{"id":"matematyka-2019-egzamin-gimnazjalny/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-egzamin-gimnazjalny","number":"21","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-gimnazjalny","year":2019,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-2)\nW trójkąt równoramienny ABC (\nAC\nBC ) wpisano okrąg o środku S. Punkty wspólne\nokręgu i trójkąta oznaczono literami M, N i P. Uzasadnij, że trójkąty ASM i PBS są\nprzystające.\nRozwiązanie zadania 21. zapisz w wyznaczonym miejscu\nna karcie rozwiązań zadań.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 21. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n10. Figury płaskie. Uczeń:\n3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła\ndo promienia poprowadzonego do punktu styczności;\n21) konstruuje okrąg [ ] wpisany w trójkąt.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPS zawiera się w wysokości CP trójkąta równoramiennego ABC, zatem |AP| = |BP| i |AS| = |BS|.\nOdcinek MS jest prostopadły do boku AC.\n|MS| = |PS| = r - promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC\nNa podstawie cechy przystawania trójkątów prostokątnych (bok, bok) trójkąty AMS i BPS są przystające.\nr\nr\nS\nM\nP\nN\nA\nB\nC\nII sposób\n|MS| = |PS| = r - promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zatem odcinek MS jest prostopadły do boku\nAC, a odcinek PS jest prostopadły do boku AB\nW trójkącie równoramiennym ABC dwusieczne AS i BS wyznaczają kąty o równych miarach:\n|∢MAS| = 1\n2 |∢ CAB | = α\n|∢PBS| = 1\n2 |∢ ABC | = α\nNa podstawie cechy przystawania trójkątów prostokątnych (bok, kąt ostry) trójkąty AMS i BPS są\nprzystające.\nβ\nβ\nα\nα\nr\nr\nα\nS\nM\nP\nN\nA\nB\nC\nPoziom wykonania\nP6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie\nuzasadnienie przystawania trójkątów AMS i BPS (z wykorzystaniem cechy przystawania trójkątów)\nP2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane\nustalenie, że kąt między odcinkiem SP a podstawą AB jest prosty a odcinki AP i BP są równe\nLUB\nustalenie, że kąt między bokiem trójkąta a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu\nstyczności jest prosty oraz ustalenie, że trójkąt ABS jest równoramienny, odwołując się do\nwłasności trójkąta ABC\nLUB\nustalenie, że kąt między bokiem trójkąta a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu\nstyczności jest prosty oraz stwierdzenie, że kąt przy podstawie trójkąta ABS jest połową kąta przy\npodstawie trójkąta ABC\nLUB\nuzasadnienie, że miary kątów trójkąta AMS są równe miarom odpowiednich kątów trójkąta BPS\nLUB\nuzasadnienie przystawania trójkątów\n• APS i BPS\nlub\n• BSN i ASM\nlub\n• APS i ASM\nlub\n• BPS i BSN\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\nUwaga\nJeśli uczeń uzasadnia dla konkretnych miar kątów, to otrzymuje 0 punktów.\nJeśli uczeń prowadzi rozumowanie przyjmując, że czworokąt MSNC jest kwadratem, to\notrzymuje 0 punktów.\nJeśli uczeń uzasadnia przystawanie trójkątów prostokątnych, nie korzystając z faktu, że są one\nprostokątne, to musi wykorzystać jedną z cech przystawania dowolnych trójkątów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-egzamin-gimnazjalny/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin gimnazjalny · 2019","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin gimnazjalny","text_html":"

Zadanie 21. (0-2)
W trójkąt równoramienny ABC (
AC
BC ) wpisano okrąg o środku S. Punkty wspólne
okręgu i trójkąta oznaczono literami M, N i P. Uzasadnij, że trójkąty ASM i PBS są
przystające.
Rozwiązanie zadania 21. zapisz w wyznaczonym miejscu
na karcie rozwiązań zadań.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Figury płaskie. Uczeń:
  2. korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła
\n

do promienia poprowadzonego do punktu styczności;

\n
  1. konstruuje okrąg [ ] wpisany w trójkąt.
\n

Przykładowe rozwiązania
I sposób
PS zawiera się w wysokości CP trójkąta równoramiennego ABC, zatem |AP| = |BP| i |AS| = |BS|.
Odcinek MS jest prostopadły do boku AC.
|MS| = |PS| = r - promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC
Na podstawie cechy przystawania trójkątów prostokątnych (bok, bok) trójkąty AMS i BPS są przystające.
r
r
S
M
P
N
A
B
C
II sposób
|MS| = |PS| = r - promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zatem odcinek MS jest prostopadły do boku
AC, a odcinek PS jest prostopadły do boku AB
W trójkącie równoramiennym ABC dwusieczne AS i BS wyznaczają kąty o równych miarach:
|∢MAS| = 1
2 |∢ CAB | = α
|∢PBS| = 1
2 |∢ ABC | = α
Na podstawie cechy przystawania trójkątów prostokątnych (bok, kąt ostry) trójkąty AMS i BPS są
przystające.
β
β
α
α
r
r
α
S
M
P
N
A
B
C
Poziom wykonania
P6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie
uzasadnienie przystawania trójkątów AMS i BPS (z wykorzystaniem cechy przystawania trójkątów)
P2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane
ustalenie, że kąt między odcinkiem SP a podstawą AB jest prosty a odcinki AP i BP są równe
LUB
ustalenie, że kąt między bokiem trójkąta a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu
styczności jest prosty oraz ustalenie, że trójkąt ABS jest równoramienny, odwołując się do
własności trójkąta ABC
LUB
ustalenie, że kąt między bokiem trójkąta a promieniem okręgu poprowadzonym do punktu
styczności jest prosty oraz stwierdzenie, że kąt przy podstawie trójkąta ABS jest połową kąta przy
podstawie trójkąta ABC
LUB
uzasadnienie, że miary kątów trójkąta AMS są równe miarom odpowiednich kątów trójkąta BPS
LUB
uzasadnienie przystawania trójkątów
• APS i BPS
lub
• BSN i ASM
lub
• APS i ASM
lub
• BPS i BSN
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
Uwaga
Jeśli uczeń uzasadnia dla konkretnych miar kątów, to otrzymuje 0 punktów.
Jeśli uczeń prowadzi rozumowanie przyjmując, że czworokąt MSNC jest kwadratem, to
otrzymuje 0 punktów.
Jeśli uczeń uzasadnia przystawanie trójkątów prostokątnych, nie korzystając z faktu, że są one
prostokątne, to musi wykorzystać jedną z cech przystawania dowolnych trójkątów.

","solutions":[]}