{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest trójkąt\n. Punkt\njest środkiem boku\ntego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odległości punktów\ni\nod prostej\nsą równe.\nABC\nS\nAB\nA\nB\nCS\nB\nC\nS\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest trójkąt\n. Punkt\njest środkiem boku\ntego trójkąta (zobacz rysunek).\nWykaż, że odległości punktów\ni\nod prostej\nsą równe.\nRozwiązanie\nI sposób (własność środkowej trójkąta)\nOdcinek CS jest środkową trójkąta ABC, więc z własności środkowej trójkąta wynika, że pola\ntrójkątów ASC i BSC są równe. Trójkąty te mają wspólny bok CS, więc wysokości tych\ntrójkątów opuszczone na prostą CS są równe, czyli odległości punktów A i B od prostej CS są\nrówne. To kończy dowód.\nUwaga\nRówność pól trójkątów ASC i BSC wynika wprost z faktu, że podstawy AS i BS tych trójkątów\nmają równe długości, a wysokość opuszczona z wierzchołka C na prostą AB jest wspólną\nwysokością tych trójkątów. Możemy też zauważyć, że kąty ASC i BSC są przyległe, więc jeśli\nASC\nϕ\n\n, to\n180\nBSC\nϕ\n°-\n\n. Wtedy otrzymujemy\n(\n)\n1\n1\n2\n2\nsin 180\nsin\nASC\nBSC\nP\nAS\nCS\nBS\nCS\nP\nϕ\nϕ\n⋅\n⋅\n⋅\n° -\n⋅\n⋅\n⋅\nII sposób (przystawanie trójkątów)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nZauważamy, że:\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\n, jako kąty wierzchołkowe,\nAS\nSB\n, bo punkt S jest środkiem boku AB,\nABC\nS\nAB\nA\nB\nCS\n8\nSAA\nSBB\n′\n′\n\n\n, gdyż są to kąty naprzemianległe i proste AA′ i BB′są równoległe.\nZatem, na podstawie cechy kbk przystawania trójkątów wnioskujemy, ze trójkąty SAA′\ni SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy dowód.\nIII sposób (funkcje trygonometryczne)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nPonieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc kąty odpowiadające A AS\n′\ni B BS\n′\nsą równe.\nOznaczmy miarę tych katów przez α . Z definicji sinusa otrzymujemy\nsin\nAA\nBB\nAS\nBS\nα\n′\n′\nStąd i z równości AS\nSB\nwynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy dowód.\nIV sposób (twierdzenie Talesa)\nPoprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych\nprostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.\nPonieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc z twierdzenia Talesa wynika, że\nA S\nB S\nAS\nBS\n′\n′\nStąd i z równości AS\nSB\nwynika, że A S\nB S\n′\n′\n. Z tych dwóch równości oraz\nz równości\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\nkątów wierzchołkowych wynika (cecha bkb przystawania\ntrójkątów), że trójkąty SAA′ i SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA\nBB\n′\n′\n, co kończy\ndowód.\nUwaga\nPo wykazaniu równości AS\nSB\ni A S\nB S\n′\n′\nmożemy też wykorzystać twierdzenie\nPitagorasa dla trójkątów prostokątnych SAA′ i SAA′. Wtedy otrzymujemy\n9\n2\n2\n2\n2\nAA\nAS\nA S\nBS\nB S\nBB\n′\n′\n′\n′\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\nZdający\n• zapisze, że trójkąty ASC i BSC mają równe pola\nalbo\n• zapisze, że\nA SA\nB SB\n′\n′\n\n\n, AS\nSB\noraz uzasadni, że\nSAA\nSBB\n′\n′\n\n\nalbo\n• uzasadni, że A S\nB S\n′\n′\nalbo\n• zapisze\nA AS\nB BS\n′\n′\n\n\noraz jedną z równości sin\nAA\nAS\nα\n′\nlub sin\nBB\nBS\nα\n′\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający przyjmuje, że trójkąt ABC jest równoramienny lub prostokątny, to otrzymuje\n0 punktów.\n10","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Dany jest trójkąt
. Punkt
jest środkiem boku
tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odległości punktów
i
od prostej
są równe.
ABC
S
AB
A
B
CS
B
C
S

