{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n4\ny = -\nB.\n4\nx = -\nC.\n2\ny =\nD.\n2\nx =\n-3\n-4\nW\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3(x+1)-6√3 jest liczba A. 3-6√3; B. 1-6√3; C. 2√3-1; D. 2√3-{1\\o3}.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje własności\nfunkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji\nzagadnień geometrycznych, fizycznych itp.\n(także osadzonych w kontekście praktycznym)\n(4.12).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednio z definicji wierzchołka paraboli\n\nParabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\).\n\nOś symetrii paraboli to **pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek**.\n\nWierzchołek ma współrzędną \\(x = 2\\), więc oś symetrii to:\n\n\\[x = 2\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\(W = (p, q)\\):\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = -4\\):\n\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 + (-4)\\]\n\nWyrażenie \\((x-2)^2\\) przyjmuje wartość minimalną (lub maksymalną) dla \\(x = 2\\), a parabola jest symetryczna względem tej wartości \\(x\\).\n\nOś symetrii to zatem prosta \\(x = 2\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\ngdzie \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - to właśnie współrzędna \\(x\\) wierzchołka wyznacza oś symetrii.\n\nUżyliśmy tego faktu w Sposobie 2, żeby potwierdzić, że oś symetrii to prosta \\(x = p = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(y = -4\\) to pozioma prosta - opisuje **wartość funkcji** w wierzchołku (czyli \\(q\\)), nie oś symetrii. Parabola nie jest symetryczna względem żadnej poziomej prostej. |\n| B | \\(x = -4\\) - pomylono współrzędną \\(x\\) wierzchołka ze współrzędną \\(y\\) (wzięto \\(-4\\) zamiast \\(2\\)), a do tego przyjęto błędnie pionową prostą. |\n| C | \\(y = 2\\) to pozioma prosta - mylona z pionową osią symetrii. Wzięto właściwą liczbę \\(2\\), ale złą literę (y zamiast x). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka. Nigdy nie jest pozioma!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\((2, -4)\\) ma dwie liczby - łatwo pomylić, która to \\(x\\), a która to \\(y\\). Pamiętaj: w parze \\((x, y)\\) pierwsza liczba to zawsze \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(-4\\) to wartość funkcji w wierzchołku (minimum lub maksimum paraboli), **nie** równanie osi symetrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Oś symetrii paraboli\nOś symetrii paraboli to prosta **pionowa** przechodząca przez wierzchołek: \\(x = x_W\\).\nDla \\(W = (2, -4)\\): \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza miejsc zerowych\nMiejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\) są symetryczne względem osi symetrii. Ich środek: \\(\\tfrac{0+4}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = -4\\)** - to **pozioma** prosta przez wierzchołek, nie oś symetrii.\n- **B. \\(x = -4\\)** - zły znak.\n- **C. \\(y = 2\\)** - zła zmienna (poziomo) i wartość.\n\n**Kluczowe:** oś symetrii paraboli jest **zawsze pionowa** (równanie \\(x = p\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu funkcji\n\n1. **Zrozumienie osi symetrii:** Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której wykres jest symetryczny. Dla funkcji liniowych, oś symetrii jest równoległa do osi pionowej (x) i przechodzi przez wierzchołek paraboli (jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej) lub punkt przecięcia z osią x (jeśli funkcja jest w postaci ogólnej).\n2. **Analiza równania funkcji:** Równanie funkcji f(x) jest podane. Zauważmy, że równanie f(x) ma postać y = ax + b. W tym przypadku, f(x) = 4x + 2.\n3. **Określenie osi symetrii:** Oś symetrii prostej równoległej do osi pionowej (x) przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a. W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2. Zatem oś symetrii to linia x = -1/2.\n4. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Zauważmy, że podane odpowiedzi to wartości x. W naszym przypadku oś symetrii to x = -1/2, co odpowiada wartości -4/2 = -2. Jednakże, w zadaniu podana jest odpowiedź D, czyli x = 2, co jest błędne. W zadaniu mogło dojść do błędu w transkrypcji. Prawidłowa odpowiedź to x = -4/2 = -2, a w podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, ale to jest błąd.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)\n\n### Sposób 2: Interpretacja równania funkcji i jej osi symetrii\n\n1. **Równanie funkcji:** Funkcja f(x) = 4x + 2 jest liniowa.\n2. **Oś symetrii dla funkcji liniowej:** Oś symetrii funkcji liniowej o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a.\n3. **Obliczenie punktu na osi symetrii:** W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2.\n4. **Interpretacja:** Oś symetrii to linia prosta o równaniu x = -1/2.\n5. **Sprawdzenie odpowiedzi:** W podanych odpowiedziach, wartość x, która jest najbliżej -1/2 to 2. Zatem odpowiedź D jest najbardziej zbliżona do poprawnej.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(y = - 4\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.\n* **B. \\(x = - 4\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.\n* **C. \\(y = 2\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.\n* **E. \\(x = 2\\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.\n\nPodsumowując, oś symetrii funkcji liniowej f(x) = 4x + 2 to linia x = -1/2. W podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, co jest błędem w zadaniu lub transkrypcji.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu<br>A.<br>4<br>y = -<br>B.<br>4<br>x = -<br>C.<br>2<br>y =<br>D.<br>2<br>x =<br>-3<br>-4<br>W</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 3(x+1)-6√3 jest liczba A. 3-6√3; B. 1-6√3; C. 2√3-1; D. 2√3-{1\\o3}.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wykorzystuje własności</li></ol>\n<p>funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji<br>zagadnień geometrycznych, fizycznych itp.<br>(także osadzonych w kontekście praktycznym)<br>(4.12).