{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).\nOdcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .\nα\nZatem\nA.\n30\nα =\n°\nB.\n30\nα <\n°\nC.\n45\nα >\n°\nD.\n45\nα =\n°\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\nn ≥\n1\n3\n1\n3\n3\nA\nB\nC\nD\nE\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje zależności\nmiędzy kątem środkowym i kątem wpisanym\n(7.1).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\alpha = 30^\\circ\\]\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany i miara łuku DB\n\n**Krok 1: Wyznaczamy położenie punktu D.**\n\n\\(CD\\) jest średnicą okręgu, więc \\(D\\) jest punktem **antypodycznym** do \\(C\\) - leży dokładnie po przeciwnej stronie okręgu.\n\n**Krok 2: Wyznaczamy miarę łuku DB.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest równoboczny, więc każdy jego kąt wynosi \\(60°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\n\\[\\text{kąt środkowy} = 2 \\cdot \\text{kąt wpisany}\\]\n\nZatem łuk między każdą parą sąsiednich wierzchołków trójkąta ma miarę:\n\n\\[2 \\cdot 60° = 120°\\]\n\nCzyli łuk \\(AB\\) (nie zawierający \\(C\\)) wynosi \\(120°\\).\n\nPunkt \\(D\\) jest antypodyczny do \\(C\\), a \\(C\\) leży naprzeciwko **środka** łuku \\(AB\\). Skoro środek kręgu \\(O\\) jest jednocześnie środkiem symetrii, punkt \\(D\\) jest **środkiem łuku \\(AB\\)** (łuku nie zawierającego \\(C\\)), co daje:\n\n\\[\\widehat{AD} = \\widehat{DB} = \\frac{120°}{2} = 60°\\]\n\n**Krok 3: Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nZ rysunku \\(E\\) leży na łuku \\(CA\\) (czyli na **długim** łuku od \\(D\\) do \\(B\\), przechodzącym przez \\(A\\) i \\(C\\)). Kąt wpisany \\(DEB\\) jest oparty na **krótkim** łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)):\n\n\\[\\alpha = \\angle DEB = \\frac{1}{2} \\cdot \\widehat{DB} = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = \\boxed{30°}\\]\n\n> Kąt wpisany jest **niezależny** od tego, gdzie dokładnie leży \\(E\\) na łuku - każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma tę samą miarę.\n\n## Sposób 2 - Przez kąt wpisany w półokrąg i trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Kąt oparty na średnicy.**\n\nSkoro \\(CD\\) jest średnicą, to każdy kąt wpisany oparty na \\(CD\\) wynosi \\(90°\\). W szczególności:\n\n\\[\\angle CBD = 90°\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kąt \\(\\angle BCD\\).**\n\nKąt \\(\\angle BCD\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BD\\) (nie zawierającym \\(C\\)). Wiemy (z Kroku 2 Sposobu 1), że ten łuk ma miarę \\(60°\\), zatem:\n\n\\[\\angle BCD = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = 30°\\]\n\n**Krok 3: Porównujemy kąty wpisane.**\n\nZarówno \\(E\\) jak i \\(C\\) leżą na tym samym (długim) łuku od \\(D\\) do \\(B\\). Oba kąty \\(\\angle DEB\\) i \\(\\angle DCB\\) są kątami wpisanymi opartymi na **tym samym łuku** \\(DB\\). Zatem:\n\n\\[\\alpha = \\angle DEB = \\angle DCB = 30°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany i kąt środkowy:\n\n\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (miara łuku)}\\]\n\nUżyliśmy tego dwukrotnie: do wyznaczenia łuku \\(DB = 60°\\) (przez kąt trójkąta równobocznego) oraz do obliczenia kąta \\(\\angle DEB = 30°\\).\n\n**Dział 10 (s. 19)** - Kąt wpisany w półokrąg:\n\n\\[\\text{kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle CBD = 90°\\).\n\n**Dział 10 (s. 19)** - Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Użyliśmy w Sposobie 2 do porównania \\(\\angle DEB = \\angle DCB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(\\alpha < 30°\\)) | Brak konkretnej wartości - uczeń myli wnioski; kąt wpisany ma dokładnie określoną miarę, niezależną od położenia \\(E\\) |\n| C (\\(\\alpha > 45°\\)) | Błędnie wyliczony łuk \\(DB\\) (np. wzięcie łuku \\(AB = 120°\\) i podzielenie przez 2 zamiast przez 4) |\n| D (\\(\\alpha = 45°\\)) | Pomylono łuk \\(DB = 60°\\) z łukiem \\(90°\\) - błąd przy wyznaczaniu środka łuku \\(AB\\); wynik \\(45°\\) dawałby łuk \\(90°\\), co nie jest zgodne z geometrią trójkąta równobocznego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) leży na okręgu, nie jest środkiem. Łatwo pomylić \"średnica \\(CD\\)\" z \"środek okręgu to \\(D\\)\" - to bardzo częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany to **połowa** miary łuku, nie łuk równy kątowi. Łuk \\(DB = 60°\\), więc kąt wpisany \\(= 30°\\), nie \\(60°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest **taki sam dla każdego punktu** na łuku (po tej samej stronie cięciwy). Nie trzeba znać dokładnego położenia \\(E\\) - to jest sedno tego zadania!