{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nProsta o równaniu\nb\nax\ny\njest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n1\ny\nx\n+ i przechodzi\nprzez punkt\n(\n)\n1\n2 , 0\nP =\n, gdy\nA.\n4\na = -\ni\n2\nb\nB.\n1\n4\na =\ni\n1\n8\nb = -\nC.\n4\na = - i\n2\nb\nD.\n1\n4\na =\ni\n1\n2\nb =\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nProsta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=-4x+1 i przechodzi przez punkt P =(1/2,0), gdy A. a=-4 i b=-2; B. a=1/4 i b=-1/8; C. a=-4 i b=2; D. a=1/4 i b=1/2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt (8.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości + podstawienie punktu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.**\n\nMamy daną prostą o współczynniku kierunkowym \\(a_1 = -4\\).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[(-4) \\cdot a = -1\\]\n\\[a = \\frac{-1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\).**\n\nPunkt \\(P\\) leży na prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie \\(y = \\frac{1}{4}x + b\\):\n\\[0 = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} + b\\]\n\\[0 = \\frac{1}{8} + b\\]\n\\[b = -\\frac{1}{8}\\]\n\n**Wynik:** \\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\) - odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez podstawienie)\n\nMając wynik z Metody 1, sprawdzamy, czy prosta \\(y = \\frac{1}{4}x - \\frac{1}{8}\\) spełnia oba warunki zadania.\n\n**Warunek 1: Prostopadłość do \\(y = -4x + 1\\)**\n\\[\\frac{1}{4} \\cdot (-4) = -1 \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2: Przechodzenie przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\)**\n\\[y = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{8} = \\frac{1}{8} - \\frac{1}{8} = 0 \\checkmark\\]\n\nOba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego szukanej prostej.\n\nOraz równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ndo wyznaczenia \\(b\\) po podstawieniu współrzędnych punktu \\(P\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(a = -4\\), czyli ten sam współczynnik co prosta dana - to prostą **równoległą**, nie prostopadłą |\n| C | Podobnie \\(a = -4\\) (błąd jak w A), a \\(b = 2\\) prawdopodobnie z błędnego podstawienia punktu do złego równania |\n| D | Poprawne \\(a = \\frac{1}{4}\\), ale błąd przy liczeniu \\(b\\): uczeń podstawia \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\) (odwrócone współrzędne punktu \\(P\\)) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}, y = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła ma współczynnik odwrotny i przeciwnego znaku: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(y\\). Łatwo pomylić i podstawić \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\), co daje błędne \\(b\\) (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(b\\) pamiętaj o kolejności działań: \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\), a nie \\(\\frac{2}{4}\\) czy \\(\\frac{1}{6}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt\nProstopadła do \\(y = -4x+1\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\nPrzechodzi przez \\(P = (\\tfrac{1}{2}, 0)\\):\n\\[0 = \\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} + b = \\tfrac{1}{8} + b \\Rightarrow b = -\\tfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi\n- B: \\(a=\\tfrac{1}{4}\\) ✓ prostopadła (\\(\\tfrac{1}{4}\\cdot(-4) = -1\\)). Punkt: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} - \\tfrac{1}{8} = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** \\(a = -4\\) - to ta sama (równoległa!) prosta, nie prostopadła.\n- **D.** Dobry \\(a\\), zły \\(b\\) - nie przechodzi przez \\(P\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie warunku prostopadłości i punktu przecięcia\n\n1. **Zrozumienie warunku prostopadłości:** Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachyleń wynosi -1.\n2. **Nachylenie prostej y = -4x + 1:** Nachylenie tej prostej to -4.\n3. **Nachylenie prostej y = ax + b:** Ponieważ nasza prosta jest prostopadła do tej z nachyleniem -4, jej nachylenie musi być 1/4. Zatem a = 1/4.