{"id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2018,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (\n) 1\n1\n4\na\nb\na\nb\n\n\n≥\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a + b) ⋅ (1/a + 1/b) ≥ 4.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (\n) 1\n1\n4\na\nb\na\nb\n\n\n≥\n\n\n\n\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie (\n)(\n)\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\ni otrzymujemy\n1\n1\n4\na\nba\nb\n+ ≥\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n,\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\nTa kończy dowód.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie przekształci nierówność do postaci, w której liczby a i b występują jedynie\nw wyrażeniach:\n2\na ,\n2\nb i ab , np.:\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\nlub\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n2\na\nba\nb +\n≥\ni na tym zakończy,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n2\na\nba\nb +\n≥\ni zapisze, że jest ona\nprawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\ni zapisze, że jest\nona prawdziwa dla dowolnych liczb, to otrzymuje 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem\nnierówności (\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów.\n6. Jeżeli zdający w wyniku poprawnych przekształceń równoważnych otrzyma\nnierówność (\n)\n2\n4\na\nb\nab\n≥\n, to otrzymuje 1 punkt.\n7. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej\n2\na\nb\nab\n≥\ni na tym\nzakończy, to otrzymuje 1 punkt. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci\nrównoważnej\n2\na\nb\nab\n≥\ni dopisze komentarz o średnich, uzasadniający jej\nprawdziwość dla dowolnych liczb dodatnich a, b, to otrzymuje 2 punkty.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"algebra","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (
) 1
1
4
a
b
a
b


≥




Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (a + b) ⋅ (1/a + 1/b) ≥ 4.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to (
) 1
1
4
a
b
a
b


≥




Przykładowe rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie wyrażenie (
)(
)
1
1
4
a
b
a
b
≥
i otrzymujemy
1
1
4
a
ba
b

\n\n

,
2
2
2
a
b
ab
≥
,
2
2
2
a
b
ab
≥
,
(
)
2
0
a
b
≥
Ta kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie przekształci nierówność do postaci, w której liczby a i b występują jedynie
w wyrażeniach:
2
a ,
2
b i ab , np.:
2
2
2
a
b
ab
≥
lub
2
2
2
a
b
ab
≥
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej
\n

2
a
ba
b +
≥
i na tym zakończy,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej
\n

2
a
ba
b +
≥
i zapisze, że jest ona
prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej
\n

2
2
2
a
b
ab
≥
i zapisze, że jest
ona prawdziwa dla dowolnych liczb, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem
\n

nierówności (
)
2
0
a
b
≥
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,
\n

to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w wyniku poprawnych przekształceń równoważnych otrzyma
\n

nierówność (
)
2
4
a
b
ab
≥
, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci równoważnej
\n

2
a
b
ab
≥
i na tym
zakończy, to otrzymuje 1 punkt. Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci
równoważnej
2
a
b
ab
≥
i dopisze komentarz o średnich, uzasadniający jej
prawdziwość dla dowolnych liczb dodatnich a, b, to otrzymuje 2 punkty.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"}]}