Zadanie 17. (0-1)
Proste o równaniach
(2
2)
2019
y
m
x
oraz
(3
3)
2019
y
m
x
są równoległe, gdy
A.
1
m = -
B.
0
m =
C.
1
m =
D.
5
m =
Proste o równaniach y=(2m+2)x-2019 oraz y=(3m-3)x+2019 są równoległe, gdy A. m=-1; B. m=0; m=1; D. m=5.
Zadanie 17. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający bada równoległość i prostopadłość
prostych na podstawie ich równań
kierunkowych (8.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
B
Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:
\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]
Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:
\\[a_1 = 2m + 2, \\qquad a_2 = 3m - 3\\]
Przyrównujemy:
\\[2m + 2 = 3m - 3\\]
\\[2 + 3 = 3m - 2m\\]
\\[\\boxed{m = 5}\\]
Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame (bo tożsame nie są równoległe - są tą samą prostą):
\nSą różne, więc proste są rzeczywiście równoległe (nie pokrywają się). ✓
\nWstawiamy \\(m = 5\\) do obu równań:
\\[y = (2 \\cdot 5 + 2)x - 2019 = 12x - 2019\\]
\\[y = (3 \\cdot 5 - 3)x + 2019 = 12x + 2019\\]
Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(a = 12\\) i różne wyrazy wolne (\\(-2019\\) i \\(+2019\\)), więc są równoległe. ✓
\nMożemy też sprawdzić graficznie - obie mają nachylenie \\(12\\) (strome, rosnące), ale przesunięte o \\(4038\\) jednostek w pionie.
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\nWarunek równoległości prostych o równaniach kierunkowych:
\\[y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2 \\text{ i } b_1 \\neq b_2\\]
To bezpośrednio zastosowany warunek w Sposobie 1.
\n| Odp. | Wartość \\(m\\) | Współczynnik prostej 1 | Współczynnik prostej 2 | Błąd |
| A | \\(m = -1\\) | \\(2(-1)+2 = 0\\) | \\(3(-1)-3 = -6\\) | Współczynniki różne (\\(0 \\neq -6\\)), proste nie są równoległe |
| B | \\(m = 0\\) | \\(2(0)+2 = 2\\) | \\(3(0)-3 = -3\\) | Współczynniki różne (\\(2 \\neq -3\\)), proste nie są równoległe |
| C | \\(m = 1\\) | \\(2(1)+2 = 4\\) | \\(3(1)-3 = 0\\) | Współczynniki różne (\\(4 \\neq 0\\)), proste nie są równoległe |
Typowy błąd prowadzący do C: uczeń podstawia \\(m=1\\) do jednego z wyrażeń i dostaje ładną liczbę (0 lub 4), co wygląda "czysto" - ale to pułapka.
\n⚠️ Uwaga: Przyrównanie współczynników daje warunek na równoległość - ale trzeba też sprawdzić, czy proste się nie pokrywają (tożsame). Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - a to nie jest równoległość!\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się przy upraszczaniu \\(2m+2 = 3m-3\\) i dostać \\(m = -5\\) zamiast \\(m = 5\\) (błąd znaku przy przenoszeniu). Zawsze przenoś wyrazy na jedną stronę ostrożnie.\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). Obie formuły są w dziale 11 karty wzorów - sprawdź, którą stosujesz!\n
Poprawna odpowiedź: D
\n\\(a_1 = a_2\\):
\\[2m + 2 = 3m - 3 \\Rightarrow m = 5.\\]
Sprawdzenie wyrazów wolnych: \\(-2019 \\ne 2019\\) ✓ - proste różne, czyli równoległe (nie tożsame).
Dla każdego \\(m\\) liczymy \\(2m+2\\) vs \\(3m-3\\):
\nŻaden inny \\(m\\) nie daje równych współczynników kierunkowych.
\nPoprawna odpowiedź: D
\na to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej), a b to punkt przecięcia prostej z osią y.2m + 2 = 3m - 3
m = 5
2m + 2 = 3m - 3
\n2m + 2 = 3m - 3
m = 5
📖 Karta wzorów: s.7, strona 17 (Wzory skrócone), (z powodu użycia równań i manipulacji algebraicznych)
\nx lub m, co jest nieprawdziwe. Równoległość prostych zależy wyłącznie od współczynnika kierunkowego.Rozwiązanie:\\
\nRównanie 1: $y = (2m + 2)x - 2019$ \\\\ Współczynnik kierunkowy: $k_1 = 2m + 2$ \\\\ Równanie 2: $y = (3m - 3)x + 2019$ \\\\ Współczynnik kierunkowy: $k_2 = 3m - 3$ \\\\ \\
\nOdpowiedź: m = 5
"}]}