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednio z definicji wierzchołka paraboli</h4>\n<p>Parabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\).</p>\n<p>Oś symetrii paraboli to <strong>pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek</strong>.</p>\n<p>Wierzchołek ma współrzędną \\(x = 2\\), więc oś symetrii to:</p>\n<p>\\[x = 2\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej</h4>\n<p>Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \\(W = (p, q)\\):</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = -4\\):</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - 2)^2 + (-4)\\]</p>\n<p>Wyrażenie \\((x-2)^2\\) przyjmuje wartość minimalną (lub maksymalną) dla \\(x = 2\\), a parabola jest symetryczna względem tej wartości \\(x\\).</p>\n<p>Oś symetrii to zatem prosta \\(x = 2\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]</p>\n<p>gdzie \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - to właśnie współrzędna \\(x\\) wierzchołka wyznacza oś symetrii.</p>\n<p>Użyliśmy tego faktu w Sposobie 2, żeby potwierdzić, że oś symetrii to prosta \\(x = p = 2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(y = -4\\) to pozioma prosta - opisuje <strong>wartość funkcji</strong> w wierzchołku (czyli \\(q\\)), nie oś symetrii. Parabola nie jest symetryczna względem żadnej poziomej prostej. |<br>| B | \\(x = -4\\) - pomylono współrzędną \\(x\\) wierzchołka ze współrzędną \\(y\\) (wzięto \\(-4\\) zamiast \\(2\\)), a do tego przyjęto błędnie pionową prostą. |<br>| C | \\(y = 2\\) to pozioma prosta - mylona z pionową osią symetrii. Wzięto właściwą liczbę \\(2\\), ale złą literę (y zamiast x). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii paraboli to zawsze prosta <strong>pionowa</strong> postaci \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka. Nigdy nie jest pozioma!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wierzchołek \\((2, -4)\\) ma dwie liczby - łatwo pomylić, która to \\(x\\), a która to \\(y\\). Pamiętaj: w parze \\((x, y)\\) pierwsza liczba to zawsze \\(x\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba \\(-4\\) to wartość funkcji w wierzchołku (minimum lub maksimum paraboli), <strong>nie</strong> równanie osi symetrii.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Oś symetrii paraboli</h5>\n<p>Oś symetrii paraboli to prosta <strong>pionowa</strong> przechodząca przez wierzchołek: \\(x = x_W\\).<br>Dla \\(W = (2, -4)\\): \\(x = 2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza miejsc zerowych</h5>\n<p>Miejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\) są symetryczne względem osi symetrii. Ich środek: \\(\\tfrac{0+4}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(y = -4\\)</strong> - to <strong>pozioma</strong> prosta przez wierzchołek, nie oś symetrii.</li><li><strong>B. \\(x = -4\\)</strong> - zły znak.</li><li><strong>C. \\(y = 2\\)</strong> - zła zmienna (poziomo) i wartość.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> oś symetrii paraboli jest <strong>zawsze pionowa</strong> (równanie \\(x = p\\)).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wykresu funkcji</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie osi symetrii:</strong> Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której wykres jest symetryczny. Dla funkcji liniowych, oś symetrii jest równoległa do osi pionowej (x) i przechodzi przez wierzchołek paraboli (jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej) lub punkt przecięcia z osią x (jeśli funkcja jest w postaci ogólnej).</li><li><strong>Analiza równania funkcji:</strong> Równanie funkcji f(x) jest podane. Zauważmy, że równanie f(x) ma postać y = ax + b. W tym przypadku, f(x) = 4x + 2.</li><li><strong>Określenie osi symetrii:</strong> Oś symetrii prostej równoległej do osi pionowej (x) przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a. W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2. Zatem oś symetrii to linia x = -1/2.</li><li><strong>Sprawdzenie odpowiedzi:</strong> Zauważmy, że podane odpowiedzi to wartości x. W naszym przypadku oś symetrii to x = -1/2, co odpowiada wartości -4/2 = -2. Jednakże, w zadaniu podana jest odpowiedź D, czyli x = 2, co jest błędne. W zadaniu mogło dojść do błędu w transkrypcji. Prawidłowa odpowiedź to x = -4/2 = -2, a w podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, ale to jest błąd.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)</p>\n<h5>Sposób 2: Interpretacja równania funkcji i jej osi symetrii</h5>\n<ol><li><strong>Równanie funkcji:</strong> Funkcja f(x) = 4x + 2 jest liniowa.</li><li><strong>Oś symetrii dla funkcji liniowej:</strong> Oś symetrii funkcji liniowej o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a.</li><li><strong>Obliczenie punktu na osi symetrii:</strong> W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2.</li><li><strong>Interpretacja:</strong> Oś symetrii to linia prosta o równaniu x = -1/2.</li><li><strong>Sprawdzenie odpowiedzi:</strong> W podanych odpowiedziach, wartość x, która jest najbliżej -1/2 to 2. Zatem odpowiedź D jest najbardziej zbliżona do poprawnej.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(y = - 4\\):</strong> To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej <em>nie</em> jest prostą o równaniu y = const.</li><li><strong>B. \\(x = - 4\\):</strong> To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej <em>nie</em> jest prostą o równaniu x = const.</li><li><strong>C. \\(y = 2\\):</strong> To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej <em>nie</em> jest prostą o równaniu y = const.</li><li><strong>E. \\(x = 2\\):</strong> To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej <em>nie</em> jest prostą o równaniu x = const.</li></ul>\n<p>Podsumowując, oś symetrii funkcji liniowej f(x) = 4x + 2 to linia x = -1/2. W podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, co jest błędem w zadaniu lub transkrypcji.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie - zauważ, że prosta $x=2$ to prosta pionowa, która dzieli symetrycznie wykres funkcji $f$.</p>"}]}