{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n2\nlog\n2 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC.\nD.\nLiczba log_√2 2 jest równa A. 2, B. 4, C. √2, D. 1/2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje\ndefinicję logarytmu i stosuje w obliczeniach\nwzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę\n\nKluczowa obserwacja: \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc podstawa logarytmu to potęga dwójki. Możemy to wykorzystać bezpośrednio.\n\nSzukamy takiego wykładnika \\(c\\), że:\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = c \\iff (\\sqrt{2})^c = 2\\]\n\nZapisujemy \\(\\sqrt{2}\\) jako potęgę:\n\\[\\left(2^{\\frac{1}{2}}\\right)^c = 2^1\\]\n\nMnożymy wykładniki:\n\\[2^{\\frac{c}{2}} = 2^1\\]\n\nPodstawy równe, więc wykładniki muszą być równe:\n\\[\\frac{c}{2} = 1 \\implies \\boxed{c = 2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy logarytmu\n\nStosujemy wzór zmiany podstawy, sprowadzając do logarytmu o podstawie \\(2\\):\n\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 \\sqrt{2}}\\]\n\nLicznik:\n\\[\\log_2 2 = 1\\]\n\nMianownik - \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc:\n\\[\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nCałość:\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyte w Sposobie 1 - bezpośrednio z definicji szukamy \\(c\\).\n\nWzór na zmianę podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyte w Sposobie 2 - sprowadziliśmy podstawę \\(\\sqrt{2}\\) do wygodniejszej podstawy \\(2\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(4\\) | Uczeń myśli: „\\(\\sqrt{2}\\) to połowa dwójki, więc odwracam i mnożę razy \\(2\\)\". Albo myli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\) z \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\). Faktycznie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\), ale tu pytamy o \\(2\\), nie o \\(4\\). |\n| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń „przenosi\" podstawę bezpośrednio jako wynik - bez żadnego rachunku. Wynik nie może być irracjonalny, skoro \\((\\sqrt{2})^{\\sqrt{2}}\\) to nie jest \\(2\\). |\n| D - \\(\\frac{1}{2}\\) | Odwrócenie: uczeń liczy \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i podaje **to** jako odpowiedź, zamiast wynik \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\), który jest odwrotnością: \\(\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\). To bardzo częsty błąd - pomylenie logarytmu z jego odwrotnością. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\) to **dwa różne logarytmy** - zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca wynik (tu: \\(\\frac{1}{2}\\) zamienia się w \\(2\\)). Zgodnie ze wzorem \\(\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\) - to kluczowa zamiana, która upraszcza cały rachunek. Gdy podstawa logarytmu jest pierwiastkiem, zawsze warto ją zapisać jako potęgę ułamkową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj wynik! Jeśli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\), to \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\) ✓ - podstawienie z powrotem do definicji zajmuje 2 sekundy i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = x \\iff (\\sqrt{2})^x = 2\\).\nZamieniamy \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\): \\(2^{x/2} = 2^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), więc \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana podstawy\n\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\dfrac{\\log 2}{\\log \\sqrt{2}} = \\dfrac{\\log 2}{\\tfrac{1}{2}\\log 2} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\)** - wynik kwadratu odpowiedzi A.\n- **C. \\(\\sqrt{2}\\)** - pomylono podstawę i argument.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\log_2\\sqrt{2}\\), nie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) to wzajemne odwrotności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na logarytm iloczynu\nAby obliczyć log₅ 16, możemy skorzystać z własności logarytmów, które mówią, że logₙ(a*b) = logₙ(a) + logₙ(b). W naszym przypadku:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁵)\n\nZnowu korzystając z własności logarytmów:\n\nlog₅ (2⁵) = 5 * log₅ 2\n\nWiemy, że log₅ 2 to wartość, która spełnia równanie 2 = 5^log₅ 2. Jednakże, w tym przypadku, log₅ 2 nie jest równy 1/2. Zamiast tego, możemy wykorzystać to, że 16 = 2^4. Zatem:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2\n\nPonieważ log₅ 2 jest liczbą rzeczywistą, a 4 jest liczbą całkowitą, to log₅ 16 będzie liczbą całkowitą. Wartość log₅ 2 jest mniejsza niż 1, a 4 * log₅ 2 wynosi 2.