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Kąty wpisane na łuku \\(DB\\)\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) wpisanym w okrąg, każdy łuk \\(AB, BC, CA\\) = \\(120^\\circ\\).\n\\(CD\\) to średnica → łuk \\(CD\\) = \\(180^\\circ\\) (półokrąg).\n\nZ rysunku \\(D\\) leży po stronie niezawierającej \\(C\\) (na przeciwnym łuku).\nKąt wpisany \\(\\angle DEB\\) opiera się na łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)).\n\nŁuk \\(DB\\) = ? Zależy od położenia \\(D\\). Ponieważ \\(CD\\) to średnica:\n- \\(D\\) jest symetryczne do \\(C\\) względem środka okręgu.\n- Łuk \\(CB = 120^\\circ\\) (z trójkąta równobocznego, kolejno od \\(C\\) do \\(B\\)).\n- Łuk \\(CD = 180^\\circ\\) (średnica).\n\n\\(\\angle DEB = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{łuk } DB\\) (tw. o kątach wpisanych).\n\nŁuk \\(DB\\) = \\(180^\\circ - 120^\\circ = 60^\\circ\\) (łuk od \\(D\\) do \\(B\\) przez stronę bez \\(C\\)).\nZatem \\(\\alpha = \\tfrac{60^\\circ}{2} = 30^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Tw. Talesa + kąt wpisany\nDla średnicy \\(CD\\): kąt \\(\\angle CBD = 90^\\circ\\) (kąt wpisany na średnicy).\nW trójkącie \\(CBD\\) (prostokątnym przy \\(B\\)): kąt \\(\\angle BCD = 60^\\circ\\) (bo \\(\\angle BCA = 60^\\circ\\) trójkąta równobocznego i \\(D\\) leży tak że \\(\\angle BCD = \\angle BCA = 60^\\circ\\) - tu trzeba uważać). Wtedy \\(\\angle BDC = 30^\\circ\\).\nKąt wpisany na tym samym łuku \\(BC\\) to \\(\\alpha\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\alpha = 30^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C** - przedziały ze ścisłymi nierównościami.\n- **D. \\(45^\\circ\\)** - nie pasuje do konfiguracji.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie kąta wpisanego i kąta środkowego\n\n1. **Zrozumienie relacji między kątem wpisanym i kątem środkowym:** Kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (ponieważ trójkąt równoboczny ma kąty po 60°), jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.\n2. **Obliczenie kąta DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α. Kąt środkowy DEB, oparty na tym samym łuku, ma miarę 2α.\n3. **Związek kątów:** Kąt środkowy jest równy sumie kątów wpisanych, które opierają się na tym samym łuku. Zatem 2α = 60° (ponieważ kąt wpisany DEB to α, a kąt środkowy DEB to 2α).\n4. **Rozwiązanie:** 2α = 60° => α = 30°\n\n\\[2\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 30\n\n### Sposób 2: Użycie własności okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i kąta wpisanego\n\n1. **Własność okręgu wpisanego:** W trójkącie równobocznym okrąg wpisany ma takie własności, że kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (kąt środkowy), jest równy 60°.\n2. **Kąt wpisany DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α.\n3. **Związek kątów:** Kąt wpisany DEB jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku. Zatem α = 60°\n4. **Rozwiązanie:** α = 60°\n\n\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]\n📖 Karta wzorów: s.19, strona 19\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. α < 30°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być większa niż 30° (bo jest równa 60°).\n* **C. α > 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być mniejsza niż 45° (bo jest równa 30°).\n* **D. α = 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być różna od 45° (bo jest równa 30°).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).<br>Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .<br>α<br>Zatem<br>A.<br>30<br>α =<br>°<br>B.<br>30<br>α &lt;<br>°<br>C.<br>45<br>α &gt;<br>°<br>D.<br>45<br>α =<br>°<br>(<br>)<br>na<br>(<br>)<br>na<br>1<br>n ≥<br>1<br>3<br>1<br>3<br>3<br>A<br>B<br>C<br>D<br>E</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający stosuje zależności</li></ol>\n<p>między kątem środkowym i kątem wpisanym<br>(7.1).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\[\\alpha = 30^\\circ\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Kąt wpisany i miara łuku DB</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy położenie punktu D.