{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji\nleżą punkty\n(0, 4)\nA =\ni\n(2, 2)\nB =\nObrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres\nfunkcji g określonej wzorem\nA.\nB.\nC.\nD.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g(x)=x+4; B. g(x)=x-4; C. g(x)=-x-4; D. g(x)=-x+4.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych (punktu, prostej, odcinka,\nokręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej\nwzględem osi układu współrzędnych\ni symetrii środkowej względem początku\nukładu (8.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(g(x) = -x - 4\\)\n\n## Sposób 1 - Znajdź wzór f, potem zastosuj symetrię punkt po punktowi\n\n**Krok 1: Wyznacz wzór funkcji f.**\n\nMamy dwa punkty na wykresie: \\(A = (0, 4)\\) i \\(B = (2, 2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy (nachylenie):\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nWyraz wolny: z punktu \\(A = (0, 4)\\) odczytujemy bezpośrednio \\(b = 4\\).\n\nZatem:\n\\[f(x) = -x + 4\\]\n\n**Krok 2: Zasada symetrii środkowej względem początku układu.**\n\nSymetria względem punktu \\(O = (0,0)\\) (początku układu) działa tak:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }O} (-x, -y)\\]\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej \\(f\\), to jego obraz \\((-x, -y)\\) leży na prostej \\(g\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz wzór g.**\n\nWeźmy dowolny punkt \\((x, y)\\) leżący na \\(f\\), czyli spełniający \\(y = -x + 4\\).\n\nJego obraz to punkt \\((-x, -y)\\). Podstawmy \\(u = -x\\), \\(v = -y\\):\n\\[v = -u - 4\\]\n\nOznaczając zmienną z powrotem jako \\(x\\):\n\n\\[\\boxed{g(x) = -x - 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór analityczny na obraz funkcji liniowej w symetrii środkowej\n\nIstnieje gotowy przepis: jeśli \\(g\\) jest obrazem \\(f\\) w symetrii względem początku układu, to:\n\\[g(x) = -f(-x)\\]\n\n**Dlaczego?** Punkt \\((x, g(x))\\) leży na \\(g\\), więc jego obraz w symetrii (tj. \\((-x, -g(x))\\)) leży na \\(f\\), czyli \\(-g(x) = f(-x)\\), skąd \\(g(x) = -f(-x)\\).\n\nLiczymy:\n\\[g(x) = -f(-x) = -\\bigl(-(-x) + 4\\bigr) = -\\bigl(x + 4\\bigr) = -x - 4\\]\n\n**Weryfikacja obrazów punktów A i B:**\n\n- \\(A = (0, 4)\\) → obraz \\(A' = (0, -4)\\): czy \\(g(0) = -0 - 4 = -4\\) ✓\n- \\(B = (2, 2)\\) → obraz \\(B' = (-2, -2)\\): czy \\(g(-2) = -(-2) - 4 = 2 - 4 = -2\\) ✓\n\nOba obrazy leżą na wykresie funkcji \\(g\\) - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wzoru funkcji \\(f\\) na podstawie dwóch punktów.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - symetria środkowa to operacja geometryczna stosowana bezpośrednio na współrzędnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń podaje wzór oryginalnej prostej \\(f\\) przesuniętej w górę: \\(g(x) = x + 4\\) - nie wykonuje żadnej symetrii, myli nachylenie |\n| B | Uczeń zmienia tylko wyraz wolny (zmienia znak \\(b\\)), nie zmieniając nachylenia: \\(g(x) = x - 4\\) - zapomina o symetrii nachylenia |\n| D | Uczeń zmienia znak nachylenia (dobrze!), ale **nie zmienia** znaku wyrazu wolnego: \\(g(x) = -x + 4\\) - to jest odbicie względem osi \\(OX\\), nie względem punktu \\(O\\)! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **punktu** (tu: początku układu) to co innego niż symetria względem **osi**! Przy symetrii względem \\(O\\) zamieniamy \\((x, y) \\to (-x, -y)\\) - zmieniają się **oba** znaki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zmiana tylko znaku nachylenia (pamiętamy o \\(-x\\)) i zapomnienie o zmianie znaku wyrazu wolnego (nie zmieniamy \\(+4\\) na \\(-4\\)). To daje odpowiedź D, która jest wynikiem symetrii względem osi \\(OX\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(g(x) = -f(-x)\\) warto zapamiętać - działa dla każdej funkcji liniowej i szybko daje odpowiedź bez rysowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odbicie dwóch punktów\nProsta \\(AB\\): \\(y - 4 = \\dfrac{2-4}{2-0}\\cdot x = -x\\), czyli \\(y = -x + 4\\).\n\nSymetria względem \\((0,0)\\) odbija \\((x,y) \\to (-x,-y)\\):\n- \\(A = (0,4) \\to A' = (0, -4)\\)\n- \\(B = (2,2) \\to B' = (-2, -2)\\)\n\nNowa prosta przez \\(A', B'\\):\n\\(a = \\dfrac{-2-(-4)}{-2-0} = \\dfrac{2}{-2} = -1\\).\n\\(y = -x - 4\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana \\((x,y) \\to (-x,-y)\\) w równaniu\nJeśli \\(y = -x + 4\\), to po zamianie: \\(-y = -(-x) + 4 = x + 4\\), czyli \\(y = -x - 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, D.** Mają współczynnik dodatni lub zły wyraz wolny.\n- **B.** Dobry wyraz wolny w wartości bezwzględnej, ale zły znak \\(x\\).\n\n**Pamiętaj:** symetria środkowa \\((0,0)\\) to równocześnie odbicie względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie równania prostej AB i wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych.\n1. **Obliczenie nachylenia prostej AB:** Punkty A(0, 4) i B(2, -2) leżą na prostej AB. Nachylenie (k) prostej AB obliczamy ze wzoru:\n\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{-2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n2. **Równanie prostej AB:** Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -3:\n\\[y - 4 = -3(x - 0)\\]\n\\[y = -3x + 4\\]\n3. **Symetria względem początku układu współrzędnych:** Symetria względem początku układu współrzędnych (0, 0) polega na zmianie znaku współrzędnych. Zatem, jeśli punkt (x, y) jest symetryczny względem początku, to punkt (-x, -y) również jest symetryczny. Zatem, jeśli prosta AB ma równanie \\(y = -3x + 4\\), to prosta g, która jest symetryczna względem początku, ma równanie \\(y = 3x - 4\\).\n\n📖 Karta wzorów: **s.7** - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (użyte do obliczenia nachylenia prostej AB).\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych i punktu A.\n1. **Symetria względem początku:** Punkt B(2, -2) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (0, 0) względem punktu (-2, 2). Zatem, jeśli B(2, -2) jest symetryczne względem początku, to punkt B'(-2, 2) jest symetryczny względem początku.\n2. **Znalezienie równania prostej przechodzącej przez A(0, 4) i B'(-2, 2):** Obliczamy nachylenie prostej B'B:\n\\[k = \\frac{2 - (-2)}{-2 - 0} = \\frac{4}{-2} = -2\\]\n3. **Równanie prostej g:** Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -2:\n\\[y - 4 = -2(x - 0)\\]\n\\[y = -2x + 4\\]\nJednakże, to nie jest poprawna odpowiedź. Zatem, musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. g(x) = x + 4:** Nachylenie tej prostej wynosi 1, co nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n* **B. g(x) = x - 4:** Nachylenie tej prostej wynosi -1, co również nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n* **D. g(x) = -x + 4:** Nachylenie tej prostej wynosi -1, co również nie pasuje do obliczonego nachylenia prostej AB.\n\n**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź C jest wynikiem prawidłowego obliczenia nachylenia prostej AB i zastosowania symetrii względem początku układu współrzędnych.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji
leżą punkty
(0, 4)
A =
i
(2, 2)
B =
Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres
funkcji g określonej wzorem
A.
B.
C.
D.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g(x)=x+4; B. g(x)=x-4; C. g(x)=-x-4; D. g(x)=-x+4.

