Zadanie 13. (0-1)
Sinus kąta ostrego α jest równy 5
4 . Wtedy
A.
4
5
cos
α
B.
5
1
cos
α
C.
25
9
cos
α
D.
5
3
cos
α
Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy A. cosα = 5/4; B. cosα = 1/5; C. cosα=9/25; D. cosα=3/5.
Zadanie 13. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza
wartości pozostałych funkcji tego samego kąta
ostrego (6.5).
Wersja
I
Wersja
II
D
A
\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{5}\\)
\nWiemy, że \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\). Korzystamy z podstawowej tożsamości:
\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\nPodstawiamy:
\n\\[\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\n\\[\\frac{16}{25} + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{16}{25} = \\frac{25}{25} - \\frac{16}{25} = \\frac{9}{25}\\]
\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{9}{25}} = \\pm\\frac{3}{5}\\]
\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym (czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), cosinus jest dodatni:
\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}}\\]
\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\), to z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:
\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{4}{5}\\]
\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym:
\nZ twierdzenia Pitagorasa:
\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
\n\\[16 + b^2 = 25\\]
\n\\[b^2 = 9 \\implies b = 3\\]
\nZatem:
\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{3}{5}\\]
\nDział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\sin\\alpha\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia trzeciego boku trójkąta.
| Odp. | Typowy błąd |
| A | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{4}\\) - odwrócono ułamek sinusa, a cosinus nigdy nie może być większy od 1 |
| B | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{5}\\) - odjęto liczniki zamiast kwadratów: \\(\\dfrac{4}{5} - \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{1}{5}\\) (błędne rozumowanie) |
| C | \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\) - zatrzymano się o krok za wcześnie: \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\) to wynik pośredni, ale szukamy \\(\\cos\\alpha\\), nie \\(\\cos^2\\alpha\\) |
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C to najczęstszy błąd - uczeń poprawnie liczy \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{9}{25}\\), ale zapomina wyciągnąć pierwiastek. Zawsze sprawdź, czego szuka zadanie: \\(\\cos\\alpha\\) czy \\(\\cos^2\\alpha\\)!\n
⚠️ Uwaga: Gdy wyciągasz pierwiastek z \\(\\cos^2\\alpha\\), pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego cosinus jest zawsze dodatni. Dla kąta rozwartego - ujemny. Informacja „kąt ostry" w treści zadania to kluczowa wskazówka.\n
⚠️ Uwaga: Cosinus (ani sinus) nie może być większy od 1 dla żadnego kąta. Jeśli Twój wynik daje \\(\\cos\\alpha > 1\\), na pewno gdzieś popełniłeś błąd.\n
Poprawna odpowiedź: D
\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{16}{25} = \\dfrac{9}{25}\\]
\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{5}.\\]
(Znak dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry.)
\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu z przyprostokątnymi \\(3, 4\\) i przeciwprostokątną \\(5\\). Wtedy \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\).
\nKluczowe: \\(|\\cos\\alpha| \\le 1\\) zawsze; dla kąta ostrego \\(\\cos > 0\\).
\nPoprawna odpowiedź: D
\nZnamy wartość sinusa kąta ostrego \\(\\alpha\\), a chcemy znaleźć cosinus. Wiemy, że \\(sin^2 \\alpha + cos^2 \\alpha = 1\\). Zatem:
\n\\[cos^2 \\alpha = 1 - sin^2 \\alpha\\]
\nPodstawiamy podane \\(sin \\alpha = \\frac{5}{13}\\):
\n\\[cos^2 \\alpha = 1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 = 1 - \\frac{25}{169} = \\frac{169 - 25}{169} = \\frac{144}{169}\\]
\nStąd:
\n\\[cos \\alpha = \\sqrt{\\frac{144}{169}} = \\frac{12}{13}\\]
\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, cosinus jest dodatni.
\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3
\nWyobraźmy sobie trójkąt prostokątny, gdzie \\(\\alpha\\) jest jednym z ostrych kątów. Znamy przeciwprostokątną (o długości 13) i jeden z przyprostokątnych (o długości 5). Z twierdzenia Pitagorowego:
\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
\ngdzie \\(a = 5\\), \\(c = 13\\). Szukamy długości drugiej przyprostokątnej \\(b\\).
\n\\[5^2 + b^2 = 13^2\\]
\\[25 + b^2 = 169\\]
\\[b^2 = 169 - 25 = 144\\]
\\[b = 12\\]
Zatem, sin(\\(\\alpha\\)) = \\(\\frac{5}{13}\\) i cos(\\(\\alpha\\)) = \\(\\frac{12}{13}\\).
\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7
\nPoprawnie, korzystając z wzoru $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$, mamy $\\small \\displaystyle\\left(\\frac{4}{5}\\right)^2 + \\cos^2 \\alpha = 1$, co prowadzi do $\\cos^2 \\alpha = \\small \\displaystyle\\frac{9}{25}$, więc $\\cos \\alpha = \\small \\displaystyle\\frac{3}{5}$.
"}]}