{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe\nA. 8\nB. 12\nC. 8 3\nD. 16\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe A. 8; B. 12; C. 8√3; D. 16","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności\nfunkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze\nwzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych\ndwóch bokach i kącie między nimi (7.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (pole = \\(8\\))\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt\n\nRomb ma wszystkie boki równe, a kąty przy wspólnym boku są **suplementarne** (sumują się do \\(180°\\)).\n\nSkoro kąt rozwarty wynosi \\(150°\\), to kąt ostry wynosi:\n\\[180° - 150° = 30°\\]\n\nPole rombu wyraża się wzorem:\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok, a \\(\\alpha\\) to **dowolny** kąt rombu (wzór działa tak samo dla każdego z nich).\n\nPodstawiamy \\(a = 4\\) i \\(\\alpha = 150°\\):\n\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 150° = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{8}\\]\n\nWynik: \\(\\boxed{P = 8}\\).\n\n## Sposób 2 - przez wysokość rombu\n\nRomb możemy traktować jak równoległobok. Jego **wysokość** to odcinek prostopadły do podstawy.\n\nZ trójkąta prostokątnego przy boku rombu (kąt ostry \\(= 30°\\)):\n\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nDlaczego \\(\\sin 30°\\), a nie \\(\\sin 150°\\)? Bo wysokość \"opada\" pod kątem ostrym. Oba sposoby dają ten sam wynik, bo \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).\n\nPole rombu jako równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot h = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Weryfikacja przez przekątne:**\n\nPrzekątne rombu wyznaczamy z twierdzenia cosinusów. Dla przekątnej przez kąt \\(150°\\):\n\\[d_1^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 150° = 32 + 16\\sqrt{3}\\]\n\nDla przekątnej przez kąt \\(30°\\):\n\\[d_2^2 = 32 - 16\\sqrt{3}\\]\n\nPole przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} d_1 d_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{(32+16\\sqrt{3})(32-16\\sqrt{3})} = \\frac{1}{2}\\sqrt{1024 - 768} = \\frac{1}{2}\\sqrt{256} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy tego wzoru wprost w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \\(\\sin 150°\\):\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nKluczowy krok - bez wzoru redukcyjnego można się tu pomylić.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(12\\)) | Błędne obliczenie wysokości: \\(h = 4 \\cdot \\sin 150° \\cdot \\cos 150°\\) albo pomieszanie z innym wzorem; wynik nie wynika z żadnego naturalnego błędu - może być omyłka rachunkowa |\n| C (\\(8\\sqrt{3}\\)) | Przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(60°\\) (zamiast \\(30°\\)): \\(16 \\cdot \\sin 60° = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\). Błąd: \\(180° - 150° = 30°\\), nie \\(60°\\)! |\n| D (\\(16\\)) | Policzono \\(a^2 = 16\\) i zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin\\alpha\\) - czyli założono kąt prosty (\\(\\sin 90° = 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), **nie** \\(\\cos 30°\\) ani \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). To najczęstszy błąd - mylenie wartości dla \\(30°\\) i \\(60°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do wzoru \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) można podstawić **każdy** z kątów rombu - wynik jest taki sam, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180°-\\alpha)\\). Nie trzeba szukać kąta ostrego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Romb **nie jest** prostokątem, więc jego pole **nie** wynosi \\(a^2\\). Wzór \\(a^2\\) to tylko pole kwadratu (gdy \\(\\alpha = 90°\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = a^2\\sin\\alpha\\)\nRomb o boku \\(a = 4\\), kąt \\(= 150^\\circ\\) (lub równoważnie \\(30^\\circ\\), bo \\(\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ\\)):\n\\[P = a^2\\sin 30^\\circ = 16\\cdot\\dfrac{1}{2} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez wysokość\nKąt ostry = \\(30^\\circ\\). Wysokość \\(h = a\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2\\).