{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:\nOdpowiedź:\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3x²-8x+3 / x-3 = x-3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:\nRozwiązanie\nRównanie\nma sens tylko wtedy, gdy\n3\nx ≠\n. Wtedy\n3\n0\nx -\n≠\n. Mnożąc\nobie strony równania przez\n3\nx - otrzymujemy równanie równoważne\n,\n2\n6\n0\nx\nx\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n6\nx\nx\njest równy\n. Zatem\n1 5\n2\n2\nx\n= - lub\n1 5\n3\n2\nx\nTylko liczba\n2\nx = - spełnia warunek\n3\nx ≠\n, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.\nUwaga\nRównanie\nmożemy też zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n3\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nx\nx\nZatem dla\n3\nx ≠\njest ono równoważne równaniu\n3\n1\n3\nx\nx\n-,\n2\n4\nx = -\n2\nx = -.\nZatem rozwiązaniem równania jest\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• obliczy pierwiastki trójmianu\n2\n6\nx\nx\n:\noraz\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n• zapisze równanie w postaci: (\n)(\n)\n3\n3\n1\n3\n3\nx\nx\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n3\n3\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że jedynym rozwiązaniem równania jest\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\n-, zapisując (\n)(\n)\n3\n3\n1\nx\nx\nlub (\n)(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\ni rozwiąże równanie\nkonsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\npominie współczynnik liczbowy 3, zapisując (\n)(\n)\n1\n3\n3\nx\nx\n, to otrzymuje 0 punktów.\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2\n3\n8\n3\n3\nx\nx\nx\n(\n)\n1\n4\n6\n25\nΔ = -\n⋅-\n2\n3\n8\n3\n3\n3\nx\nx\nx\nx\n2\nx = -\n1\n2\nx = -\n2\n3\nx =\n2\nx = -\n6\n3. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego\n2\n3\n8\n3\nx\nx\n- i otrzyma iloczyn czynników liniowych, w którym nie występuje czynnik\n3\nx -, to otrzymuje 0 punktów.\n7","solution":"$x = -2$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:
Odpowiedź:
2
3
8
3
3
3
x
x
x
x

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek: 3x²-8x+3 / x-3 = x-3.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, które spełniają warunek:
Rozwiązanie
Równanie
ma sens tylko wtedy, gdy
3
x ≠
. Wtedy
3
0
x -
≠
. Mnożąc
obie strony równania przez
3
x - otrzymujemy równanie równoważne
,
2
6
0
x
x
Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
6
x
x
jest równy
. Zatem
1 5
2
2
x
= - lub
1 5
3
2
x
Tylko liczba
2
x = - spełnia warunek
3
x ≠
, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.
Uwaga
Równanie
możemy też zapisać w postaci równoważnej
(
)(
)
3
3
1
3
3
x
x
x
x
Zatem dla
3
x ≠
jest ono równoważne równaniu
3
1
3
x
x
-,
2
4
x = -
2
x = -.
Zatem rozwiązaniem równania jest
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy pierwiastki trójmianu
2
6
x
x
:
oraz
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,
albo
• zapisze równanie w postaci: (
)(
)
3
3
1
3
3
x
x
x
x
lub (
)(
)
1
3
3
3
3
3
x
x
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze, że jedynym rozwiązaniem równania jest
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
\n

2
3
8
3
x
x
-, zapisując (
)(
)
3
3
1
x
x
lub (
)(
)
1
3
3
3
x
x
i rozwiąże równanie
konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
\n

2
3
8
3
x
x
pominie współczynnik liczbowy 3, zapisując (
)(
)
1
3
3
x
x
, to otrzymuje 0 punktów.
2
3
8
3
3
3
x
x
x
x
2
3
8
3
3
3
x
x
x
x
(
)
2
2
3
8
3
3
x
x
x
(
)
1
4
6
25
Δ = -
⋅-
2
3
8
3
3
3
x
x
x
x
2
x = -
1
2
x = -
2
3
x =
2
x = -
6

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy zapisie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
\n

2
3
8
3
x
x

\n\n

3
x -, to otrzymuje 0 punktów.
7

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -2$

"}]}