\n4. **Wyznaczenie b:** Prosta przechodzi przez punkt P = (1, 0). Podstawiamy te współrzędne do równania y = (1/4)x + b:\n0 = (1/4)(1) + b\n0 = 1/4 + b\nb = -1/4\n5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do innej prostej\n\n1. **Wzór na prostą przechodzącą przez punkt:** Równanie prostej o równaniu y = ax + b przechodzącej przez punkt P(x₀, y₀) ma postać:\ny - y₀ = a(x - x₀)\n2. **Zastosowanie wzoru do naszego przypadku:** Prosta y = ax + b przechodzi przez P(1, 0), więc:\n0 - 0 = a(1 - 1)\n0 = a(0)\n0 = 0\n3. **Związek z prostopadłością:** Wiemy, że nasza prosta jest prostopadła do y = -4x + 1. Oznacza to, że nachylenie naszej prostej (a) musi być równy 1/4.\n4. **Podstawienie i wyznaczenie b:** Podstawiamy a = 1/4 do wzoru y - 0 = (1/4)(x - 1) => y = (1/4)x - 1/4. Z porównania z y = ax + b, widzimy, że a = 1/4 i b = -1/4.\n5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4.\n\n📖 Karta wzorów: [S.26] Logarytmy, strona 26\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. a = -4i b = 2:** Jeśli a = -4i, to nachylenie prostej y = -4ix + b będzie równe -4i, co nie jest równoważne prostopadłości do y = -4x + 1.\n* **C. a = -4i b = 2:** Podobnie jak w przypadku A, nachylenie prostej będzie nieprawidłowe.\n* **D. a = 1/4 i b = -1/4:** Jest to poprawna odpowiedź, ponieważ nachylenie prostej y = (1/4)x - 1/4 jest prostopadłe do y = -4x + 1 i przechodzi przez punkt P(1, 0).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Prosta o równaniu<br>b<br>ax<br>y<br>jest prostopadła do prostej o równaniu<br>4<br>1<br>y<br>x</p>\n<ul><li>i przechodzi</li></ul>\n<p>przez punkt<br>(<br>)<br>1<br>2 , 0<br>P =<br>, gdy<br>A.<br>4<br>a = -<br>i<br>2<br>b<br>B.<br>1<br>4<br>a =<br>i<br>1<br>8<br>b = -<br>C.<br>4<br>a = - i<br>2<br>b<br>D.<br>1<br>4<br>a =<br>i<br>1<br>2<br>b =</p>\n<p>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMA_1P<br>Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=-4x+1 i przechodzi przez punkt P =(1/2,0), gdy A. a=-4 i b=-2; B. a=1/4 i b=-1/8; C. a=-4 i b=2; D. a=1/4 i b=1/2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający wyznacza równanie prostej, która jest<br>równoległa lub prostopadła do prostej danej<br>w postaci kierunkowej i przechodzi przez<br>dany punkt (8.3).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości + podstawienie punktu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.</strong></p>\n<p>Mamy daną prostą o współczynniku kierunkowym \\(a_1 = -4\\).</p>\n<p>Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>\\[(-4) \\cdot a = -1\\]<br>\\[a = \\frac{-1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\) z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\).</strong></p>\n<p>Punkt \\(P\\) leży na prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie \\(y = \\frac{1}{4}x + b\\):<br>\\[0 = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} + b\\]<br>\\[0 = \\frac{1}{8} + b\\]<br>\\[b = -\\frac{1}{8}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> \\(a = \\dfrac{1}{4}\\) i \\(b = -\\dfrac{1}{8}\\) - odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez podstawienie)</h4>\n<p>Mając wynik z Metody 1, sprawdzamy, czy prosta \\(y = \\frac{1}{4}x - \\frac{1}{8}\\) spełnia oba warunki zadania.</p>\n<p><strong>Warunek 1: Prostopadłość do \\(y = -4x + 1\\)</strong><br>\\[\\frac{1}{4} \\cdot (-4) = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2: Przechodzenie przez punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\)</strong><br>\\[y = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{8} = \\frac{1}{8} - \\frac{1}{8} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego szukanej prostej.</p>\n<p>Oraz równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>do wyznaczenia \\(b\\) po podstawieniu współrzędnych punktu \\(P\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Wzięto \\(a = -4\\), czyli ten sam współczynnik co prosta dana - to prostą <strong>równoległą</strong>, nie prostopadłą |<br>| C | Podobnie \\(a = -4\\) (błąd jak w A), a \\(b = 2\\) prawdopodobnie z błędnego podstawienia punktu do złego równania |<br>| D | Poprawne \\(a = \\frac{1}{4}\\), ale błąd przy liczeniu \\(b\\): uczeń podstawia \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\) (odwrócone współrzędne punktu \\(P\\)) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}, y = 0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), <strong>nie</strong> \\(a_2 = -a_1\\). Prosta prostopadła ma współczynnik odwrotny i przeciwnego znaku: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(P = \\left(\\frac{1}{2}, 0\\right)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(y\\). Łatwo pomylić i podstawić \\(x = 0, y = \\frac{1}{2}\\), co daje błędne \\(b\\) (odpowiedź D).