\n\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2 = 8.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(12\\)** - przypomina wartość \\(a\\cdot 3\\); niewłaściwe obliczenie.\n- **C. \\(8\\sqrt{3}\\)** - kąt wzięto jako \\(60^\\circ\\) (\\(\\sin 60 = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n- **D. \\(16\\)** - to pole kwadratu o boku 4 (\\(\\sin = 1\\), kąt \\(90^\\circ\\)).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin\\) dla kąta i jego dopełnienia do \\(180^\\circ\\) jest taki sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola rombu na podstawie długości boku i kąta rozwartego\n\n1. **Zrozumienie wzoru na pole rombu:** Pole rombu oblicza się ze wzoru: \\(P = \\frac{d_1 d_2}{2}\\), gdzie \\(d_1\\) i \\(d_2\\) to długości przekątnych. Można też obliczyć pole rombu, jeśli znamy długość boku i jeden z kątów. W tym przypadku mamy długość boku (a=4) i kąt rozwarty (150°). Użyjemy wzoru: \\(P = a^2 \\sin(\\alpha)\\), gdzie \\(a\\) to długość boku, a \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku.\n2. **Obliczenie pola:** \\(P = 4^2 \\sin(150^{\\circ}) = 16 \\cdot \\sin(150^{\\circ})\\). Wiemy, że \\(\\sin(150^{\\circ}) = \\sin(180^{\\circ} - 30^{\\circ}) = \\sin(30^{\\circ}) = \\frac{1}{2}\\).\n3. **Ostateczne obliczenie:** \\(P = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = 8\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21: Trapez P=(a+b)h/2, równoległobok P=ah, romb P=d₁d₂/2, strona 20\n\n### Sposób 2: Podział rombu na trójkąty i obliczenie pola\n\n1. **Podział rombu:** Romb można podzielić na dwa identyczne trójkąty równoramienne o podstawie długości 4 i kątach przy podstawie 150° i 30°.\n2. **Obliczenie wysokości trójkąta:** W trójkącie o kątach 30° i 60° i boku 4, wysokość (h) można obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych. Wysokość to \\(h = 4 \\cdot \\sin(30^{\\circ}) = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\).\n3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 2 = 4\\).\n4. **Obliczenie pola rombu:** Pola dwóch trójkątów sumują się, dając pole rombu: \\(P = 2 \\cdot 4 = 8\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 16:** Pamiętajmy, że pole rombu zależy od długości boku i kąta rozwartego. Użycie 16 zamiast 8 jest błędne.\n* **C. 4:** Pole rombu jest mniejsze niż 4, ponieważ kąt rozwarty wynosi 150 stopni, a nie 90 stopni.\n* **D. 8√3:** To pole kwadratu o boku 4√3, a nie rombu. Pole rombu nie jest związane z pierwiastkiem kwadratowym w ten sposób.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe<br>A. 8<br>B. 12<br>C. 8 3<br>D. 16<br>Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe A. 8; B. 12; C. 8√3; D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta z własności</li></ol>\n<p>funkcji trygonometrycznych w łatwych<br>obliczeniach geometrycznych, w tym ze<br>wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych<br>dwóch bokach i kącie między nimi (7.4).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (pole = \\(8\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt</h4>\n<p>Romb ma wszystkie boki równe, a kąty przy wspólnym boku są <strong>suplementarne</strong> (sumują się do \\(180°\\)).</p>\n<p>Skoro kąt rozwarty wynosi \\(150°\\), to kąt ostry wynosi:<br>\\[180° - 150° = 30°\\]</p>\n<p>Pole rombu wyraża się wzorem:<br>\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]<br>gdzie \\(a\\) to bok, a \\(\\alpha\\) to <strong>dowolny</strong> kąt rombu (wzór działa tak samo dla każdego z nich).