H
h
h
, bo kwadrat dowolnej liczby
rzeczywistej jest nieujemny, czego należało dowieść.
Sposób III
Rozważmy funkcję f x
x
x
x
x
4
2
12
9
4
3
2
^ h
Wielomian jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych,
a
lim
lim
x
x
x
x
x
x
1
4
2
12
9
x
x
4
2
3
4
3
!
!
3
3
f^
a
h
k
,
więc wystarczy wykazać, że najmniejsza wartość wielomianu f jest dodatnia.
Wyznaczamy funkcję pochodną:
'f
x
x
x
x
4
12
4
12
3
2
^ h
,
i obliczamy jej miejsca zerowe.
'f
x
x
x
x
0
4
12
4
12
0
3
2
^ h
x
x
x
4
3
4
3
0
2
h
h
x
x
x
4
1
1
3
0
h
h
h
x
1
= lub
1
x =- lub x
3
Szkicujemy wykres znaku pochodnej.
Funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (
,
1
3
H
oraz
,1 3 i rosnąca w każdym
z przedziałów
,1 1
oraz
,3 3h, więc wartość najmniejszą przyjmuje w jednym z minimów
lokalnych, czyli dla x
1
=- lub x
3
(
)
f
1
4
2
12
9
0
1 =
f 3
81
4 27
18
36
9
0
$
^ h
Wartość najmniejsza funkcji f jest równa 0, zatem f x
0
H
^ h
dla x
R
!
, co kończy dowód.
x
1
3
--- -1
f (x)
5 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy znajdzie przynajmniej 2 pierwiastki wielomianu stopnia czwartego i zapisze ten wielomian
w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego
albo
gdy grupę składników: x
x
2
1
4
2

\n\n

x
1
1
2
2
h
h lub grupę składników:
x
x
4
12
8
3

\n\n

x
x
x
4
2
2
1
2
^h
h
albo
gdy wyznaczy funkcję pochodną: 'f
x
x
x
x
4
12
4
12
3
2
^ h
i obliczy jej miejsca zerowe:
, ,
x
1 1 3
! -
,
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy zapisze nierówność w postaci x
x
1
3
0
2
2 H
h
h
albo
gdy zbada znak pochodnej i ustali argumenty, dla których wielomian może osiągnąć wartość
najmniejszą
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje
3 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[]}