{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny\n, określony dla\n. Wszystkie wyrazy tego ciągu są\ndodatnie i spełniony jest warunek\n5\n3\n1\n9\na\na\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA.\nB.\nC. 3\nD.\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a_5/a_3 = 1/9. Iloraz tego ciągu jest równy A. 1/3; B. 1/√3; C. 3; D. √3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz\ni na sumę n początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n**Od czego zaczynamy:** Wyrażamy \\(a_5\\) i \\(a_3\\) przez pierwszy wyraz \\(a_1\\) i iloraz \\(q\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZatem:\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4, \\qquad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nObliczamy iloraz:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^2} = q^2\\]\n\nPodstawiamy warunek z zadania:\n\\[q^2 = \\frac{1}{9}\\]\n\nRozwiązujemy:\n\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]\n\n**Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie**, więc iloraz musi być dodatni:\n\\[\\boxed{q = \\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - własność ciągu geometrycznego (wyrazy sąsiednie)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i ilorazu \\(q\\). Możemy więc \"przeskoczyć\" o dwa wyrazy:\n\n\\[a_5 = a_3 \\cdot q^2\\]\n\nbo od \\(a_3\\) do \\(a_5\\) robimy dwa kroki (mnożymy przez \\(q\\) dwa razy).\n\nStąd:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \\frac{1}{9}\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]\n\nSkoro wszystkie wyrazy są **dodatnie** i \\(a_1 > 0\\), musi być \\(q > 0\\), więc:\n\\[q = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdźmy przykładowo dla \\(a_1 = 27\\), \\(q = \\frac{1}{3}\\):\n\\[a_3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^2 = 27 \\cdot \\frac{1}{9} = 3\\]\n\\[a_5 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^4 = 27 \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{3}\\]\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{\\frac{1}{3}}{3} = \\frac{1}{9} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_3\\), co pozwoliło wyliczyć \\(q^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^5 / q^3 = q^2\\), ale potem błędnie bierze \\(q = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}\\) i jednak dostaje A. Pułapka to mylenie potęg: jeśli ktoś błędnie uzna, że \\(q^2 = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), to bierze \\(q = \\dfrac{1}{3^{1/4}}\\) - błąd wykładnika. |\n| C | Uczeń zapomina, że \\(a_5\\) jest **mniejsze** niż \\(a_3\\) (iloraz \\(< 1\\)), i odwraca ułamek: liczy \\(\\dfrac{a_3}{a_5} = 9\\), stąd \\(q^2 = 9\\), \\(q = 3\\). |\n| D | Uczeń odwraca ułamek (jak w C) i bierze pierwiastek: \\(q^2 = 9\\), ale przez pomyłkę liczy \\(q = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(q = 3\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q = -\\dfrac{1}{3}\\) też spełnia równanie \\(q^2 = \\dfrac{1}{9}\\), ale zostaje odrzucone, bo zadanie mówi, że **wszystkie wyrazy są dodatnie**. Zawsze czytaj warunki dodatkowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^2\\) z \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2\\) - na szczęście to to samo. Pamiętaj: różnica indeksów to wykładnik, bo \\(\\dfrac{a_1 q^{n-1}}{a_1 q^{m-1}} = q^{n-m}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl ilorazu ciągu geometrycznego \\(q\\) z różnicą ciągu arytmetycznego \\(r\\). W ciągu geometrycznym **dzielimy** kolejne wyrazy (lub mnożymy), nie odejmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na iloraz między wyrazami\n\\[\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2 = \\dfrac{1}{9}.\\]\nStąd \\(q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\). Wszystkie wyrazy dodatnie → \\(q > 0\\) → \\(q = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\nPonieważ \\(a_5 = a_3\\cdot q^2\\), z \\(\\tfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \\tfrac{1}{9}\\), więc \\(q = \\tfrac{1}{3}\\) (pozostawiając dodatni znak).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\)** - \\(q^2\\) byłoby \\(\\tfrac{1}{3} \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n- **C. \\(3\\)** - \\(q^2 = 9 \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n- **D. \\(\\sqrt{3}\\)** - \\(q^2 = 3 \\ne \\tfrac{1}{9}\\).\n\n**Kluczowe:** \\(\\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k\\) - wzór wygodny do wyznaczania \\(q\\) z dwóch wyrazów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Wiemy, że wszystkie wyrazy są dodatnie i \\(q=3\\). Chcemy znaleźć iloraz \\(q\\).\n2. **Wzór na sumę ciągu geometrycznego:** Suma \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego jest dana wzorem: \\(S_n = \\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\\).\n3. **Zastosowanie wzoru:** W zadaniu nie podano sumy, ale możemy wykorzystać informacje o ilorazie. Ponieważ iloraz \\(q=3\\), to \\(a_n = a_1 \\cdot 3^{n-1}\\).\n4. **Wyznaczenie a1:** W zadaniu podano, że wszystkie wyrazy są dodatnie. To nie daje nam bezpośrednio wartości a1, ale pozwala nam zrozumieć, że a1 musi być dodatnie.\n5. **Analiza:** W zadaniu pytamy o iloraz, który jest równy 3. Zatem, rozwiązanie to 3.\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na iloraz ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Iloraz ciągu geometrycznego jest definiowany jako stosunek kolejnych wyrazów. W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).\n2. **Wzór na iloraz:** Iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\) jest równy: \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2} = \\)\n3. **Zastosowanie:** W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).\n4. **Wniosek:** Zatem, iloraz ciągu geometrycznego wynosi 3.\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Nie ma wzoru na sumę ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania.\n* **C:** Podobnie jak B, nie ma wzoru na sumę, który by pasował do tego zadania.\n* **D:** Nie ma wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania. Wzór na sumę jest potrzebny, gdy znamy a1 i q, ale w tym zadaniu iloraz jest podany.\n\nPodsumowując, zadanie polega na zidentyfikowaniu podanego ilorazu ciągu geometrycznego, który wynosi 3. Oba sposoby rozwiązania prowadzą do tego samego wniosku.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Dany jest ciąg geometryczny
, określony dla
. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek
5
3
1
9
a
a
. Iloraz tego ciągu jest równy
A.
B.
C. 3
D.
Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a_5/a_3 = 1/9. Iloraz tego ciągu jest równy A. 1/3; B. 1/√3; C. 3; D. √3.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz
\n

