Zadanie 32. (0-5)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
O
A
S
C
B
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Zadanie 32. (0-5)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość a. Pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz
cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
Przykładowe rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia:
bh - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
α - kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy,
E - środek krawędzi BC.
Z podanej zależności pól 2
p
b
P
P
⋅
otrzymujemy równanie
2 3
1
4
2
2
3
b
a
a h
⋅
= ⋅
⋅⋅
,
skąd otrzymujemy
3
3
b
a
h =
Trójkąt ABC jest równoboczny, spodek O wysokości ostrosłupa jest środkiem ciężkości tego
trójkąta, więc
3
2
a
AE =
oraz
2
3
AO
AE
. Stąd
3
3
a
AO =
O
A
S
C
B
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BES i otrzymujemy
(
)
( )
2
2
3
3
2
7
21
6
2 3
a
a
a
a
SB =
Ponieważ w ostrosłupie prawidłowym krawędzie boczne mają równe długości, więc
21
6
a
AS
BS
Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym AOS otrzymujemy
cos
AO
AS
α =
3
3
21
6
2
2 7
cos
7
7
a
a
AO
AS
α =
Uwaga
Zamiast wyznaczać długość krawędzi bocznej może wyznaczyć, korzystając z twierdzenia
Pitagorasa dla trójkąta OES wysokość SO ostrosłupa:
(
)
(
)
2
2
3
3
3
6
2
a
a
a
SO =
Następnie z trójkąta prostokątnego ASO możemy obliczyć tangens kąta α :
2
3
3
3
tg
2
a
a
SO
AO
α =
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych możemy obliczyć cosinus kąta α :
3
sin
cos
2
αα =
oraz
2
2
sin
cos
α
α
=1.
Z pierwszego równanie otrzymujemy
3
2
sin
cos
α
α
. Stąd i z drugiego równania
otrzymujemy
(
)
2
2
3
2 cos
cos
α
α
=1,
2
7
4 cos α =1,
2
4
7
cos α =
Stąd
2 7
2
7
7
cosα =
, gdyż kąt α jest ostry.
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
• zaznaczy na rysunku kąt α lub zapisze cos
AO
AS
α =
albo
• wyznaczy długość odcinka AO:
3
3
a
AO =
,
albo
• wyznaczy długość odcinka EO:
3
6
a
EO =
,
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
albo
• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi a i
bh wynikające z zależności między
polem podstawy i polem powierzchni bocznej ostrosłupa:
2 3
1
4
2
2
3
b
a
a h
⋅
= ⋅
⋅⋅
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający wyznaczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa opuszczoną na krawędź podstawy:
3
3
b
a
h =
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• wyznaczy długość krawędzi bocznej
21
6
a
AS =
i nie wyznaczy długości odcinka AO
albo
• wyznaczy długość odcinka AO i wysokość ostrosłupa:
3
3
a
AO =
,
2
a
SO =
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający:
• wyznaczy
21
6
a
AS =
i
3
3
a
AO =
albo
• obliczy
3
7
sinα =
,
albo
• obliczy
3
2
tgα =
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy wartość
2
2 7
cos
7
7
α =
Uwagi
rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 4 punkty.
\ntrójkąta równobocznego, to otrzymuje 3 punkty, o ile nie popełnia innych błędów
i rozwiąże zadanie do końca.
3 punkty, o ile nie popełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.
\nAE lub przyjmie, że
1
3
AO
AE
, to otrzymuje 3 punkty, o ile nie popełnia innych
błędów i rozwiąże zadanie do końca.
polem podstawy a polem powierzchni bocznej, przyjmując
2
p
b
P
P
, to może otrzymać co
najwyżej 1 punkt.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
polem podstawy a polem powierzchni bocznej, przyjmując 2
p
sb
P
P
lub
2
p
sb
P
P
, to
może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
podstawy ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
\nprzybliżoną wartość cosinusa z tablic, to może otrzymać maksymalną liczbę punktów.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
$\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{7}$
"}]}