{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby\ni dla każdej liczby\nprawdziwa jest nierówność\n0\na >\n0\nb >\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a + 1/b ≥ 4/a+b.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby\n0\na >\ni dla każdej liczby\n0\nb > prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\nRozwiązanie (I sposób)\nPonieważ z założenia\n0\na >\n,\n0\nb > czyli także\n0\na\nb\n>\n, więc obie strony nierówności\nmożemy pomnożyć przez\n(\n)\na b a b\n⋅⋅\n, otrzymując nierówność równoważną\n(\n)\n(\n)\n4\nb a b\na a b\nab\n≥\nPo otwarciu nawiasów, redukcji wyrazów podobnych i uporządkowaniu otrzymujemy\nnierówność\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n, czyli (\n)\n2\n0\na b\n≥\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dowód został\nzakończony.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy doprowadzi podaną nierówność do postaci\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nZ założenia\n0\na >\ni\n0\nb > , więc\n0\na\nb\n>\n. Zatem obie strony nierówności możemy pomnożyć\nprzez a b\n+ , otrzymując nierówność równoważną\n4\na\nb\na\nb\na\nb\n≥\nLewą stronę zapisujemy w równoważnej postaci\n1\n1\n4\nb\na\na\nb\n+ ≥\nZatem\n2\nb\na\na\nb\n≥\n,\nco kończy dowód, bo suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest równa co najmniej 2.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy doprowadzi podaną nierówność do postaci\n2\nb\na\na\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\n11\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb a i b , to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nRozwiązanie (III sposób)\nZ nierówności między średnią harmoniczną i średnią arytmetyczną otrzymujemy\n1\n1\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\nMnożąc obie strony tej nierówności przez (\n)\n1\n1\n2 a\nb\na\nb\notrzymujemy\n1\n1\n4\na\nb\na\nb\n≥\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze prawdziwą nierówność\n1\n1\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\n12","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"algebra","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby
i dla każdej liczby
prawdziwa jest nierówność
0
a >
0
b >
1
1
4
a
b
a
b
≥

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność 1/a + 1/b ≥ 4/a+b.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby
0
a >
i dla każdej liczby
0
b > prawdziwa jest nierówność
1
1
4
a
b
a
b
≥
Rozwiązanie (I sposób)
Ponieważ z założenia
0
a >
,
0
b > czyli także
0
a
b

\n
\n

, więc obie strony nierówności
możemy pomnożyć przez
(
)
a b a b
⋅⋅
, otrzymując nierówność równoważną
(
)
(
)
4
b a b
a a b
ab
≥
Po otwarciu nawiasów, redukcji wyrazów podobnych i uporządkowaniu otrzymujemy
nierówność
2
2
2
0
a
ab
b
≥
, czyli (
)
2
0
a b
≥
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc dowód został
zakończony.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy doprowadzi podaną nierówność do postaci
2
2
2
0
a
ab
b
≥
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.
Rozwiązanie (II sposób)
Z założenia
0
a >
i
0
b > , więc
0
a
b

\n
\n

. Zatem obie strony nierówności możemy pomnożyć
przez a b

\n\n

4
a
b
a
b
a
b
≥
Lewą stronę zapisujemy w równoważnej postaci
1
1
4
b
a
a
b

\n\n

Zatem
2
b
a
a
b
≥
,
co kończy dowód, bo suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest równa co najmniej 2.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy doprowadzi podaną nierówność do postaci
2
b
a
a
b
≥
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.
11
Uwaga:
Jeżeli zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb a i b , to za całe
rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
Rozwiązanie (III sposób)
Z nierówności między średnią harmoniczną i średnią arytmetyczną otrzymujemy
1
1
2
2
a
b
a
b
≥
Mnożąc obie strony tej nierówności przez (
)
1
1
2 a
b
a
b
otrzymujemy
1
1
4
a
b
a
b
≥
To kończy dowód.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze prawdziwą nierówność
1
1
2
2
a
b
a
b
≥
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.
12

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}