i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego (5.4).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{3}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego

\n

Od czego zaczynamy: Wyrażamy \\(a_5\\) i \\(a_3\\) przez pierwszy wyraz \\(a_1\\) i iloraz \\(q\\).

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

Zatem:
\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4, \\qquad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]

\n

Obliczamy iloraz:
\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^2} = q^2\\]

\n

Podstawiamy warunek z zadania:
\\[q^2 = \\frac{1}{9}\\]

\n

Rozwiązujemy:
\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]

\n

Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
\\[\\boxed{q = \\frac{1}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - własność ciągu geometrycznego (wyrazy sąsiednie)

\n

Kluczowa obserwacja: W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i ilorazu \\(q\\). Możemy więc "przeskoczyć" o dwa wyrazy:

\n

\\[a_5 = a_3 \\cdot q^2\\]

\n

bo od \\(a_3\\) do \\(a_5\\) robimy dwa kroki (mnożymy przez \\(q\\) dwa razy).

\n

Stąd:
\\[\\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \\frac{1}{9}\\]

\n

Dalej identycznie jak w Sposobie 1:
\\[q = \\pm\\frac{1}{3}\\]

\n

Skoro wszystkie wyrazy są dodatnie i \\(a_1 > 0\\), musi być \\(q > 0\\), więc:
\\[q = \\frac{1}{3}\\]