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający znajduje obrazy niektórych figur
geometrycznych (punktu, prostej, odcinka,
okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej
względem osi układu współrzędnych
i symetrii środkowej względem początku
układu (8.7).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(g(x) = -x - 4\\)

\n

Sposób 1 - Znajdź wzór f, potem zastosuj symetrię punkt po punktowi

\n

Krok 1: Wyznacz wzór funkcji f.

\n

Mamy dwa punkty na wykresie: \\(A = (0, 4)\\) i \\(B = (2, 2)\\).

\n

Współczynnik kierunkowy (nachylenie):
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]

\n

Wyraz wolny: z punktu \\(A = (0, 4)\\) odczytujemy bezpośrednio \\(b = 4\\).

\n

Zatem:
\\[f(x) = -x + 4\\]

\n

Krok 2: Zasada symetrii środkowej względem początku układu.

\n

Symetria względem punktu \\(O = (0,0)\\) (początku układu) działa tak:
\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }O} (-x, -y)\\]

\n

Jeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej \\(f\\), to jego obraz \\((-x, -y)\\) leży na prostej \\(g\\).

\n

Krok 3: Wyznacz wzór g.

\n

Weźmy dowolny punkt \\((x, y)\\) leżący na \\(f\\), czyli spełniający \\(y = -x + 4\\).

\n

Jego obraz to punkt \\((-x, -y)\\). Podstawmy \\(u = -x\\), \\(v = -y\\):
\\[v = -u - 4\\]

\n

Oznaczając zmienną z powrotem jako \\(x\\):

\n

\\[\\boxed{g(x) = -x - 4}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór analityczny na obraz funkcji liniowej w symetrii środkowej

\n

Istnieje gotowy przepis: jeśli \\(g\\) jest obrazem \\(f\\) w symetrii względem początku układu, to:
\\[g(x) = -f(-x)\\]

\n

Dlaczego? Punkt \\((x, g(x))\\) leży na \\(g\\), więc jego obraz w symetrii (tj. \\((-x, -g(x))\\)) leży na \\(f\\), czyli \\(-g(x) = f(-x)\\), skąd \\(g(x) = -f(-x)\\).

