{"id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2018,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nPunkty\n(\n)\n2, 4\nA =\n,\n(\n)\n0, 0\nB =\n,\n(\n)\n4,\n2\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest\nśrodkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nPunkt A=(2,4), B=(0,0), C=(4,-2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nPunkty\n(\n)\n2, 4\nA =\n,\n(\n)\n0, 0\nB =\n,\n(\n)\n4,\n2\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest\nśrodkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.\nPrzykładowe rozwiązania\nPunkt D jest środkiem odcinka AC, więc ze wzorów na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n4 ( 2)\n2 4\n2\n2\n,\n3,1\nD\nPozostaje wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty\n(\n)\n0, 0\nB =\ni\n(\n)\n3,1\nD =\nI sposób\nSzukane równanie ma postać\nb\nax\ny\n. Ponieważ punkty B i D leżą na tej prostej, więc\nmożemy zapisać układ równań:\n3\n1\n0\n0.\na\nb\na\nb\n⋅+\n\n⋅+\n\nZ drugiego równania mamy\n0\nb\n, a odejmując stronami otrzymujemy\n1\n3 =\na\n, czyli\n1\n3\na =\nII sposób\nPodstawmy współrzędne punktów\n(\n)\n3,1\nD =\noraz\n(\n)\n0, 0\nB =\ndo równania prostej,\nprzechodzącej przez dane dwa punkty:\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n0\n3\n1\n0\n3\n0\n1\nx\ny\nStąd\n(\n)\n0\n3\n1\n3\nx\ny\n, czyli\n0\n3\n3\n3\nx\ny\n. Zatem\n1\n3\ny\nx\nIII sposób\nMożemy zaznaczyć w układzie współrzędnych wierzchołki trójkąta i korzystając z punktów\nkratowych ustalić zależność między prostą AC i prostą do niej prostopadłą przechodzącą\nprzez środek odcinka AC, np. tak, jak na rysunku.\n1\n2\n3\n4\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nA\nB\nC\nD\nZauważamy wówczas, że szukana prosta ma równanie\n1\n3\ny\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy lub poda współrzędne środka D odcinka AC:\n(\n)\n3,1\nD =\nalbo\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n• zaznaczy w układzie współrzędnych wierzchołki trójkąta ABC i zaznaczy na rysunku\nprostą BD oraz wyznaczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:\n3\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej BD:\n1\n3\ny\nx\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej\nprzez punkt B oraz zapisze (zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest równoramienny, to\notrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej\nprzez punkt B, ale nie zapisze (nie zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest\nrównoramienny, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej przez\npunkt B i popełni przy tym błąd lub nie doprowadzi rozwiązania do końca, ale zapisze\n(zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest równoramienny, to otrzymuje 1 punkt.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy","solution":"$y = \\dfrac{1}{3}x$","image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"analityczna","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2018 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Punkty
(
)
2, 4
A =
,
(
)
0, 0
B =
,
(
)
4,
2
C =
są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest
środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Punkt A=(2,4), B=(0,0), C=(4,-2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Punkty
(
)
2, 4
A =
,
(
)
0, 0
B =
,
(
)
4,
2
C =
są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt D jest
środkiem boku AC tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej BD.
Przykładowe rozwiązania
Punkt D jest środkiem odcinka AC, więc ze wzorów na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
(
)
(
)
4 ( 2)
2 4
2
2
,
3,1
D
Pozostaje wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
(
)
0, 0
B =
i
(
)
3,1
D =
I sposób
Szukane równanie ma postać
b
ax
y
. Ponieważ punkty B i D leżą na tej prostej, więc
możemy zapisać układ równań:
3
1
0
0.
a
b
a
b
⋅+

⋅+

Z drugiego równania mamy
0
b
, a odejmując stronami otrzymujemy
1
3 =
a
, czyli
1
3
a =
II sposób
Podstawmy współrzędne punktów
(
)
3,1
D =
oraz
(
)
0, 0
B =
do równania prostej,
przechodzącej przez dane dwa punkty:
(
)(
) (
)(
)
0
3
1
0
3
0
1
x
y
Stąd
(
)
0
3
1
3
x
y
, czyli
0
3
3
3
x
y
. Zatem
1
3
y
x
III sposób
Możemy zaznaczyć w układzie współrzędnych wierzchołki trójkąta i korzystając z punktów
kratowych ustalić zależność między prostą AC i prostą do niej prostopadłą przechodzącą
przez środek odcinka AC, np. tak, jak na rysunku.
1
2
3
4
-2
-1
1
2
3
4
x
y
A
B
C
D
Zauważamy wówczas, że szukana prosta ma równanie
1
3
y
x
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wyznaczy lub poda współrzędne środka D odcinka AC:
(
)
3,1
D =
albo
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
• zaznaczy w układzie współrzędnych wierzchołki trójkąta ABC i zaznaczy na rysunku
prostą BD oraz wyznaczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC:
3
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy równanie prostej BD:
1
3
y
x
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej
\n

przez punkt B oraz zapisze (zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest równoramienny, to
otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej
\n

przez punkt B, ale nie zapisze (nie zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest
równoramienny, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do prostej AC i przechodzącej przez
\n

punkt B i popełni przy tym błąd lub nie doprowadzi rozwiązania do końca, ale zapisze
(zaznaczy na rysunku), że trójkąt ABC jest równoramienny, to otrzymuje 1 punkt.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2018-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = \\dfrac{1}{3}x$

"}]}