{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nOdpowiedź:\n(\n)\n7\n2\n7\n2\nx\nx\nx\n>\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność x(7x+2) > 7x+2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nI etap rozwiązania (obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego)\n• zapisujemy nierówność w postaci\n2\n7\n5\n2\n0\nx\nx\n>\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n2\n7\n5\n2\nx\nx\n; obliczamy wyróżnik tego trójmianu\n25\n4 7 2\n25\n56\n81\nΔ =\n+ ⋅⋅\ni stąd\n1\n5\n9\n2\n14\n7\nx\noraz\n2\n5\n9\n1\n14\nx\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n) (\n)\n7\n2\n7\n2\n0\nx\nx\nx\n>\ni po wyłączeniu wspólnego\nczynnika przed nawias otrzymujemy postać iloczynową\n(\n)(\n)\n7\n2\n1\n0\nx\nx\n>\n,\nz której wynika, że pierwiastkami trójmianu kwadratowego (\n)(\n)\n7\n2\n1\nx\nx\nsą liczby\n1\n2\n7\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nII etap rozwiązania (zapisanie zbioru rozwiązań nierówności)\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\n-∞-\n∪\n+∞ lub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\no\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n7\nx = -\n,\n2\n1\nx = ,\no\nzaznaczy miejsca zerowe na wykresie funkcji\n2\n( )\n7\n5\n2\nf x\nx\nx\n,\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu\nkwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego błędu\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\n-∞-\n∪\n+∞ lub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞\n(\n)\n7\n2\n7\n2\nx\nx\nx\n>\n4\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n2\n7\nx < -\ni\n1\nx > ,\n2\n7\nx < -\noraz\n1\nx > , itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n2\n7\nx = -\n,\n2\n1\nx = i zapisze\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n,\n1,\nx∈-∞\n∪\n+∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7\n2\nx +\nbez podania odpowiednich\nzałożeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7\n2\nx +\n, poda odpowiednie założenia\nale rozpatrzy poprawnie tylko jeden z przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n) (\n)\n2\n7\n,1\n,\n-∞\n∪-\n+∞, (\n) (\n)\n2\n7\n,1\n,\n+∞\n∪-\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\n5","solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{2}{7}\\right) \\cup (1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
Odpowiedź:
(
)
7
2
7
2
x
x
x

\n
\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność x(7x+2) > 7x+2.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
I etap rozwiązania (obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego)
• zapisujemy nierówność w postaci
2
7
5
2
0
x
x

\n
\n

i obliczamy pierwiastki trójmianu
2
7
5
2
x
x
; obliczamy wyróżnik tego trójmianu
25
4 7 2
25
56
81
Δ =

\n\n

i stąd
1
5
9
2
14
7
x
oraz
2
5
9
1
14
x
albo
• zapisujemy nierówność w postaci (
) (
)
7
2
7
2
0
x
x
x

\n
\n

i po wyłączeniu wspólnego
czynnika przed nawias otrzymujemy postać iloczynową
(
)(
)
7
2
1
0
x
x

\n
\n

,
z której wynika, że pierwiastkami trójmianu kwadratowego (
)(
)
7
2
1
x
x
są liczby
1
2
7
x = -
oraz
2
1
x = .
II etap rozwiązania (zapisanie zbioru rozwiązań nierówności)
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
2
7
,
1,
-∞-
∪
+∞ lub
(
)
(
)
2
7
,
1,
x∈-∞-
∪

\n\n

Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
o
obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
2
7
x = -
,
2
1
x = ,
o
zaznaczy miejsca zerowe na wykresie funkcji
2
( )
7
5
2
f x
x
x
,
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu
kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego błędu
zapisze zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
2
7
,
1,
-∞-
∪
+∞ lub
(
)
(
)
2
7
,
1,
x∈-∞-
∪

\n\n

(
)
7
2
7
2
x
x
x

\n
\n

4
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
\n

wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,
\n

to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
\n

2
7
x < -
i
1
x > ,
2
7
x < -
oraz
1
x > , itp.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
2
7
x = -
,
2
1
x = i zapisze
(
)
(
)
2
7
,
1,
x∈-∞
∪
+∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7
\n

2
x +
bez podania odpowiednich
założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez 7
\n

2
x +
, poda odpowiednie założenia
ale rozpatrzy poprawnie tylko jeden z przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (
) (
)
2
7
,1
,
-∞
∪-
+∞, (
) (
)
2
7
,1
,
+∞
∪-
-∞, to przyznajemy 2 punkty.
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{2}{7}\\right) \\cup (1, +\\infty)$

"}]}