{"id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2018,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nW równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono\nprostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz\nrysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.\nE\nD\nC\nB\nA\nF\n\nMMA_1P\nW równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka $D$ poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nW równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono\nprostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz\nrysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (podobieństwo)\nRozpatrujemy trójkąty AFD i BFE.\nKąty DAF i EBF są odpowiadające i odcinki AD i BC są równoległe, więc\nDAF\nEBF\n\n\nTak samo wnioskujemy, że\nADF\nBEF\n\n\n. Ponadto kąt przy wierzchołku F jest kątem\nwspólnym w obu trójkątach, więc z cechy kkk podobieństwa trójkątów wnioskujemy, że\ntrójkąty AFD i BFE są podobne.\nStąd wynika proporcja\nAD\nAF\nBE\nBF\n,\nale\n1\n1\n2\n2\nBE\nBC\nAD\n, gdyż punkt E jest środkiem boku BC.\nZatem\n1\n2\nAD\nAF\nBF\nAD\n, czyli\n2\nAF\nBF\n,\nco należało wykazać.\nE\nD\nC\nB\nA\nF\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nII sposób (przystawanie)\nRozpatrujemy trójkąty BFE oraz CDE.\n1. Kąty BEF i CED są wierzchołkowe, więc\nBEF\nCED\n\n\n2. Kąty FBE i DCE są naprzemianległe i proste AB i CD są równoległe, więc\nFBE\nDCE\n\n\n3. Punkt E jest środkiem boku BC, więc BE\nEC\nStąd, na mocy cechy kbk przystawania trójkątów wnioskujemy, że trójkąty BFE i CDE są\nprzystające. Zatem BF\nCD\nPonieważ czworokąt ABCD jest równoległobokiem, więc AB\nCD\n. Z ostatnich dwóch\nrówności wynika, że AB\nBF\n, co oznacza, że punkt B jest środkiem odcinka AF.\nTo należało wykazać.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze lub wykorzysta przystawanie trójkątów BFE oraz CDE\nalbo\nzauważy podobieństwo trójkątów AFD i BFE, zapisze proporcję, wynikającą\nz tego podobieństwa, np. AD\nAF\nBE\nBF\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono<br>prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz<br>rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.<br>E<br>D<br>C<br>B<br>A<br>F</p>\n<p>MMA_1P<br>W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka $D$ poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-2)<br>W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC. Z wierzchołka D poprowadzono<br>prostą przecinającą bok BC w punkcie E. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz<br>rysunek). Wykaż, że punkt B jest środkiem odcinka AF.<br>Przykładowe rozwiązania<br>I sposób (podobieństwo)<br>Rozpatrujemy trójkąty AFD i BFE.<br>Kąty DAF i EBF są odpowiadające i odcinki AD i BC są równoległe, więc<br>DAF<br>EBF<br><br><br>Tak samo wnioskujemy, że<br>ADF<br>BEF<br><br><br>. Ponadto kąt przy wierzchołku F jest kątem<br>wspólnym w obu trójkątach, więc z cechy kkk podobieństwa trójkątów wnioskujemy, że<br>trójkąty AFD i BFE są podobne.<br>Stąd wynika proporcja<br>AD<br>AF<br>BE<br>BF<br>,<br>ale<br>1<br>1<br>2<br>2<br>BE<br>BC<br>AD<br>, gdyż punkt E jest środkiem boku BC.<br>Zatem<br>1<br>2<br>AD<br>AF<br>BF<br>AD<br>, czyli<br>2<br>AF<br>BF<br>,<br>co należało wykazać.<br>E<br>D<br>C<br>B<br>A<br>F<br>Schemat oceniania<br>Poziom podstawowy<br>II sposób (przystawanie)<br>Rozpatrujemy trójkąty BFE oraz CDE.</p>\n<ol><li>Kąty BEF i CED są wierzchołkowe, więc</li></ol>\n<p>BEF<br>CED<br><br></p>\n<ol><li>Kąty FBE i DCE są naprzemianległe i proste AB i CD są równoległe, więc</li></ol>\n<p>FBE<br>DCE<br><br></p>\n<ol><li>Punkt E jest środkiem boku BC, więc BE</li></ol>\n<p>EC<br>Stąd, na mocy cechy kbk przystawania trójkątów wnioskujemy, że trójkąty BFE i CDE są<br>przystające. Zatem BF<br>CD<br>Ponieważ czworokąt ABCD jest równoległobokiem, więc AB<br>CD<br>. Z ostatnich dwóch<br>równości wynika, że AB<br>BF<br>, co oznacza, że punkt B jest środkiem odcinka AF.<br>To należało wykazać.<br>Schemat punktowania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy<br>zapisze lub wykorzysta przystawanie trójkątów BFE oraz CDE<br>albo<br>zauważy podobieństwo trójkątów AFD i BFE, zapisze proporcję, wynikającą<br>z tego podobieństwa, np. AD<br>AF<br>BE<br>BF<br>i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.<br>Schemat oceniania<br>Poziom podstawowy</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"}]}