{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.\nRozwiązanie (I sposób)\nZdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi, których wyrazami są liczby należące do\nzbioru\n. Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Zatem liczba wszystkich\nzdarzeń elementarnych jest równa\nNiech\noznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą\n. Sumę\ntaką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki\ni jedna szóstka. Zatem zdarzeniu A sprzyja następujących 6 zdarzeń elementarnych:\n(\n)\n4,6,6 , (\n)\n6,4,6 , (\n)\n6,6,4 , (\n)\n5,5,6 , (\n)\n5,6,5 , (\n)\n6,5,5 .\nZatem\n, więc prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n6\n1\n216\n36\nP A =\nRozwiązanie (II sposób) „metoda drzewa”\nNiech\noznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą\n. Sumę\ntaką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki\ni jedna szóstka. Rysujemy drzewo zawierające tylko istotne gałęzie.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1 1 1\n1\n6 6 6\n36\n6\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\nalbo\n• narysuje drzewo ilustrujące trzyetapowe doświadczenie losowe i zapisze na co najmniej\njednym odcinku drzewa na każdym etapie doświadczenia prawdopodobieństwo 1\n6\n{\n}\n1,2,3,4,5,6\n36\n216\nΩ =\nA\n16\n6\nA =\nA\n16\n36\n216\nΩ =\n14\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n4,6,6 , (\n)\n6,4,6 , (\n)\n6,6,4 , (\n)\n5,5,6 , (\n)\n5,6,5 , (\n)\n6,5,5\nalbo\n• zapisze, że\ni nie wypisze przy tym błędnych trójek liczb\nalbo\n• narysuje drzewo zawierające tylko istotne gałęzie, ale wszystkie albo zawierające\njeszcze inne gałęzie, przy czym wyróżni wszystkie istotne gałęzie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy i zapisze, że\n( )\n6\n1\n216\n36\nP A =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A i wypisze o jedną trójką za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze żadnej\nniewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\n3. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym zaznacza, że rozważanemu\nzdarzeniu sprzyjają sytuacje, w których w pierwszym etapie doświadczenia uzyskano wynik\nrzutu 4, 5 lub 6, ale pominie jedną z gałęzi odpowiadających sytuacjom sprzyjającym\nrozważanemu zdarzeniu, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do\nkońca.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n1\n( )\n36\nP A =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n6\nA =\n,\n216\nΩ =\n,\n6\n( )\n216\nP A =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n6. Ponieważ\n, więc akceptujemy poprawne zaokrąglenia liczby\n, o ile\nzaokrąglenie jest wzięte z dokładnością co najmniej 0,01.\n6\nA =\n( )\n1\n0,02(7)\n36\nP A =\n1\n36\n15","solution":"$\\dfrac{1}{36}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.
Rozwiązanie (I sposób)
Zdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi, których wyrazami są liczby należące do
zbioru
. Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Zatem liczba wszystkich
zdarzeń elementarnych jest równa
Niech
oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą
. Sumę
taką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki
i jedna szóstka. Zatem zdarzeniu A sprzyja następujących 6 zdarzeń elementarnych:
(
)
4,6,6 , (
)
6,4,6 , (
)
6,6,4 , (
)
5,5,6 , (
)
5,6,5 , (
)
6,5,5 .
Zatem
, więc prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
6
1
216
36
P A =
Rozwiązanie (II sposób) „metoda drzewa”
Niech
oznacza zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy sumę oczek równą
. Sumę
taką uzyskamy tylko wtedy, gdy wypadną dwie szóstki i jedna czwórka albo dwie piątki
i jedna szóstka. Rysujemy drzewo zawierające tylko istotne gałęzie.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
1 1 1
1
6 6 6
36
6
P A =
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
albo
• narysuje drzewo ilustrujące trzyetapowe doświadczenie losowe i zapisze na co najmniej
jednym odcinku drzewa na każdym etapie doświadczenia prawdopodobieństwo 1
6
{
}
1,2,3,4,5,6
36
216
Ω =
A
16
6
A =
A
16
36
216
Ω =
14
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(
)
4,6,6 , (
)
6,4,6 , (
)
6,6,4 , (
)
5,5,6 , (
)
5,6,5 , (
)
6,5,5
albo
• zapisze, że
i nie wypisze przy tym błędnych trójek liczb
albo
• narysuje drzewo zawierające tylko istotne gałęzie, ale wszystkie albo zawierające
jeszcze inne gałęzie, przy czym wyróżni wszystkie istotne gałęzie
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy i zapisze, że
( )
6
1
216
36
P A =
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających
\n

zdarzeniu A i wypisze o jedną trójką za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze żadnej
niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to
otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma
\n

( )
1
lub
( )
0
P A
P A

\n
\n

<
, to otrzymuje
za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu
w działaniach na ułamkach.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym zaznacza, że rozważanemu
\n

zdarzeniu sprzyjają sytuacje, w których w pierwszym etapie doświadczenia uzyskano wynik
rzutu 4, 5 lub 6, ale pominie jedną z gałęzi odpowiadających sytuacjom sprzyjającym
rozważanemu zdarzeniu, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do
końca.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko:
\n

1
( )
36
P A =
, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko:
\n

6
A =
,
216
Ω =
,
6
( )
216
P A =
, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Ponieważ
\n

, więc akceptujemy poprawne zaokrąglenia liczby
, o ile
zaokrąglenie jest wzięte z dokładnością co najmniej 0,01.
6
A =
( )
1
0,02(7)
36
P A =
1
36
15

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{1}{36}$

"}]}