{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego\nprostokąta jest równy\n. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest\nwysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n3 : 4\nA\nB\nC\nD\nS\nO\n\nMMA_1P\nOdpowiedź\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego\nprostokąta jest równy\n. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest\nwysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nRozwiązanie\nNiech a i b oznaczają długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa.\nZapisujemy zatem układ równań z niewiadomymi a i b\n432\na b\n⋅\ni\n3\n4\nba =\nZ drugiego równania otrzymujemy\n3\n4\nb\na\n. Stąd i z pierwszego równania otrzymujemy\nrównanie z jedną niewiadomą\n2\n3\n4\n432\na =\n,\n2\n576\na =\n,\nwięc\n24\na =\n. Zatem\n3\n4 24\n18\nb =\n⋅\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy\n2\n2\n2\nAC\nAB\nBC\n,\n2\n2\n2\n24\n18\nd\nStąd\n2\n2\n24\n18\n576\n324\n900\n30\nd =\nPonieważ kąt nachylenia każdej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy jest równy 60°, więc trójkąt ACS jest równoboczny. Zatem wysokość ostrosłupa\njest równa wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 30. Zatem\n15 3\nH =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n1\n3 432 15 3\n2160 3\nV =\n⋅\n⋅\n3 : 4\n60°\nA\nB\nC\nD\nS\nO\n16\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• zapisze jedną z zależności pomiędzy a i b:\n432\na b\n⋅\nlub\n3\n4\nba =\nalbo\n• zapisze długości sąsiednich krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od jednej\nzmiennej, np. 3x, 4x\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• zapisze układ równań z niewiadomymi a i b:\n432\na b\n⋅\ni\n3\n4\nba =\nalbo\n• zapisze oraz rozwiąże równanie 3\n4\n432\nx\nx\n⋅\n:\n6\nx =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa oraz obliczy długość d\nprzekątnej podstawy tego ostrosłupa:\n24\na =\n,\n18\nb =\n,\n30\nd =\nalbo\n• obliczy\n6\nx =\n, długość przekątnej podstawy\n5\n30\nd\nx\ni zapisze pole podstawy\nostrosłupa w zależności od x:\n2\n12\nABCD\nP\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n15 3\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n1\n3 432 15 3\n2160 3\nV =\n⋅\n⋅\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to maksymalnie\nmoże otrzymać 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i rozwiąże zadanie do\nkońca, to maksymalnie może otrzymać 4 punkty.\n3. Jeśli zdający rozpatruje inny kąt (np. 45°) niż opisany w treści zadania, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych do obliczenia\nwysokości ostrosłupa, to maksymalnie może otrzymać 3 punkty.\n5. Akceptujemy poprawne przybliżenia wielkości H i V.\n6. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i na tym poprzestanie,\nto otrzymuje 1 punkt.\n7. Jeżeli zdający zakłada, że długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa są równe 3oraz 4\ni z tym założeniem rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 0 punktów.\n17","solution":"$V = 2160\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego
prostokąta jest równy
. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest
wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60° . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
3 : 4
A
B
C
D
S
O

\n

MMA_1P
Odpowiedź

\n

MMA_1P
Rozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy 3:4. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-5)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego
prostokąta jest równy
. Przekątne podstawy ABCD przecinają się w punkcie O. Odcinek SO jest
wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt SAO ma miarę
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Niech a i b oznaczają długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa.
Zapisujemy zatem układ równań z niewiadomymi a i b
432
a b
⋅
i
3
4
ba =
Z drugiego równania otrzymujemy
3
4
b
a
. Stąd i z pierwszego równania otrzymujemy
równanie z jedną niewiadomą
2
3
4
432
a =
,
2
576
a =
,
więc
24
a =
. Zatem
3
4 24
18
b =
⋅
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC otrzymujemy
2
2
2
AC
AB
BC
,
2
2
2
24
18
d
Stąd
2
2
24
18
576
324
900
30
d =
Ponieważ kąt nachylenia każdej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego
podstawy jest równy 60°, więc trójkąt ACS jest równoboczny. Zatem wysokość ostrosłupa
jest równa wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 30. Zatem
15 3
H =
Objętość ostrosłupa jest więc równa
1
3 432 15 3
2160 3
V =
⋅
⋅
3 : 4
60°
A
B
C
D
S
O
16
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny
na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze jedną z zależności pomiędzy a i b:
432
a b
⋅
lub
3
4
ba =
albo
• zapisze długości sąsiednich krawędzi podstawy ostrosłupa w zależności od jednej
zmiennej, np. 3x, 4x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze układ równań z niewiadomymi a i b:
432
a b
⋅
i
3
4
ba =
albo
• zapisze oraz rozwiąże równanie 3
4
432
x
x
⋅
:
6
x =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa oraz obliczy długość d
przekątnej podstawy tego ostrosłupa:
24
a =
,
18
b =
,
30
d =
albo
• obliczy
6
x =
, długość przekątnej podstawy
5
30
d
x
i zapisze pole podstawy
ostrosłupa w zależności od x:
2
12
ABCD
P
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa:
15 3
H =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy objętość ostrosłupa:
1
3 432 15 3
2160 3
V =
⋅
⋅
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają
\n

poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to maksymalnie
może otrzymać 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i rozwiąże zadanie do
\n

końca, to maksymalnie może otrzymać 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający rozpatruje inny kąt (np. 45°) niż opisany w treści zadania, to za całe
\n

rozwiązanie może otrzymać maksymalnie 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych do obliczenia
\n

wysokości ostrosłupa, to maksymalnie może otrzymać 3 punkty.

\n
  1. Akceptujemy poprawne przybliżenia wielkości H i V.
  2. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa i na tym poprzestanie,
\n

to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zakłada, że długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa są równe 3oraz 4
\n

i z tym założeniem rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 0 punktów.
17

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = 2160\\sqrt{3}$

"}]}