{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba naturalna\n14\n15\n2\n5\n⋅\nn\nw zapisie dziesiętnym ma\nA. 14 cyfr\nB. 15 cyfr\nC. 16 cyfr\nD. 30 cyfr\nLiczba naturalna n = 2^{14} ⋅ 5^{15} w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr, B. 15 cyfr, C. 16 cyfr, D. 30 cyfr.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych (1.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 15 cyfr\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgę 10\n\nKluczowa obserwacja: liczba \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\) zawiera zarówno czynniki 2, jak i 5. Para \\(2 \\cdot 5 = 10\\), więc możemy \"skleić\" tyle par, ile się da.\n\nMamy \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\). Czynnik 2 mamy 14 razy, czynnik 5 mamy 15 razy - zatem możemy skleić **14 par** \\((2 \\cdot 5)\\):\n\n\\[2^{14} \\cdot 5^{15} = 2^{14} \\cdot 5^{14} \\cdot 5^1 = (2 \\cdot 5)^{14} \\cdot 5 = 10^{14} \\cdot 5\\]\n\nTeraz obliczamy:\n\n\\[10^{14} \\cdot 5 = 5 \\underbrace{00\\ldots0}_{14} = 50\\,000\\,000\\,000\\,000\\,0\\]\n\nCzyli jest to liczba **5** z czternastoma zerami - razem **15 cyfr**.\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Sposób 2 - Przez liczbę cyfr a logarytm\n\nLiczba cyfr liczby \\(N > 0\\) w zapisie dziesiętnym to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\).\n\nObliczamy \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\):\n\n\\[\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15}) = 14\\log_{10} 2 + 15\\log_{10} 5\\]\n\nKorzystamy z tego, że \\(\\log_{10} 2 + \\log_{10} 5 = \\log_{10} 10 = 1\\), czyli \\(\\log_{10} 5 = 1 - \\log_{10} 2\\):\n\n\\[= 14\\log_{10} 2 + 15(1 - \\log_{10} 2) = 14\\log_{10} 2 + 15 - 15\\log_{10} 2\\]\n\n\\[= 15 - \\log_{10} 2\\]\n\nPonieważ \\(\\log_{10} 2 \\approx 0{,}301\\):\n\n\\[15 - 0{,}301 = 14{,}699\\]\n\nLiczba cyfr to \\(\\lfloor 14{,}699 \\rfloor + 1 = 14 + 1 = \\mathbf{15}\\).\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y, \\qquad \\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozbicia \\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5^1\\) i sklejenia \\(2^{14} \\cdot 5^{14} = 10^{14}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(14\\) cyfr) | Uczeń \"skleja\" wszystkie czynniki 2 z 5 i liczy \\(10^{14}\\) - ale zapomina o **pozostałej piątce** (\\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5\\)), co daje \\(10^{14} \\cdot 5\\), a nie \\(10^{14}\\) |\n| C (\\(16\\) cyfr) | Uczeń błędnie liczy \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\) jako \\(15 + 1 = 16\\), zamieniając wartość logarytmu na liczbę cyfr wprost |\n| D (\\(30\\) cyfr) | Uczeń po prostu dodaje wykładniki: \\(14 + 15 = 30\\) i myśli, że to liczba cyfr - to błąd, bo \\(2^{14} \\cdot 5^{15} \\neq 10^{29}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź A - uczeń \"widzi\" \\(10^{14}\\) i mówi \"14 cyfr\". Pamiętaj: \\(10^{14}\\) ma **15** cyfr (jedynka i 14 zer)! A my mamy jeszcze czynnik 5, więc \\(10^{14} \\cdot 5 = 5\\underbrace{00\\ldots0}_{14}\\) - też 15 cyfr.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodawaj wykładników \\(14 + 15\\) na ślepo - to nie daje liczby cyfr. Wzór \\(2^a \\cdot 5^b\\) ma tyle cyfr co \\(\\min(a,b)\\) par plus \"reszta\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że liczba cyfr to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\), a **nie** sam logarytm. Np. \\(\\log_{10} 100 = 2\\), ale 100 ma 3 cyfry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie \\(10^{14}\\)\n\\[n = 2^{14}\\cdot 5^{15} = 2^{14}\\cdot 5^{14}\\cdot 5 = (2\\cdot 5)^{14}\\cdot 5 = 10^{14}\\cdot 5 = 5\\cdot 10^{14}.\\]\nLiczba \\(5\\cdot 10^{14}\\) w zapisie dziesiętnym to \\(5\\) i \\(14\\) zer - razem \\(15\\) cyfr.\n\n### Sposób 2 - Rząd wielkości\n\\(10^{14} \\le n < 10^{15}\\), więc \\(n\\) ma dokładnie \\(15\\) cyfr.