{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nLiczby rzeczywiste x i z spełniają warunek\n. Wyznacz takie wartości x i z, dla których\nwyrażenie\nprzyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.\n2\n1\nx\nz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nA\nC\nB\nRozwiązanie zadania. Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x² + y² + 7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nLiczby rzeczywiste x i z spełniają warunek\n. Wyznacz takie wartości x i z, dla których\nwyrażenie\nprzyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.\nRozwiązanie\nZ równości 2\n1\nx\nz\n= wyznaczamy jedną ze zmiennych w zależności od drugiej, np.:\n1 2\nz\nx\nWtedy wyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nmożemy zapisać w postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n7\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nPo otwarciu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n1 4\n4\n7\n14\n9\n3\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nRozważmy funkcję kwadratową f określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem\n( )\n2\n9\n3\n1\nf x\nx\nx\nWykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do dołu. Pierwsza współrzędna\nwierzchołka paraboli jest równa\n3\n1\n18\n6\np\n, natomiast druga,\n5\n4\nq =\n. Oznacza to, że dla\n1\n6\nx =\nfunkcja f osiąga największą wartość równą 5\n4 .\nGdy\n1\n6\nx =\n, to\n2\n3\nz =\nZatem dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga największą wartość równą 5\n4 .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny\nna drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze wyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nw zależności od jednej zmiennej:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n7\n1\n2\nx\nx\nx\nx\n, (\n)\n(\n)\n2\n2\n7\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\nz\nz\nz z\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze wyrażenie\nw postaci ogólnej trójmianu kwadratowego jednej\nzmiennej:\n2\n9\n3\n1\nx\nx\n+ lub\n2\n9\n1\n4\n4\n3\nz\nz\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy obie współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji\nkwadratowej\n( )\n2\n9\n3\n1\nf x\nx\nx\n+ :\n1\n6\nfp =\n,\n5\n4\nfq =\nalbo\n( )\n2\n9\n1\n4\n4\n3\ng z\nz\nz\n:\n2\n3\ng\np =\n,\n5\n4\ng\nq =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poprawnie zinterpretuje obie współrzędne wierzchołka paraboli i zapisze,\nże dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga największą wartość równą 5\n4 .\n2\n1\nx\nz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\n18\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisuje jedynie odpowiedź: dla\n1\n6\nx =\ni\n2\n3\nz =\nwyrażenie\n2\n2\n7\nx\nz\nxz\nosiąga\nnajwiększą wartość równą 5\n4 , to otrzymuje 0 punktów.\n19","solution":"Wartość $\\dfrac{5}{4}$ dla $x=\\dfrac{1}{6}$, $z=\\dfrac{2}{3}$.","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek
. Wyznacz takie wartości x i z, dla których
wyrażenie
przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
2
1
x
z
2
2
7
x
z
xz

\n

MMA_1P
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
A
C
B
Rozwiązanie zadania. Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek 2x+z=1. Wyznacz takie wartości x i z, dla których wyrażenie x² + y² + 7xz przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Liczby rzeczywiste x i z spełniają warunek
. Wyznacz takie wartości x i z, dla których
wyrażenie
przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Rozwiązanie
Z równości 2
1
x
z
= wyznaczamy jedną ze zmiennych w zależności od drugiej, np.:
1 2
z
x
Wtedy wyrażenie
2
2
7
x
z
xz
możemy zapisać w postaci
(
)
(
)
2
2
1
2
7
1
2
x
x
x
x
Po otwarciu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
2
2
2
2
1 4
4
7
14
9
3
1
x
x
x
x
x
x
x
Rozważmy funkcję kwadratową f określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem
( )
2
9
3
1
f x
x
x
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do dołu. Pierwsza współrzędna
wierzchołka paraboli jest równa
3
1
18
6
p
, natomiast druga,
5
4
q =
. Oznacza to, że dla
1
6
x =
funkcja f osiąga największą wartość równą 5
4 .
Gdy
1
6
x =
, to
2
3
z =
Zatem dla
1
6
x =
i
2
3
z =
wyrażenie
2
2
7
x
z
xz
osiąga największą wartość równą 5
4 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny
na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze wyrażenie
2
2
7
x
z
xz
w zależności od jednej zmiennej:
(
)
(
)
2
2
1
2
7
1
2
x
x
x
x
, (
)
(
)
2
2
7
1
1
1
1
2
2
2
2
z
z
z z
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze wyrażenie
w postaci ogólnej trójmianu kwadratowego jednej
zmiennej:
2
9
3
1
x
x

\n\n

2
9
1
4
4
3
z
z
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy obie współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji
kwadratowej
( )
2
9
3
1
f x
x
x

\n\n

1
6
fp =
,
5
4
fq =
albo
( )
2
9
1
4
4
3
g z
z
z
:
2
3
g
p =
,
5
4
g
q =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający poprawnie zinterpretuje obie współrzędne wierzchołka paraboli i zapisze,
że dla
1
6
x =
i
2
3
z =
wyrażenie
2
2
7
x
z
xz
osiąga największą wartość równą 5
4 .
2
1
x
z
2
2
7
x
z
xz
2
2
7
x
z
xz
18
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe albo błędy w przepisywaniu, które nie przekreślają
\n

poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać
co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje jedynie odpowiedź: dla
\n

1
6
x =
i
2
3
z =
wyrażenie
2
2
7
x
z
xz
osiąga
największą wartość równą 5
4 , to otrzymuje 0 punktów.
19

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Wartość $\\dfrac{5}{4}$ dla $x=\\dfrac{1}{6}$, $z=\\dfrac{2}{3}$.

"}]}