{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są dwa wyrazy:\n1\n7\na =\ni\n8\n49.\na = -\nSuma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. -168\nB. -189\nC. -21\nD. -42\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=7 i a_8=-49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -168; B. -189; C. -21; D. -42.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A. \\(-168\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny + wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\).**\n\nZnamy \\(a_1 = 7\\) i \\(a_8 = -49\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy dla \\(n = 8\\):\n\n\\[a_8 = a_1 + 7r\\]\n\\[-49 = 7 + 7r\\]\n\\[7r = -56\\]\n\\[r = -8\\]\n\n**Krok 2: Oblicz sumę 8 pierwszych wyrazów.**\n\nKorzystamy ze wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(a_8 = -49\\):\n\n\\[S_8 = \\frac{7 + (-49)}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór z różnicą\n\nUżywamy drugiej postaci wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nWiemy już, że \\(r = -8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(n = 8\\):\n\n\\[S_8 = \\frac{2 \\cdot 7 + 7 \\cdot (-8)}{2} \\cdot 8 = \\frac{14 - 56}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_8 = -49\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 - podstawiając od razu znane \\(a_1\\) i \\(a_8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-189\\) | Policzono \\(S_9\\) zamiast \\(S_8\\) - doliczono jeden wyraz za dużo |\n| C. \\(-21\\) | Obliczono tylko \\(\\frac{a_1 + a_8}{2} = \\frac{7-49}{2} = -21\\), ale zapomniano pomnożyć przez \\(n = 8\\) |\n| D. \\(-42\\) | Policzono \\(a_1 + a_8 = 7 + (-49) = -42\\), czyli samą sumę skrajnych wyrazów bez dzielenia przez 2 i mnożenia przez 8 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ma dwa mnożenia - przez \\(\\frac{1}{2}\\) I przez \\(n\\). Najczęstszy błąd to zapomnienie jednego z nich (odpowiedź C lub D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(r\\) ze wzoru \\(a_8 = a_1 + 7r\\) mamy \\((8-1) = 7\\), nie 8. Błąd o jeden w indeksie prowadzi do złego \\(r\\), a potem do złej sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica \\(r = -8\\) oznacza, że ciąg maleje - suma może być ujemna nawet gdy \\(a_1 > 0\\). To jest sytuacja normalna, nie błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę z krańcami\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 8\\):\n\\[S_8 = \\dfrac{7 + (-49)}{2}\\cdot 8 = \\dfrac{-42}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(r\\) i \\(S_8\\)\n\\(r = \\tfrac{a_8 - a_1}{7} = \\tfrac{-56}{7} = -8\\).\n\\(S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = \\tfrac{14 - 56}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-189\\)** - błąd w obliczeniach.\n- **C. \\(-21\\)** - to wartość \\(\\tfrac{a_1+a_8}{2}\\), nie cała suma.\n- **D. \\(-42\\)** - to suma \\(a_1 + a_8\\), nie \\(S_8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym, suma n wyrazów (Sₙ) jest obliczana ze wzoru:\n\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]\nW naszym przypadku, n = 8, a₁ = 7, a a₈ = -49. Zatem:\n\\[S_8 = \\frac{8}{2}(7 + (-49)) = 4(7 - 49) = 4(-42) = -168\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Wyznaczenie różnicy i obliczenie sumy\nMożemy wykorzystać informacje o a₁ i a₈ do wyznaczenia różnicy (r) ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nDla n = 8:\n\\[a_8 = a_1 + (8-1)r\\]\n\\[-49 = 7 + 7r\\]\n\\[-56 = 7r\\]\n\\[r = -8\\]\nTeraz możemy obliczyć sumę ośmiu wyrazów używając wzoru:\n\\[S_8 = \\frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)r) = 4(2(7) + 7(-8)) = 4(14 - 56) = 4(-42) = -168\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. -189:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania.\n* **C. -21:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania.\n* **D. -42:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania. Ponadto, obliczanie sumy na podstawie wyznaczonej różnicy i pierwszego wyrazu prowadzi do poprawnego wyniku.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
W ciągu arytmetycznym
, określonym dla
1
n ≥, dane są dwa wyrazy:
1
7
a =
i
8
49.
a = -
Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=7 i a_8=-49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -168; B. -189; C. -21; D. -42.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz
\n

i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego (5.3).
Wersja
I
Wersja
II
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A. \\(-168\\)

\n

Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny + wzór na sumę

\n

Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\).