</strong></p>\n<p>\\(CD\\) jest średnicą okręgu, więc \\(D\\) jest punktem <strong>antypodycznym</strong> do \\(C\\) - leży dokładnie po przeciwnej stronie okręgu.</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy miarę łuku DB.</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(ABC\\) jest równoboczny, więc każdy jego kąt wynosi \\(60°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:</p>\n<p>\\[\\text{kąt środkowy} = 2 \\cdot \\text{kąt wpisany}\\]</p>\n<p>Zatem łuk między każdą parą sąsiednich wierzchołków trójkąta ma miarę:</p>\n<p>\\[2 \\cdot 60° = 120°\\]</p>\n<p>Czyli łuk \\(AB\\) (nie zawierający \\(C\\)) wynosi \\(120°\\).</p>\n<p>Punkt \\(D\\) jest antypodyczny do \\(C\\), a \\(C\\) leży naprzeciwko <strong>środka</strong> łuku \\(AB\\). Skoro środek kręgu \\(O\\) jest jednocześnie środkiem symetrii, punkt \\(D\\) jest <strong>środkiem łuku \\(AB\\)</strong> (łuku nie zawierającego \\(C\\)), co daje:</p>\n<p>\\[\\widehat{AD} = \\widehat{DB} = \\frac{120°}{2} = 60°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym.</strong></p>\n<p>Z rysunku \\(E\\) leży na łuku \\(CA\\) (czyli na <strong>długim</strong> łuku od \\(D\\) do \\(B\\), przechodzącym przez \\(A\\) i \\(C\\)). Kąt wpisany \\(DEB\\) jest oparty na <strong>krótkim</strong> łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)):</p>\n<p>\\[\\alpha = \\angle DEB = \\frac{1}{2} \\cdot \\widehat{DB} = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = \\boxed{30°}\\]</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest <strong>niezależny</strong> od tego, gdzie dokładnie leży \\(E\\) na łuku - każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma tę samą miarę.</blockquote>\n<h4>Sposób 2 - Przez kąt wpisany w półokrąg i trójkąt prostokątny</h4>\n<p><strong>Krok 1: Kąt oparty na średnicy.</strong></p>\n<p>Skoro \\(CD\\) jest średnicą, to każdy kąt wpisany oparty na \\(CD\\) wynosi \\(90°\\). W szczególności:</p>\n<p>\\[\\angle CBD = 90°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy kąt \\(\\angle BCD\\).</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle BCD\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BD\\) (nie zawierającym \\(C\\)). Wiemy (z Kroku 2 Sposobu 1), że ten łuk ma miarę \\(60°\\), zatem:</p>\n<p>\\[\\angle BCD = \\frac{1}{2} \\cdot 60° = 30°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Porównujemy kąty wpisane.</strong></p>\n<p>Zarówno \\(E\\) jak i \\(C\\) leżą na tym samym (długim) łuku od \\(D\\) do \\(B\\). Oba kąty \\(\\angle DEB\\) i \\(\\angle DCB\\) są kątami wpisanymi opartymi na <strong>tym samym łuku</strong> \\(DB\\). Zatem:</p>\n<p>\\[\\alpha = \\angle DEB = \\angle DCB = 30°\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - Kąt wpisany i kąt środkowy:</p>\n<p>\\[\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (miara łuku)}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego dwukrotnie: do wyznaczenia łuku \\(DB = 60°\\) (przez kąt trójkąta równobocznego) oraz do obliczenia kąta \\(\\angle DEB = 30°\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (s. 19)</strong> - Kąt wpisany w półokrąg:</p>\n<p>\\[\\text{kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°\\]</p>\n<p>Użyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle CBD = 90°\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (s. 19)</strong> - Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Użyliśmy w Sposobie 2 do porównania \\(\\angle DEB = \\angle DCB\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B (\\(\\alpha &lt; 30°\\)) | Brak konkretnej wartości - uczeń myli wnioski; kąt wpisany ma dokładnie określoną miarę, niezależną od położenia \\(E\\) |<br>| C (\\(\\alpha &gt; 45°\\)) | Błędnie wyliczony łuk \\(DB\\) (np. wzięcie łuku \\(AB = 120°\\) i podzielenie przez 2 zamiast przez 4) |<br>| D (\\(\\alpha = 45°\\)) | Pomylono łuk \\(DB = 60°\\) z łukiem \\(90°\\) - błąd przy wyznaczaniu środka łuku \\(AB\\); wynik \\(45°\\) dawałby łuk \\(90°\\), co nie jest zgodne z geometrią trójkąta równobocznego |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(D\\) leży na okręgu, nie jest środkiem. Łatwo pomylić &quot;średnica \\(CD\\)&quot; z &quot;środek okręgu to \\(D\\)&quot; - to bardzo częsty błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany to <strong>połowa</strong> miary łuku, nie łuk równy kątowi. Łuk \\(DB = 60°\\), więc kąt wpisany \\(= 30°\\), nie \\(60°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest <strong>taki sam dla każdego punktu</strong> na łuku (po tej samej stronie cięciwy). Nie trzeba znać dokładnego położenia \\(E\\) - to jest sedno tego zadania!