</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 4\\) i \\(\\alpha = 150°\\):<br>\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 150° = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{8}\\]</p>\n<p>Wynik: \\(\\boxed{P = 8}\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - przez wysokość rombu</h4>\n<p>Romb możemy traktować jak równoległobok. Jego <strong>wysokość</strong> to odcinek prostopadły do podstawy.</p>\n<p>Z trójkąta prostokątnego przy boku rombu (kąt ostry \\(= 30°\\)):<br>\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]</p>\n<p>Dlaczego \\(\\sin 30°\\), a nie \\(\\sin 150°\\)? Bo wysokość &quot;opada&quot; pod kątem ostrym. Oba sposoby dają ten sam wynik, bo \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<p>Pole rombu jako równoległoboku:<br>\\[P = a \\cdot h = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja przez przekątne:</strong></p>\n<p>Przekątne rombu wyznaczamy z twierdzenia cosinusów. Dla przekątnej przez kąt \\(150°\\):<br>\\[d_1^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 150° = 32 + 16\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Dla przekątnej przez kąt \\(30°\\):<br>\\[d_2^2 = 32 - 16\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Pole przez przekątne:<br>\\[P = \\frac{1}{2} d_1 d_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{(32+16\\sqrt{3})(32-16\\sqrt{3})} = \\frac{1}{2}\\sqrt{1024 - 768} = \\frac{1}{2}\\sqrt{256} = \\frac{16}{2} = \\mathbf{8}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole rombu:<br>\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]<br>Użyliśmy tego wzoru wprost w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wartość \\(\\sin 150°\\):<br>\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]<br>Kluczowy krok - bez wzoru redukcyjnego można się tu pomylić.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B (\\(12\\)) | Błędne obliczenie wysokości: \\(h = 4 \\cdot \\sin 150° \\cdot \\cos 150°\\) albo pomieszanie z innym wzorem; wynik nie wynika z żadnego naturalnego błędu - może być omyłka rachunkowa |<br>| C (\\(8\\sqrt{3}\\)) | Przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \\(60°\\) (zamiast \\(30°\\)): \\(16 \\cdot \\sin 60° = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\). Błąd: \\(180° - 150° = 30°\\), nie \\(60°\\)! |<br>| D (\\(16\\)) | Policzono \\(a^2 = 16\\) i zapomniano pomnożyć przez \\(\\sin\\alpha\\) - czyli założono kąt prosty (\\(\\sin 90° = 1\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), <strong>nie</strong> \\(\\cos 30°\\) ani \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). To najczęstszy błąd - mylenie wartości dla \\(30°\\) i \\(60°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Do wzoru \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) można podstawić <strong>każdy</strong> z kątów rombu - wynik jest taki sam, bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180°-\\alpha)\\). Nie trzeba szukać kąta ostrego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Romb <strong>nie jest</strong> prostokątem, więc jego pole <strong>nie</strong> wynosi \\(a^2\\). Wzór \\(a^2\\) to tylko pole kwadratu (gdy \\(\\alpha = 90°\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(P = a^2\\sin\\alpha\\)</h5>\n<p>Romb o boku \\(a = 4\\), kąt \\(= 150^\\circ\\) (lub równoważnie \\(30^\\circ\\), bo \\(\\sin 150^\\circ = \\sin 30^\\circ\\)):<br>\\[P = a^2\\sin 30^\\circ = 16\\cdot\\dfrac{1}{2} = 8.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez wysokość</h5>\n<p>Kąt ostry = \\(30^\\circ\\). Wysokość \\(h = a\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2\\).<br>\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2 = 8.