{"id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2018,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nCiąg an\nh jest określony wzorem:\nlog\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n4\n2018\nh\nh\nh\nh\n dla n\n1\nH .\nUzasadnij, że wzór ciągu an\nh można zapisać w postaci\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh i oblicz wartość wyrażenia\na\na\na\na\n1\n2\n3\n2017\n\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nCiąg an\nh jest określony wzorem:\nlog\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n4\n2018\nh\nh\nh\nh\ndla n\n1\nH . Uzasadnij, że wzór ciągu an\nh można zapisać w postaci:\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh i oblicz wartość\nwyrażenia:\na\na\na\na\n1\n2\n3\n2017\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający:\nP6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory\nna logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym.\nR2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na\nzamianę podstawy logarytmu.\nP5.1.Ciągi.\nZdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZe wzoru na zmianę podstawy logarytmu wynika, że log\nlog\nb\na\n1\na\nb\n. Zatem wzór ciągu:\nlog\nlog\nlog\na\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nn\n2\n3\n2018\nh\nh\nh\nmożna zapisać w postaci:\nlog\nlog\nlog\na\n2\n3\n2018\n1\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\n6 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPo zastosowaniu wzoru na sumę logarytmów otrzymujemy:\nlog\na\n2 3 4\n2018\n1\nn\nn\n1\n$\n$\n$\n$\nh,\n!\nlog\na\n2018\n1\nn\nn\n1\n,\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh.\nTeraz można obliczyć wartość sumy.\n!\nlog\nlog\nlog\nlog\nlog\nlog\na\na\na\na\n2\n3\n4\n2018\n2 3 4\n2018\n2018\n1\n!\n!\n!\n!\n!\n!\n1\n2\n3\n2017\n2018\n2018\n2018\n2018\n2018\n2018\n$\n$\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n1 pkt\nZdający zapisze wzór ciągu w postaci:\nlog\nlog\nlog\na\n2\n3\n2018\n1\nn\nn\nn\nn\n1\n1\n1\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zapisze wzór ciągu w postaci:\nlog\na\nn\n1\n!\nn\n2018\nh\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający obliczy wartość wyrażenia\na\na\na\na\n1\n1\n2\n3\n2017","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Ciąg an
h jest określony wzorem:
log
log
log
log
a
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
2
3
4
2018
h
h
h
h
dla n
1
H .
Uzasadnij, że wzór ciągu an
h można zapisać w postaci
log
a
n
1
!
n
2018
h i oblicz wartość wyrażenia
a
a
a
a
1
2
3
2017

\n

7 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Ciąg an
h jest określony wzorem:
log
log
log
log
a
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
n
2
3
4
2018
h
h
h
h
dla n
1
H . Uzasadnij, że wzór ciągu an
h można zapisać w postaci:
log
a
n
1
!
n
2018
h i oblicz wartość
wyrażenia:
a
a
a
a
1
2
3
2017
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający:
\n

P6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory
na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku
naturalnym.
R2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na
zamianę podstawy logarytmu.
P5.1.Ciągi.
Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
Przykładowe rozwiązanie
Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu wynika, że log
log
b
a
1
a
b
. Zatem wzór ciągu:
log
log
log
a
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
n
2
3
2018
h
h
h
można zapisać w postaci:
log
log
log
a
2
3
2018
1
n
n
n
n
1
1
1
6 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Po zastosowaniu wzoru na sumę logarytmów otrzymujemy:
log
a
2 3 4
2018
1
n
n
1
$
$
$
$
h,
!
log
a
2018
1
n
n
1
,
log
a
n
1
!
n
2018
h.
Teraz można obliczyć wartość sumy.
!
log
log
log
log
log
log
a
a
a
a
2
3
4
2018
2 3 4
2018
2018
1
!
!
!
!
!
!
1
2
3
2017
2018
2018
2018
2018
2018
2018
$
$
$
$
h
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
1 pkt
Zdający zapisze wzór ciągu w postaci:
log
log
log
a
2
3
2018
1
n
n
n
n
1
1
1
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający zapisze wzór ciągu w postaci:
log
a
n
1
!
n
2018
h
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne
3 pkt
Zdający obliczy wartość wyrażenia
a
a
a
a
1
1
2
3
2017

","solutions":[]}