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Dany jest trójkąt
. Punkt
jest środkiem boku
tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odległości punktów
i
od prostej
są równe.
Rozwiązanie
I sposób (własność środkowej trójkąta)
Odcinek CS jest środkową trójkąta ABC, więc z własności środkowej trójkąta wynika, że pola
trójkątów ASC i BSC są równe. Trójkąty te mają wspólny bok CS, więc wysokości tych
trójkątów opuszczone na prostą CS są równe, czyli odległości punktów A i B od prostej CS są
równe. To kończy dowód.
Uwaga
Równość pól trójkątów ASC i BSC wynika wprost z faktu, że podstawy AS i BS tych trójkątów
mają równe długości, a wysokość opuszczona z wierzchołka C na prostą AB jest wspólną
wysokością tych trójkątów. Możemy też zauważyć, że kąty ASC i BSC są przyległe, więc jeśli
ASC
ϕ

, to
180
BSC
ϕ
°-

. Wtedy otrzymujemy
(
)
1
1
2
2
sin 180
sin
ASC
BSC
P
AS
CS
BS
CS
P
ϕ
ϕ
⋅
⋅
⋅
° -
⋅
⋅
⋅
II sposób (przystawanie trójkątów)
Poprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych
prostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.
Zauważamy, że:
A SA
B SB
′
′


, jako kąty wierzchołkowe,
AS
SB
, bo punkt S jest środkiem boku AB,
ABC
S
AB
A
B
CS
8
SAA
SBB
′
′


, gdyż są to kąty naprzemianległe i proste AA′ i BB′są równoległe.
Zatem, na podstawie cechy kbk przystawania trójkątów wnioskujemy, ze trójkąty SAA′
i SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA
BB
′
′
, co kończy dowód.
III sposób (funkcje trygonometryczne)
Poprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych
prostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.
Ponieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc kąty odpowiadające A AS
′
i B BS
′
są równe.
Oznaczmy miarę tych katów przez α . Z definicji sinusa otrzymujemy
sin
AA
BB
AS
BS
α
′
′
Stąd i z równości AS
SB
wynika, że AA
BB
′
′
, co kończy dowód.
IV sposób (twierdzenie Talesa)
Poprowadźmy przez punkty A i B proste prostopadłe do prostej CS, a punkty przecięcia tych
prostych z prostą CS oznaczamy odpowiednio A′ i B′ jak na rysunku.
Ponieważ proste AA′ i BB′są równoległe, więc z twierdzenia Talesa wynika, że
A S
B S
AS
BS
′
′
Stąd i z równości AS
SB
wynika, że A S
B S
′
′
. Z tych dwóch równości oraz
z równości
A SA
B SB
′
′


kątów wierzchołkowych wynika (cecha bkb przystawania
trójkątów), że trójkąty SAA′ i SAA′ są przystające. Stąd wynika, że AA
BB
′
′
, co kończy
dowód.
Uwaga
Po wykazaniu równości AS
SB
i A S
B S
′
′
możemy też wykorzystać twierdzenie
Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych SAA′ i SAA′. Wtedy otrzymujemy
9
2
2
2
2
AA
AS
A S
BS
B S
BB
′
′
′
′
To kończy dowód.
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
Zdający
• zapisze, że trójkąty ASC i BSC mają równe pola
albo
• zapisze, że
A SA
B SB
′
′


, AS
SB
oraz uzasadni, że
SAA
SBB
′
′


albo
• uzasadni, że A S
B S
′
′
albo
• zapisze
A AS
B BS
′
′


oraz jedną z równości sin
AA
AS
α
′
lub sin
BB
BS
α
′
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.
Uwaga
Jeżeli zdający przyjmuje, że trójkąt ABC jest równoramienny lub prostokątny, to otrzymuje
0 punktów.
10

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}