\n

Znamy \\(a_1 = 7\\) i \\(a_8 = -49\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:

\n

\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Podstawiamy dla \\(n = 8\\):

\n

\\[a_8 = a_1 + 7r\\]
\\[-49 = 7 + 7r\\]
\\[7r = -56\\]
\\[r = -8\\]

\n

Krok 2: Oblicz sumę 8 pierwszych wyrazów.

\n

Korzystamy ze wzoru na sumę:

\n

\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Podstawiamy \\(n = 8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(a_8 = -49\\):

\n

\\[S_8 = \\frac{7 + (-49)}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]

\n

Sposób 2 - wzór z różnicą

\n

Używamy drugiej postaci wzoru na sumę:

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Wiemy już, że \\(r = -8\\), \\(a_1 = 7\\), \\(n = 8\\):

\n

\\[S_8 = \\frac{2 \\cdot 7 + 7 \\cdot (-8)}{2} \\cdot 8 = \\frac{14 - 56}{2} \\cdot 8 = \\frac{-42}{2} \\cdot 8 = (-21) \\cdot 8 = \\mathbf{-168}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_8 = -49\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 - podstawiając od razu znane \\(a_1\\) i \\(a_8\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B. \\(-189\\) | Policzono \\(S_9\\) zamiast \\(S_8\\) - doliczono jeden wyraz za dużo |
| C. \\(-21\\) | Obliczono tylko \\(\\frac{a_1 + a_8}{2} = \\frac{7-49}{2} = -21\\), ale zapomniano pomnożyć przez \\(n = 8\\) |
| D. \\(-42\\) | Policzono \\(a_1 + a_8 = 7 + (-49) = -42\\), czyli samą sumę skrajnych wyrazów bez dzielenia przez 2 i mnożenia przez 8 |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ma dwa mnożenia - przez \\(\\frac{1}{2}\\) I przez \\(n\\). Najczęstszy błąd to zapomnienie jednego z nich (odpowiedź C lub D).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(r\\) ze wzoru \\(a_8 = a_1 + 7r\\) mamy \\((8-1) = 7\\), nie 8. Błąd o jeden w indeksie prowadzi do złego \\(r\\), a potem do złej sumy.
\n
⚠️ Uwaga: Ujemna różnica \\(r = -8\\) oznacza, że ciąg maleje - suma może być ujemna nawet gdy \\(a_1 > 0\\). To jest sytuacja normalna, nie błąd!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na sumę z krańcami
\n

\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]
Dla \\(n = 8\\):
\\[S_8 = \\dfrac{7 + (-49)}{2}\\cdot 8 = \\dfrac{-42}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie \\(r\\) i \\(S_8\\)
\n

\\(r = \\tfrac{a_8 - a_1}{7} = \\tfrac{-56}{7} = -8\\).
\\(S_8 = \\tfrac{2a_1 + 7r}{2}\\cdot 8 = \\tfrac{14 - 56}{2}\\cdot 8 = -21\\cdot 8 = -168\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego
\n

W ciągu arytmetycznym, suma n wyrazów (Sₙ) jest obliczana ze wzoru:
\\[S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\]
W naszym przypadku, n = 8, a₁ = 7, a a₈ = -49. Zatem:
\\[S_8 = \\frac{8}{2}(7 + (-49)) = 4(7 - 49) = 4(-42) = -168\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9

\n
Sposób 2: Wyznaczenie różnicy i obliczenie sumy
\n

Możemy wykorzystać informacje o a₁ i a₈ do wyznaczenia różnicy (r) ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Dla n = 8:
\\[a_8 = a_1 + (8-1)r\\]
\\[-49 = 7 + 7r\\]
\\[-56 = 7r\\]
\\[r = -8\\]
Teraz możemy obliczyć sumę ośmiu wyrazów używając wzoru:
\\[S_8 = \\frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)r) = 4(2(7) + 7(-8)) = 4(14 - 56) = 4(-42) = -168\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru $S_n = \\frac{(a_1 + a_n)}{2}\\cdot n$. W tym przypadku, mamy $S_8 =\\frac{(a_1 + a_8)}{2}\\cdot 8 = 4(7 - 49) = 4(-42) = -168$.

"}]}