Zadanie 30. (0-2)
W ciągu geometrycznym przez
n
S oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla
liczb naturalnych
1
n ≥. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:
2
1 =
S
i
12
2 =
S
Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
MMA_1P
Rozwiązanie zadania. W ciągu geometrycznym przez S_n oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych n≥1. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: S_1=2 i S_2=12. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Zadanie 30. (0-2)
W ciągu geometrycznym przez
oznaczamy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu, dla
liczb naturalnych
. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:
i
Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Przykładowe rozwiązania
Niech (
)
n
a
będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q, takim, że
1
2
S =
i
2
12
S =
Równości te możemy zapisać w postaci
1
2
a =
oraz
1
2
12
a
a
Stąd
2
10
a =
. Wobec tego iloraz ciągu (
)
n
a
jest równy
2
1
10
5
2
a
q
a
,
natomiast piąty wyraz tego ciągu jest równy
4
4
5
1
2 5
1250
a
a q
⋅
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• poprawnie wyznaczy iloraz
5
q
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
albo
• popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu
2
a i konsekwentnie z tym błędem
rozwiąże zadanie do końca.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy iloraz i piąty wyraz ciągu:
5
q
i
1250
5 =
a
Uwagi
)
n
a
: 2, 10, 50, 250, 1250
i zapisze, że iloraz ciągu jest równy 5, to otrzymuje 2 punkty.
)
n
a
: 2, 10, 50, 250, 1250,
ale nie zapisze, że iloraz ciągu jest równy 5, to otrzymuje 1 punkt.
1
2
a
a jak iloraz rozważanego w zadaniu ciągu geometrycznego,
to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
2
1
S
S jak iloraz ciągu geometrycznego, to otrzymuje 0 punktów
za całe rozwiązanie.
0 punktów za całe rozwiązanie.
n
S
1
n ≥
2
1 =
S
12
2 =
S
13
$q = 5$ i $a_5 = 1250$
"}]}