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - liczba \\(5 \\cdot 10^{14}\\) ma \\(15\\) cyfr, nie \\(14\\) (zapomniano o samej \"5\").\n- **C. \\(16\\)** - byłoby gdyby \\(n = 10^{15}\\), ale \\(n = 5\\cdot 10^{14} < 10^{15}\\).\n- **D. \\(30\\)** - ktoś dodał liczbę cyfr \\(2^{14}\\) i \\(5^{15}\\) niezwiązanie z samą liczbą \\(n\\).\n\n**Kluczowe:** \\(2\\cdot 5 = 10\\), więc każda para \\((2,5)\\) daje \"zero na końcu\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nTen sposób opiera się na rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i zliczeniu cyfr w każdym czynniku.\n\n1. **Rozkład liczby:**\n\\(n = 214 \\cdot 515\\)\nNajpierw rozkładamy 214: 214 = 2 * 107\nNastępnie rozkładamy 515: 515 = 5 * 103\nZatem: \\(n = (2 \\cdot 107) \\cdot (5 \\cdot 103) = 2 \\cdot 5 \\cdot 107 \\cdot 103\\)\n\n2. **Zliczenie cyfr:**\n* 2: 1 cyfra\n* 5: 1 cyfra\n* 107: 3 cyfry\n* 103: 3 cyfry\nŁączna liczba cyfr to: 1 + 1 + 3 + 3 = 8 cyfr. To jest błąd w treści zadania. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 2140, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Sposób 2: Obliczenie wartości liczby\nTen sposób polega na obliczeniu wartości liczby \\(n = 214 \\cdot 515\\) i zliczeniu cyfr w wyniku.\n\n1. **Obliczenie:**\n\\(214 \\cdot 515 = 214 \\cdot (500 + 15) = 214 \\cdot 500 + 214 \\cdot 15 = 107000 + 214 \\cdot (10 + 5) = 107000 + 2140 + 1070 = 107000 + 3210 = 110210\\)\n\n2. **Zliczenie cyfr:**\nLiczba 110210 ma 6 cyfr. To również jest błąd. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 214000, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.\n\n📖 Karta wzorów: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 30\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 14 cyfr:** Wynik \\(214 \\cdot 515 = 110210\\) ma 6 cyfr, a nie 14.\n* **C. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, wynik ma zbyt mało cyfr.\n* **D. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, wynik ma zbyt mało cyfr.\n\n**Krótko wyjaśnienie błędów w treści zadania:** Zadanie zostało sformułowane w sposób, który prowadzi do błędnego wyniku. Wartość \\(214 \\cdot 515\\) daje liczbę 110210, która ma 6 cyfr, a nie 14. Aby zadanie było poprawne, trzeba by zmienić wartość jednego z czynników, aby liczba miała 14 cyfr. Np. \\(2140 \\cdot 515 = 1100000 - 2140 \\cdot 515\\)","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Liczba naturalna<br>14<br>15<br>2<br>5<br>⋅<br>n<br>w zapisie dziesiętnym ma<br>A. 14 cyfr<br>B. 15 cyfr<br>C. 16 cyfr<br>D. 30 cyfr<br>Liczba naturalna n = 2^{14} ⋅ 5^{15} w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr, B. 15 cyfr, C. 16 cyfr, D. 30 cyfr.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi</li></ol>\n<p>o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa<br>działań na potęgach o wykładnikach<br>wymiernych (1.4).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - 15 cyfr</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana na potęgę 10</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: liczba \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\) zawiera zarówno czynniki 2, jak i 5. Para \\(2 \\cdot 5 = 10\\), więc możemy &quot;skleić&quot; tyle par, ile się da.</p>\n<p>Mamy \\(2^{14} \\cdot 5^{15}\\). Czynnik 2 mamy 14 razy, czynnik 5 mamy 15 razy - zatem możemy skleić <strong>14 par</strong> \\((2 \\cdot 5)\\):</p>\n<p>\\[2^{14} \\cdot 5^{15} = 2^{14} \\cdot 5^{14} \\cdot 5^1 = (2 \\cdot 5)^{14} \\cdot 5 = 10^{14} \\cdot 5\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy:</p>\n<p>\\[10^{14} \\cdot 5 = 5 \\underbrace{00\\ldots0}_{14} = 50\\,000\\,000\\,000\\,000\\,0\\]</p>\n<p>Czyli jest to liczba <strong>5</strong> z czternastoma zerami - razem <strong>15 cyfr</strong>.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez liczbę cyfr a logarytm</h4>\n<p>Liczba cyfr liczby \\(N &gt; 0\\) w zapisie dziesiętnym to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\).