Zadanie 33. (0-4)
Ze zbioru
{
}
3,
2,
1,1, 2, 3
A = -
losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru
{
}
2
,1
,0
,1
B
losujemy liczbę b. Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem
wolnym funkcji liniowej
( )
f x
ax
b
. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
Ze zbioru A = {-3,-2,-1,1,2,3} losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru B = {-1,0,1,2} losujemy liczbę b. Te liczby są -- odpowiednio -- współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej f(x)=ax+b. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Zadanie 33. (0-4)
Ze zbioru
{
}
3,
2,
1,1, 2, 3
A = -
losujemy liczbę a, natomiast ze zbioru
{
}
2
,1
,0
,1
B
losujemy liczbę b. Te liczby są - odpowiednio - współczynnikiem kierunkowym i wyrazem
wolnym funkcji liniowej
( )
f x
ax
b
. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Przykładowe rozwiązanie
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para (
)
b
a,
liczb, gdzie
A
a ∈
oraz
B
b∈
Liczba Ω wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
6 4
24
Ω =
⋅
Niech Z oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymana funkcja f jest rosnąca i ma
dodatnie miejsce zerowe. Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest
dodatni, więc
{
}
1, 2, 3
a∈
. Rosnąca funkcja liniowa ma dodatnie miejsce zerowe tylko
wówczas, gdy jej wykres przecina oś Oy w punkcie o ujemnej rzędnej. Zatem współczynnik b
musi być równy 1
Zbiór Z ma więc postać
(
) (
) (
)
{
}
1,
1 , 2,
1 , 3,
1
Z =
Zatem liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu Z jest równa
3
Z =
Prawdopodobieństwo zdarzenia Z jest równe:
( )
3
1
24
8
P Z =
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
6 4
24
Ω =
⋅
lub wypisze
wszystkie zdarzenia elementarne
albo
• zapisze, że funkcja liniowa f jest rosnąca tylko dla
{
}
1, 2, 3
a∈
,
albo
• zapisze, że funkcja liniowa f, jako funkcja rosnąca, ma dodatnie miejsce zerowe dla
1
b = -
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
6 4
Ω =
⋅ lub wypisze wszystkie
zdarzenia elementarne oraz zapisze, że funkcja liniowa f jest rosnąca tylko dla
{
}
1, 2, 3
a∈
albo
• zapisze, że funkcja liniowa f jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe dla
{
}
1, 2, 3
a∈
i
1
b = -
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych
6 4
Ω =
⋅ oraz
• wyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu Z:
(
(
) (
) (
)
{
}
1,
1 , 2,
1 , 3,
1
Z =
)
albo
• zapisze, że
{
}
1, 2, 3
a∈
,
1
b = - oraz
3
Z =
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy szukane prawdopodobieństwo: 8
1 .
Uwagi
otrzymać co najwyżej 2 punkty.
\n3
Z =
i nie zapisze zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu Z i z rozwiązania nie można wywnioskować, które zdarzenia elementarne
zdający bierze pod uwagę, ale zapisze, że
{
}
1, 2, 3
a∈
(albo tylko
1
b = -), to za całe
rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
3
Z =
i nie zapisze zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu Z i z rozwiązania nie można wywnioskować, które zdarzenia elementarne
zdający bierze pod uwagę, nie zapisze, że
{
}
1, 2, 3
a∈
oraz nie zapisze, że
1
b = -, to za
całe rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
i przyjmie, że takimi zdarzeniami są też inne pary postaci (
)
,a b , gdzie
{
}
1, 2, 3
a∈
,
to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile przyjęcie tych niepoprawnych
zdarzeń elementarnych jest efektem błędów rachunkowych przy obliczaniu miejsc
zerowych utworzonych funkcji.
i trzecie poprawne potraktuje jako zdarzenie niesprzyjające zdarzeniu Z, to może
otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile odrzucenie tego poprawnego zdarzenia
elementarnego jest efektem błędów rachunkowych przy obliczaniu miejsca zerowego
utworzonej funkcji.
ocenione tak jak w niżej wymienionych przypadkach.
Przypadek 6a. Jeśli zdający, przy rozważanym a < 0, rozważa b < 0, rysuje wykres
rosnącej funkcji liniowej (lub w inny sposób sygnalizuje, że rozważa funkcję rosnącą)
i poprawnie oblicza |Ω|, to może otrzymać 2 punkty, o ile nie popełnia innych błędów
i rozwiązuje zadanie do końca.
Przypadek 6b. Jeśli zdający, przy rozważanym a < 0, rozważa funkcję liniową malejącą
i konsekwentnie b > 0, a ponadto poprawnie oblicza |Ω|, to może otrzymać 2 punkty,
o ile nie popełnia innych błędów i rozwiązuje zadanie do końca.
4 punkty - za rozwiązanie w pełni poprawne;
3 punkty - za rozwiązanie, z którego jednoznacznie wynika, że zdający ustala:
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
a = 1, 2, 3 i że a może być wylosowane z prawdopodobieństwem 1
2 , b = -1i że może być
wylosowane z prawdopodobieństwem 1
4 ;
2 punkty - za rozwiązanie, z którego jednoznacznie wynika, że zdający ustala:
a > 0 i że może być wylosowane z prawdopodobieństwem 1
2 , b < 0 i że może być
wylosowane z prawdopodobieństwem 1
4
albo
a = 1, 2, 3 i b = -1;
1 punkt - za rozwiązanie, z którego jednoznacznie wynika, że zdający ustala:
a = 1, 2, 3
albo
a > 0 i że może być wylosowane z prawdopodobieństwem 1
2 .
wszystkie zdarzenia elementarne) i zapisze, że funkcja liniowa f, jako funkcja rosnąca,
ma dodatnie miejsce zerowe gdy b = -1, to może otrzymać 2 punkty.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
\\dfrac{1}{8}
"}]}