{"id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2018,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest równy 34, a suma\njego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego\nciągu.\nOdpowiedź:\n(\n)\nn\na\n\nMMA_1P\nDziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\n, określonego dla\n1\nn ≥, jest równy 34, a suma\njego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego\nciągu.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na\n9a :\n9\n1\n(9 1)\n⋅\na\na\nr .\nKorzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy\nwzór na\n8S :\n1\n8\n2\n(8 1)\n8\n2\n⋅\n⋅\na\nr\nS\nOtrzymujemy układ równań\n1\n34\n8\na\nr i\n1\n110\n8\n28\na\nr .\nStąd otrzymujemy\n1\n2,\n4,5\na\nr\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi\n1a i r wynikające z zastosowania\npoprawnych wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego:\nnp.:\n1\n34\n8\na\nr i\n1\n2\n7\n110\n8\n2\n⋅\na\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: 1\n2\na = - i obliczy różnicę ciągu:\n4,5\nr =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie\n8 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że 1\n2\na = - i\n4,5\nr =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy\ni ustali, że 1\n2\na = - i\n4,5\nr =\n, ale nie zapisze wszystkich 8 początkowych wyrazów ciągu,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 1\n2\na = - i\n4,5\nr =\n, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający dodaje do sumy ośmiu początkowych wyrazów wyraz dziewiąty i zapisuje\nwłaściwe równanie z niewiadomą 1a , to otrzymuje przynajmniej 1 punkt.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy","solution":"$a_1 = -2$, $r = 4{,}5$","image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 34, a suma
jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego
ciągu.
Odpowiedź:
(
)
n
a

\n

MMA_1P
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 34, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 34, a suma
jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa 110. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego
ciągu.
Przykładowe rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na
9a :
9
1
(9 1)
⋅
a
a
r .
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na
8S :
1
8
2
(8 1)
8
2
⋅
⋅
a
r
S
Otrzymujemy układ równań
1
34
8
a
r i
1
110
8
28
a
r .
Stąd otrzymujemy
1
2,
4,5
a
r
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi
1a i r wynikające z zastosowania
poprawnych wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego:
np.:
1
34
8
a
r i
1
2
7
110
8
2
⋅
a
r
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: 1
2
a = - i obliczy różnicę ciągu:
4,5
r =
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie
\n

8 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że 1
2
a = - i
4,5
r =
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy
\n

i ustali, że 1
2
a = - i
4,5
r =
, ale nie zapisze wszystkich 8 początkowych wyrazów ciągu,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko 1
\n

2
a = - i
4,5
r =
, to otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający dodaje do sumy ośmiu początkowych wyrazów wyraz dziewiąty i zapisuje
\n

właściwe równanie z niewiadomą 1a , to otrzymuje przynajmniej 1 punkt.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_1 = -2$, $r = 4{,}5$

"}]}