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(12\\)</strong> - przypomina wartość \\(a\\cdot 3\\); niewłaściwe obliczenie.</li><li><strong>C. \\(8\\sqrt{3}\\)</strong> - kąt wzięto jako \\(60^\\circ\\) (\\(\\sin 60 = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)).</li><li><strong>D. \\(16\\)</strong> - to pole kwadratu o boku 4 (\\(\\sin = 1\\), kąt \\(90^\\circ\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\sin\\) dla kąta i jego dopełnienia do \\(180^\\circ\\) jest taki sam.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie pola rombu na podstawie długości boku i kąta rozwartego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie wzoru na pole rombu:</strong> Pole rombu oblicza się ze wzoru: \\(P = \\frac{d_1 d_2}{2}\\), gdzie \\(d_1\\) i \\(d_2\\) to długości przekątnych. Można też obliczyć pole rombu, jeśli znamy długość boku i jeden z kątów. W tym przypadku mamy długość boku (a=4) i kąt rozwarty (150°). Użyjemy wzoru: \\(P = a^2 \\sin(\\alpha)\\), gdzie \\(a\\) to długość boku, a \\(\\alpha\\) to kąt przy wierzchołku.</li><li><strong>Obliczenie pola:</strong> \\(P = 4^2 \\sin(150^{\\circ}) = 16 \\cdot \\sin(150^{\\circ})\\). Wiemy, że \\(\\sin(150^{\\circ}) = \\sin(180^{\\circ} - 30^{\\circ}) = \\sin(30^{\\circ}) = \\frac{1}{2}\\).</li><li><strong>Ostateczne obliczenie:</strong> \\(P = 16 \\cdot \\frac{1}{2} = 8\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.20-21: Trapez P=(a+b)h/2, równoległobok P=ah, romb P=d₁d₂/2, strona 20</p>\n<h5>Sposób 2: Podział rombu na trójkąty i obliczenie pola</h5>\n<ol><li><strong>Podział rombu:</strong> Romb można podzielić na dwa identyczne trójkąty równoramienne o podstawie długości 4 i kątach przy podstawie 150° i 30°.</li><li><strong>Obliczenie wysokości trójkąta:</strong> W trójkącie o kątach 30° i 60° i boku 4, wysokość (h) można obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych. Wysokość to \\(h = 4 \\cdot \\sin(30^{\\circ}) = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\).</li><li><strong>Obliczenie pola trójkąta:</strong> Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość} = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 2 = 4\\).</li><li><strong>Obliczenie pola rombu:</strong> Pola dwóch trójkątów sumują się, dając pole rombu: \\(P = 2 \\cdot 4 = 8\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. 16:</strong> Pamiętajmy, że pole rombu zależy od długości boku i kąta rozwartego. Użycie 16 zamiast 8 jest błędne.</li><li><strong>C. 4:</strong> Pole rombu jest mniejsze niż 4, ponieważ kąt rozwarty wynosi 150 stopni, a nie 90 stopni.</li><li><strong>D. 8√3:</strong> To pole kwadratu o boku 4√3, a nie rombu. Pole rombu nie jest związane z pierwiastkiem kwadratowym w ten sposób.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Aby obliczyć pole rombu, używamy wzoru na pole: $$P = a \\cdot h$$, gdzie $a$ to długość boku rombu, a $h$ to jego wysokość.\\n\\n2. W naszym przypadku bok rombu wynosi $a = 4$. Musimy teraz obliczyć wysokość $h$.\\n\\n3. Możemy wyznaczyć wysokość rombu, korzystając z kąta rozwartego $150^\\circ$. Wysokość $h$ można obliczyć ze wzoru: $$h = a \\cdot \\sin(\\alpha)$$, gdzie $\\alpha$ to kąt, który jest naprzeciwko wysokości. W lomie z kątem $150^\\circ$, kąt naprzeciwko wysokości wynosi $30^\\circ$. \\n\\n4. Podstawiamy do wzoru: $$h = 4 \\cdot \\sin(30^\\circ)$$.\\n\\n5. Wartość $$\\sin(30^\\circ) = \\frac{1}{2}$$.\\n\\n6. Zatem: $$h = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2$$. \\n\\n7. Teraz możemy obliczyć pole rombu: $$P = 4 \\cdot 2$$.\\n\\n8. Obliczamy: $$P = 8$$.\\n\\n9. Sprawdzamy dostępne opcje: A. 8, B. 12, C. 8 \\sqrt{3}, D. 16. Zobaczmy, która z opcji pasuje.\\n\\n10. Nasze obliczone pole wynosi 8, więc poprawna odpowiedź to A.\\n\\n<strong>Odpowiedź:</strong> 8</li></ol>"}]}