\n

Weryfikacja: Sprawdźmy przykładowo dla \\(a_1 = 27\\), \\(q = \\frac{1}{3}\\):
\\[a_3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^2 = 27 \\cdot \\frac{1}{9} = 3\\]
\\[a_5 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^4 = 27 \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{3}\\]
\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{\\frac{1}{3}}{3} = \\frac{1}{9} \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_3\\), co pozwoliło wyliczyć \\(q^2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^5 / q^3 = q^2\\), ale potem błędnie bierze \\(q = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}\\) i jednak dostaje A. Pułapka to mylenie potęg: jeśli ktoś błędnie uzna, że \\(q^2 = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), to bierze \\(q = \\dfrac{1}{3^{1/4}}\\) - błąd wykładnika. |
| C | Uczeń zapomina, że \\(a_5\\) jest mniejsze niż \\(a_3\\) (iloraz \\(< 1\\)), i odwraca ułamek: liczy \\(\\dfrac{a_3}{a_5} = 9\\), stąd \\(q^2 = 9\\), \\(q = 3\\). |
| D | Uczeń odwraca ułamek (jak w C) i bierze pierwiastek: \\(q^2 = 9\\), ale przez pomyłkę liczy \\(q = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(q = 3\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(q = -\\dfrac{1}{3}\\) też spełnia równanie \\(q^2 = \\dfrac{1}{9}\\), ale zostaje odrzucone, bo zadanie mówi, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Zawsze czytaj warunki dodatkowe!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^2\\) z \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2\\) - na szczęście to to samo. Pamiętaj: różnica indeksów to wykładnik, bo \\(\\dfrac{a_1 q^{n-1}}{a_1 q^{m-1}} = q^{n-m}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl ilorazu ciągu geometrycznego \\(q\\) z różnicą ciągu arytmetycznego \\(r\\). W ciągu geometrycznym dzielimy kolejne wyrazy (lub mnożymy), nie odejmujemy.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na iloraz między wyrazami
\n

\\[\\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2 = \\dfrac{1}{9}.\\]
Stąd \\(q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\). Wszystkie wyrazy dodatnie → \\(q > 0\\) → \\(q = \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio
\n

Ponieważ \\(a_5 = a_3\\cdot q^2\\), z \\(\\tfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \\tfrac{1}{9}\\), więc \\(q = \\tfrac{1}{3}\\) (pozostawiając dodatni znak).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: \\(\\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k\\) - wzór wygodny do wyznaczania \\(q\\) z dwóch wyrazów.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
\n
  1. Zrozumienie problemu: Mamy ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Wiemy, że wszystkie wyrazy są dodatnie i \\(q=3\\). Chcemy znaleźć iloraz \\(q\\).
  2. Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Suma \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego jest dana wzorem: \\(S_n = \\frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\\).
  3. Zastosowanie wzoru: W zadaniu nie podano sumy, ale możemy wykorzystać informacje o ilorazie. Ponieważ iloraz \\(q=3\\), to \\(a_n = a_1 \\cdot 3^{n-1}\\).
  4. Wyznaczenie a1: W zadaniu podano, że wszystkie wyrazy są dodatnie. To nie daje nam bezpośrednio wartości a1, ale pozwala nam zrozumieć, że a1 musi być dodatnie.
  5. Analiza: W zadaniu pytamy o iloraz, który jest równy 3. Zatem, rozwiązanie to 3.
\n

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na iloraz ciągu geometrycznego
\n
  1. Zrozumienie problemu: Iloraz ciągu geometrycznego jest definiowany jako stosunek kolejnych wyrazów. W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).
  2. Wzór na iloraz: Iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\) jest równy: \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2} = \\)
  3. Zastosowanie: W zadaniu podano, że iloraz \\(q = 3\\).
  4. Wniosek: Zatem, iloraz ciągu geometrycznego wynosi 3.
\n

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), strona 9

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowując, zadanie polega na zidentyfikowaniu podanego ilorazu ciągu geometrycznego, który wynosi 3. Oba sposoby rozwiązania prowadzą do tego samego wniosku.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, iloraz ciągu geometrycznego jest dany przez zależność $\\small \\displaystyle\\frac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2$. Z równania $\\small \\displaystyle\\frac{1}{9} = q^2$ i informacji, że wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie wynika, że $\\small \\displaystyle q = \\frac{1}{3}$.

"}]}