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(b\\) pamiętaj o kolejności działań: \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\), a nie \\(\\frac{2}{4}\\) czy \\(\\frac{1}{6}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt</h5>\n<p>Prostopadła do \\(y = -4x+1\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{1}{4}\\).</p>\n<p>Przechodzi przez \\(P = (\\tfrac{1}{2}, 0)\\):<br>\\[0 = \\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} + b = \\tfrac{1}{8} + b \\Rightarrow b = -\\tfrac{1}{8}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi</h5>\n<ul><li>B: \\(a=\\tfrac{1}{4}\\) ✓ prostopadła (\\(\\tfrac{1}{4}\\cdot(-4) = -1\\)). Punkt: \\(\\tfrac{1}{4}\\cdot\\tfrac{1}{2} - \\tfrac{1}{8} = 0\\) ✓</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C.</strong> \\(a = -4\\) - to ta sama (równoległa!) prosta, nie prostopadła.</li><li><strong>D.</strong> Dobry \\(a\\), zły \\(b\\) - nie przechodzi przez \\(P\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie warunku prostopadłości i punktu przecięcia</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie warunku prostopadłości:</strong> Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachyleń wynosi -1.</li><li><strong>Nachylenie prostej y = -4x + 1:</strong> Nachylenie tej prostej to -4.</li><li><strong>Nachylenie prostej y = ax + b:</strong> Ponieważ nasza prosta jest prostopadła do tej z nachyleniem -4, jej nachylenie musi być 1/4. Zatem a = 1/4.</li><li><strong>Wyznaczenie b:</strong> Prosta przechodzi przez punkt P = (1, 0). Podstawiamy te współrzędne do równania y = (1/4)x + b:</li></ol>\n<p>0 = (1/4)(1) + b<br>0 = 1/4 + b<br>b = -1/4</p>\n<ol><li><strong>Błąd w zadaniu:</strong> Zadanie miało na myśli, że <em>b</em> jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości <em>b</em> z podanych odpowiedzi, która odpowiada <em>a</em> = 1/4 i <em>b</em> = -1/4.</li></ol>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do innej prostej</h5>\n<ol><li><strong>Wzór na prostą przechodzącą przez punkt:</strong> Równanie prostej o równaniu y = ax + b przechodzącej przez punkt P(x₀, y₀) ma postać:</li></ol>\n<p>y - y₀ = a(x - x₀)</p>\n<ol><li><strong>Zastosowanie wzoru do naszego przypadku:</strong> Prosta y = ax + b przechodzi przez P(1, 0), więc:</li></ol>\n<p>0 - 0 = a(1 - 1)<br>0 = a(0)<br>0 = 0</p>\n<ol><li><strong>Związek z prostopadłością:</strong> Wiemy, że nasza prosta jest prostopadła do y = -4x + 1. Oznacza to, że nachylenie naszej prostej (a) musi być równy 1/4.</li><li><strong>Podstawienie i wyznaczenie b:</strong> Podstawiamy a = 1/4 do wzoru y - 0 = (1/4)(x - 1) =&gt; y = (1/4)x - 1/4. Z porównania z y = ax + b, widzimy, że a = 1/4 i b = -1/4.</li><li><strong>Błąd w zadaniu:</strong> Zadanie miało na myśli, że <em>b</em> jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości <em>b</em> z podanych odpowiedzi, która odpowiada <em>a</em> = 1/4 i <em>b</em> = -1/4.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: [S.26] Logarytmy, strona 26</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. a = -4i b = 2:</strong> Jeśli a = -4i, to nachylenie prostej y = -4ix + b będzie równe -4i, co nie jest równoważne prostopadłości do y = -4x + 1.</li><li><strong>C. a = -4i b = 2:</strong> Podobnie jak w przypadku A, nachylenie prostej będzie nieprawidłowe.</li><li><strong>D. a = 1/4 i b = -1/4:</strong> Jest to poprawna odpowiedź, ponieważ nachylenie prostej y = (1/4)x - 1/4 jest prostopadłe do y = -4x + 1 i przechodzi przez punkt P(1, 0).</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wyznaczamy współczynnik $a$ dla prostych prostopadłych $a \\cdot (-4) = -1$, stąd $a = \\small\\displaystyle\\frac{1}{4}$. Podstawiając punkt $P = (\\frac{1}{2}, 0)$ do równania $y = {\\small\\displaystyle\\frac{1}{4}}x + b$, otrzymujemy $b = -\\small\\displaystyle\\frac{1}{8}$.</p>"}]}