\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6\n\n### Sposób 2: Użycie definicji logarytmu i potęg\nLogarytm z liczby to potęga, do której należy podnieść bazę logarytmu, aby otrzymać tę liczbę. Zatem:\n\nlog₅ 16 oznacza, że 5^x = 16. Musimy znaleźć wartość x, dla której to równanie jest spełnione. Możemy to zrobić, używając potęg z bazą 5:\n\n5⁰ = 1\n5¹ = 5\n5² = 25\n\nZauważamy, że 16 nie jest potęgą 5. Jednakże, możemy wyrazić 16 jako 2^4, a następnie użyć własności logarytmów:\n\nlog₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2\n\nPonieważ 2 jest liczbą mniejszą od 5, log₅ 2 będzie liczbą ujemną. W tym przypadku, możemy zauważyć, że 5^2 = 25, a 5^1 = 5, więc log₅ 16 musi być mniejsze niż 2. Zatem, 4 * log₅ 2 wyniesie 2.\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 4:** 4 * log₅ 2 = 4 * (log₅ 2) nie jest równe 4, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1/2.\n* **C. 2:** 2 * log₅ 2 = 2 * (log₅ 2) nie jest równe 2, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1.\n* **D. 2:** 2 jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia równania log₅ 16.\n\nW obu sposobach, log₅ 16 = 4 * log₅ 2, a ponieważ log₅ 2 jest liczbą ujemną, wynik log₅ 16 musi być liczbą całkowitą mniejszą od 2. Dlatego odpowiedź A (2) jest błędna. Prawidłowa odpowiedź to 4 * log₅ 2, co w przybliżeniu daje 1.609. Jednakże, w zadaniu pytano o log₅ 16, a nie o log₅ 2. Zatem, log₅ 16 = 4 * log₅ 2 wynosi 2.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Liczba<br>2<br>log<br>2 jest równa<br>A. 2<br>B. 4<br>C.<br>D.<br>Liczba log_√2 2 jest równa A. 2, B. 4, C. √2, D. 1/2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach<br>wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym<br>(1.6).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc podstawa logarytmu to potęga dwójki. Możemy to wykorzystać bezpośrednio.</p>\n<p>Szukamy takiego wykładnika \\(c\\), że:<br>\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = c \\iff (\\sqrt{2})^c = 2\\]</p>\n<p>Zapisujemy \\(\\sqrt{2}\\) jako potęgę:<br>\\[\\left(2^{\\frac{1}{2}}\\right)^c = 2^1\\]</p>\n<p>Mnożymy wykładniki:<br>\\[2^{\\frac{c}{2}} = 2^1\\]</p>\n<p>Podstawy równe, więc wykładniki muszą być równe:<br>\\[\\frac{c}{2} = 1 \\implies \\boxed{c = 2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy logarytmu</h4>\n<p>Stosujemy wzór zmiany podstawy, sprowadzając do logarytmu o podstawie \\(2\\):</p>\n<p>\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 \\sqrt{2}}\\]</p>\n<p>Licznik:<br>\\[\\log_2 2 = 1\\]</p>\n<p>Mianownik - \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\), więc:<br>\\[\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Całość:<br>\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{2}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong></p>\n<p>Definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyte w Sposobie 1 - bezpośrednio z definicji szukamy \\(c\\).</p>\n<p>Wzór na zmianę podstawy:<br>\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 - sprowadziliśmy podstawę \\(\\sqrt{2}\\) do wygodniejszej podstawy \\(2\\).</p>\n<p>Własność potęgi logarytmu:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyte przy obliczaniu \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 2^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(4\\) | Uczeń myśli: „\\(\\sqrt{2}\\) to połowa dwójki, więc odwracam i mnożę razy \\(2\\)&quot;. Albo myli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\) z \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\). Faktycznie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 4 = 4\\), ale tu pytamy o \\(2\\), nie o \\(4\\). |<br>| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń „przenosi&quot; podstawę bezpośrednio jako wynik - bez żadnego rachunku. Wynik nie może być irracjonalny, skoro \\((\\sqrt{2})^{\\sqrt{2}}\\) to nie jest \\(2\\). |<br>| D - \\(\\frac{1}{2}\\) | Odwrócenie: uczeń liczy \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i podaje <strong>to</strong> jako odpowiedź, zamiast wynik \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\), który jest odwrotnością: \\(\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\). To bardzo częsty błąd - pomylenie logarytmu z jego odwrotnością. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Logarytm \\(\\log_2 \\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\) to <strong>dwa różne logarytmy</strong> - zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca wynik (tu: \\(\\frac{1}{2}\\) zamienia się w \\(2\\)). Zgodnie ze wzorem \\(\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}\\) - to kluczowa zamiana, która upraszcza cały rachunek. Gdy podstawa logarytmu jest pierwiastkiem, zawsze warto ją zapisać jako potęgę ułamkową.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzaj wynik! Jeśli \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = 2\\), to \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\) ✓ - podstawienie z powrotem do definicji zajmuje 2 sekundy i eliminuje błędy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja logarytmu</h5>\n<p>\\(\\log_{\\sqrt{2}} 2 = x \\iff (\\sqrt{2})^x = 2\\).<br>Zamieniamy \\(\\sqrt{2} = 2^{1/2}\\): \\(2^{x/2} = 2^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), więc \\(x = 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Zamiana podstawy</h5>\n<p>\\[\\log_{\\sqrt{2}} 2 = \\dfrac{\\log 2}{\\log \\sqrt{2}} = \\dfrac{\\log 2}{\\tfrac{1}{2}\\log 2} = 2.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(4\\)</strong> - wynik kwadratu odpowiedzi A.</li><li><strong>C. \\(\\sqrt{2}\\)</strong> - pomylono podstawę i argument.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - to \\(\\log_2\\sqrt{2}\\), nie \\(\\log_{\\sqrt{2}} 2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) to wzajemne odwrotności.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na logarytm iloczynu</h5>\n<p>Aby obliczyć log₅ 16, możemy skorzystać z własności logarytmów, które mówią, że logₙ(a*b) = logₙ(a) + logₙ(b). W naszym przypadku:</p>\n<p>log₅ 16 = log₅ (2⁵)</p>\n<p>Znowu korzystając z własności logarytmów:</p>\n<p>log₅ (2⁵) = 5 * log₅ 2</p>\n<p>Wiemy, że log₅ 2 to wartość, która spełnia równanie 2 = 5^log₅ 2. Jednakże, w tym przypadku, log₅ 2 nie jest równy 1/2. Zamiast tego, możemy wykorzystać to, że 16 = 2^4. Zatem:</p>\n<p>log₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2</p>\n<p>Ponieważ log₅ 2 jest liczbą rzeczywistą, a 4 jest liczbą całkowitą, to log₅ 16 będzie liczbą całkowitą. Wartość log₅ 2 jest mniejsza niż 1, a 4 * log₅ 2 wynosi 2.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie definicji logarytmu i potęg</h5>\n<p>Logarytm z liczby to potęga, do której należy podnieść bazę logarytmu, aby otrzymać tę liczbę. Zatem:</p>\n<p>log₅ 16 oznacza, że 5^x = 16. Musimy znaleźć wartość x, dla której to równanie jest spełnione. Możemy to zrobić, używając potęg z bazą 5:</p>\n<p>5⁰ = 1<br>5¹ = 5<br>5² = 25</p>\n<p>Zauważamy, że 16 nie jest potęgą 5. Jednakże, możemy wyrazić 16 jako 2^4, a następnie użyć własności logarytmów:</p>\n<p>log₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2</p>\n<p>Ponieważ 2 jest liczbą mniejszą od 5, log₅ 2 będzie liczbą ujemną. W tym przypadku, możemy zauważyć, że 5^2 = 25, a 5^1 = 5, więc log₅ 16 musi być mniejsze niż 2. Zatem, 4 * log₅ 2 wyniesie 2.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. 4:</strong> 4 * log₅ 2 = 4 * (log₅ 2) nie jest równe 4, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1/2.</li><li><strong>C. 2:</strong> 2 * log₅ 2 = 2 * (log₅ 2) nie jest równe 2, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1.</li><li><strong>D. 2:</strong> 2 jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia równania log₅ 16.</li></ul>\n<p>W obu sposobach, log₅ 16 = 4 * log₅ 2, a ponieważ log₅ 2 jest liczbą ujemną, wynik log₅ 16 musi być liczbą całkowitą mniejszą od 2. Dlatego odpowiedź A (2) jest błędna. Prawidłowa odpowiedź to 4 * log₅ 2, co w przybliżeniu daje 1.609. Jednakże, w zadaniu pytano o log₅ 16, a nie o log₅ 2. Zatem, log₅ 16 = 4 * log₅ 2 wynosi 2.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ $(\\sqrt2)^2=2$.</p>"}]}