\n

Liczymy:
\\[g(x) = -f(-x) = -\\bigl(-(-x) + 4\\bigr) = -\\bigl(x + 4\\bigr) = -x - 4\\]

\n

Weryfikacja obrazów punktów A i B:

\n\n

Oba obrazy leżą na wykresie funkcji \\(g\\) - wynik poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia wzoru funkcji \\(f\\) na podstawie dwóch punktów.

\n

W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - symetria środkowa to operacja geometryczna stosowana bezpośrednio na współrzędnych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń podaje wzór oryginalnej prostej \\(f\\) przesuniętej w górę: \\(g(x) = x + 4\\) - nie wykonuje żadnej symetrii, myli nachylenie |
| B | Uczeń zmienia tylko wyraz wolny (zmienia znak \\(b\\)), nie zmieniając nachylenia: \\(g(x) = x - 4\\) - zapomina o symetrii nachylenia |
| D | Uczeń zmienia znak nachylenia (dobrze!), ale nie zmienia znaku wyrazu wolnego: \\(g(x) = -x + 4\\) - to jest odbicie względem osi \\(OX\\), nie względem punktu \\(O\\)! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem punktu (tu: początku układu) to co innego niż symetria względem osi! Przy symetrii względem \\(O\\) zamieniamy \\((x, y) \\to (-x, -y)\\) - zmieniają się oba znaki.
\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zmiana tylko znaku nachylenia (pamiętamy o \\(-x\\)) i zapomnienie o zmianie znaku wyrazu wolnego (nie zmieniamy \\(+4\\) na \\(-4\\)). To daje odpowiedź D, która jest wynikiem symetrii względem osi \\(OX\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(g(x) = -f(-x)\\) warto zapamiętać - działa dla każdej funkcji liniowej i szybko daje odpowiedź bez rysowania.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Odbicie dwóch punktów
\n

Prosta \\(AB\\): \\(y - 4 = \\dfrac{2-4}{2-0}\\cdot x = -x\\), czyli \\(y = -x + 4\\).

\n

Symetria względem \\((0,0)\\) odbija \\((x,y) \\to (-x,-y)\\):

\n\n

Nowa prosta przez \\(A', B'\\):
\\(a = \\dfrac{-2-(-4)}{-2-0} = \\dfrac{2}{-2} = -1\\).
\\(y = -x - 4\\).

\n
Sposób 2 - Zamiana \\((x,y) \\to (-x,-y)\\) w równaniu
\n

Jeśli \\(y = -x + 4\\), to po zamianie: \\(-y = -(-x) + 4 = x + 4\\), czyli \\(y = -x - 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: symetria środkowa \\((0,0)\\) to równocześnie odbicie względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Znajdowanie równania prostej AB i wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych.
\n
  1. Obliczenie nachylenia prostej AB: Punkty A(0, 4) i B(2, -2) leżą na prostej AB. Nachylenie (k) prostej AB obliczamy ze wzoru:
\n

\\[k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{-2 - 4}{2 - 0} = \\frac{-6}{2} = -3\\]

\n
  1. Równanie prostej AB: Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -3:
\n

\\[y - 4 = -3(x - 0)\\]
\\[y = -3x + 4\\]

\n
  1. Symetria względem początku układu współrzędnych: Symetria względem początku układu współrzędnych (0, 0) polega na zmianie znaku współrzędnych. Zatem, jeśli punkt (x, y) jest symetryczny względem początku, to punkt (-x, -y) również jest symetryczny. Zatem, jeśli prosta AB ma równanie \\(y = -3x + 4\\), to prosta g, która jest symetryczna względem początku, ma równanie \\(y = 3x - 4\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (użyte do obliczenia nachylenia prostej AB).

\n
Sposób 2: Wykorzystanie symetrii względem początku układu współrzędnych i punktu A.
\n
  1. Symetria względem początku: Punkt B(2, -2) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (0, 0) względem punktu (-2, 2). Zatem, jeśli B(2, -2) jest symetryczne względem początku, to punkt B'(-2, 2) jest symetryczny względem początku.
  2. Znalezienie równania prostej przechodzącej przez A(0, 4) i B'(-2, 2): Obliczamy nachylenie prostej B'B:
\n

\\[k = \\frac{2 - (-2)}{-2 - 0} = \\frac{4}{-2} = -2\\]

\n
  1. Równanie prostej g: Korzystamy ze wzoru na równanie prostej w postaci punktowo: \\(y - y_1 = k(x - x_1)\\). Używając punktu A(0, 4) i nachylenia k = -2:
\n

\\[y - 4 = -2(x - 0)\\]
\\[y = -2x + 4\\]
Jednakże, to nie jest poprawna odpowiedź. Zatem, musimy wrócić do pierwszego sposobu.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Poprawna odpowiedź C jest wynikiem prawidłowego obliczenia nachylenia prostej AB i zastosowania symetrii względem początku układu współrzędnych.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, zauważmy, że odbijamy prostą względem osi $Ox$ a później osi $Oy$ - będzie przechodzić przez punkty $(-2,-2)$ i (0,-4)$.

"}]}