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąty wpisane na łuku \\(DB\\)</h5>\n<p>W trójkącie równobocznym \\(ABC\\) wpisanym w okrąg, każdy łuk \\(AB, BC, CA\\) = \\(120^\\circ\\).<br>\\(CD\\) to średnica → łuk \\(CD\\) = \\(180^\\circ\\) (półokrąg).</p>\n<p>Z rysunku \\(D\\) leży po stronie niezawierającej \\(C\\) (na przeciwnym łuku).<br>Kąt wpisany \\(\\angle DEB\\) opiera się na łuku \\(DB\\) (nie zawierającym \\(E\\)).</p>\n<p>Łuk \\(DB\\) = ? Zależy od położenia \\(D\\). Ponieważ \\(CD\\) to średnica:</p>\n<ul><li>\\(D\\) jest symetryczne do \\(C\\) względem środka okręgu.</li><li>Łuk \\(CB = 120^\\circ\\) (z trójkąta równobocznego, kolejno od \\(C\\) do \\(B\\)).</li><li>Łuk \\(CD = 180^\\circ\\) (średnica).</li></ul>\n<p>\\(\\angle DEB = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{łuk } DB\\) (tw. o kątach wpisanych).</p>\n<p>Łuk \\(DB\\) = \\(180^\\circ - 120^\\circ = 60^\\circ\\) (łuk od \\(D\\) do \\(B\\) przez stronę bez \\(C\\)).<br>Zatem \\(\\alpha = \\tfrac{60^\\circ}{2} = 30^\\circ\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Tw. Talesa + kąt wpisany</h5>\n<p>Dla średnicy \\(CD\\): kąt \\(\\angle CBD = 90^\\circ\\) (kąt wpisany na średnicy).<br>W trójkącie \\(CBD\\) (prostokątnym przy \\(B\\)): kąt \\(\\angle BCD = 60^\\circ\\) (bo \\(\\angle BCA = 60^\\circ\\) trójkąta równobocznego i \\(D\\) leży tak że \\(\\angle BCD = \\angle BCA = 60^\\circ\\) - tu trzeba uważać). Wtedy \\(\\angle BDC = 30^\\circ\\).<br>Kąt wpisany na tym samym łuku \\(BC\\) to \\(\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(\\alpha = 30^\\circ\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C</strong> - przedziały ze ścisłymi nierównościami.</li><li><strong>D. \\(45^\\circ\\)</strong> - nie pasuje do konfiguracji.</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie kąta wpisanego i kąta środkowego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie relacji między kątem wpisanym i kątem środkowym:</strong> Kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (ponieważ trójkąt równoboczny ma kąty po 60°), jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku.</li><li><strong>Obliczenie kąta DEB:</strong> Kąt wpisany DEB ma miarę α. Kąt środkowy DEB, oparty na tym samym łuku, ma miarę 2α.</li><li><strong>Związek kątów:</strong> Kąt środkowy jest równy sumie kątów wpisanych, które opierają się na tym samym łuku. Zatem 2α = 60° (ponieważ kąt wpisany DEB to α, a kąt środkowy DEB to 2α).</li><li><strong>Rozwiązanie:</strong> 2α = 60° =&gt; α = 30°</li></ol>\n<p>\\[2\\alpha = 60^{\\circ}\\]<br>📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 30</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie własności okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i kąta wpisanego</h5>\n<ol><li><strong>Własność okręgu wpisanego:</strong> W trójkącie równobocznym okrąg wpisany ma takie własności, że kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (kąt środkowy), jest równy 60°.</li><li><strong>Kąt wpisany DEB:</strong> Kąt wpisany DEB ma miarę α.</li><li><strong>Związek kątów:</strong> Kąt wpisany DEB jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku. Zatem α = 60°</li><li><strong>Rozwiązanie:</strong> α = 60°</li></ol>\n<p>\\[\\alpha = 60^{\\circ}\\]<br>📖 Karta wzorów: s.19, strona 19</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. α &lt; 30°:</strong> Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być większa niż 30° (bo jest równa 60°).</li><li><strong>C. α &gt; 45°:</strong> Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być mniejsza niż 45° (bo jest równa 30°).</li><li><strong>D. α = 45°:</strong> Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być różna od 45° (bo jest równa 30°).</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ, że ten kąt jest oparty na połowie łuku $AB$, zatem ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt $ACB=60^\\circ$.</p>"}]}