{"id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nDany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku\ni promieniu x oraz drugi o środku\ni promieniu\n, o których wiadomo, że spełniają\njednocześnie następujące warunki:\n rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;\n obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S\ni promieniu 18;\n punkty: S,\n,\nnie leżą na jednej prostej.\nPole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona\n(\n)(\n)(\n)\nP\np p\na\np\nb\np\nc\n,\ngdzie p - jest połową obwodu trójkąta.\nZapisz pole trójkąta\njako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz\ndługości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to\nnajwiększe pole.\n1S\n2\nS\n2x\n1S\n2\nS\n1\n2\nSS S\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nDany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S_1 i promieniu x oraz drugi o środku S_2 i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki: • rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie; • obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18; • punkty: S, S_1, S_2 nie leżą na jednej prostej. Pole trójkąta o bokach a,b,c można obliczyć ze wzoru Herona P=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}, gdzie p - jest połową obwodu trójkąta. Zapisz pole trójkąta SS_1S_2 jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.","answer":null,"answer_text":"60\n45\nlub 15\nBx -\n60\n45","solution":"$|S_1S| = 14$, $|S_2S| = 10$, $|S_1S_2| = 12$, $P = 24\\sqrt{6}$","image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku
i promieniu x oraz drugi o środku
i promieniu
, o których wiadomo, że spełniają
jednocześnie następujące warunki:
 rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
 obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S
i promieniu 18;
 punkty: S,
,
nie leżą na jednej prostej.
Pole trójkąta o bokach a, b, c można obliczyć ze wzoru Herona
(
)(
)(
)
P
p p
a
p
b
p
c
,
gdzie p - jest połową obwodu trójkąta.
Zapisz pole trójkąta
jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz
długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to
największe pole.
1S
2
S
2x
1S
2
S
1
2
SS S

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S_1 i promieniu x oraz drugi o środku S_2 i promieniu 2x, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki: • rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie; • obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18; • punkty: S, S_1, S_2 nie leżą na jednej prostej. Pole trójkąta o bokach a,b,c można obliczyć ze wzoru Herona P=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}, gdzie p - jest połową obwodu trójkąta. Zapisz pole trójkąta SS_1S_2 jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

","answer_text_html":"

60
45
lub 15
Bx -
60
45

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|S_1S| = 14$, $|S_2S| = 10$, $|S_1S_2| = 12$, $P = 24\\sqrt{6}$

"}]}