</p>\n<p>Obliczamy \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\):</p>\n<p>\\[\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15}) = 14\\log_{10} 2 + 15\\log_{10} 5\\]</p>\n<p>Korzystamy z tego, że \\(\\log_{10} 2 + \\log_{10} 5 = \\log_{10} 10 = 1\\), czyli \\(\\log_{10} 5 = 1 - \\log_{10} 2\\):</p>\n<p>\\[= 14\\log_{10} 2 + 15(1 - \\log_{10} 2) = 14\\log_{10} 2 + 15 - 15\\log_{10} 2\\]</p>\n<p>\\[= 15 - \\log_{10} 2\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\log_{10} 2 \\approx 0{,}301\\):</p>\n<p>\\[15 - 0{,}301 = 14{,}699\\]</p>\n<p>Liczba cyfr to \\(\\lfloor 14{,}699 \\rfloor + 1 = 14 + 1 = \\mathbf{15}\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):</strong><br>\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y, \\qquad \\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\log_{10}(2^{14} \\cdot 5^{15})\\).</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):</strong><br>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do rozbicia \\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5^1\\) i sklejenia \\(2^{14} \\cdot 5^{14} = 10^{14}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(14\\) cyfr) | Uczeń &quot;skleja&quot; wszystkie czynniki 2 z 5 i liczy \\(10^{14}\\) - ale zapomina o <strong>pozostałej piątce</strong> (\\(5^{15} = 5^{14} \\cdot 5\\)), co daje \\(10^{14} \\cdot 5\\), a nie \\(10^{14}\\) |<br>| C (\\(16\\) cyfr) | Uczeń błędnie liczy \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\) jako \\(15 + 1 = 16\\), zamieniając wartość logarytmu na liczbę cyfr wprost |<br>| D (\\(30\\) cyfr) | Uczeń po prostu dodaje wykładniki: \\(14 + 15 = 30\\) i myśli, że to liczba cyfr - to błąd, bo \\(2^{14} \\cdot 5^{15} \\neq 10^{29}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to odpowiedź A - uczeń &quot;widzi&quot; \\(10^{14}\\) i mówi &quot;14 cyfr&quot;. Pamiętaj: \\(10^{14}\\) ma <strong>15</strong> cyfr (jedynka i 14 zer)! A my mamy jeszcze czynnik 5, więc \\(10^{14} \\cdot 5 = 5\\underbrace{00\\ldots0}_{14}\\) - też 15 cyfr.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie dodawaj wykładników \\(14 + 15\\) na ślepo - to nie daje liczby cyfr. Wzór \\(2^a \\cdot 5^b\\) ma tyle cyfr co \\(\\min(a,b)\\) par plus &quot;reszta&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 pamiętaj, że liczba cyfr to \\(\\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1\\), a <strong>nie</strong> sam logarytm. Np. \\(\\log_{10} 100 = 2\\), ale 100 ma 3 cyfry.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyłączenie \\(10^{14}\\)</h5>\n<p>\\[n = 2^{14}\\cdot 5^{15} = 2^{14}\\cdot 5^{14}\\cdot 5 = (2\\cdot 5)^{14}\\cdot 5 = 10^{14}\\cdot 5 = 5\\cdot 10^{14}.\\]<br>Liczba \\(5\\cdot 10^{14}\\) w zapisie dziesiętnym to \\(5\\) i \\(14\\) zer - razem \\(15\\) cyfr.</p>\n<h5>Sposób 2 - Rząd wielkości</h5>\n<p>\\(10^{14} \\le n &lt; 10^{15}\\), więc \\(n\\) ma dokładnie \\(15\\) cyfr.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(14\\)</strong> - liczba \\(5 \\cdot 10^{14}\\) ma \\(15\\) cyfr, nie \\(14\\) (zapomniano o samej &quot;5&quot;).</li><li><strong>C. \\(16\\)</strong> - byłoby gdyby \\(n = 10^{15}\\), ale \\(n = 5\\cdot 10^{14} &lt; 10^{15}\\).</li><li><strong>D. \\(30\\)</strong> - ktoś dodał liczbę cyfr \\(2^{14}\\) i \\(5^{15}\\) niezwiązanie z samą liczbą \\(n\\).</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> \\(2\\cdot 5 = 10\\), więc każda para \\((2,5)\\) daje &quot;zero na końcu&quot;.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozkład na czynniki</h5>\n<p>Ten sposób opiera się na rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i zliczeniu cyfr w każdym czynniku.</p>\n<ol><li><strong>Rozkład liczby:</strong></li></ol>\n<p>\\(n = 214 \\cdot 515\\)<br>Najpierw rozkładamy 214: 214 = 2 * 107<br>Następnie rozkładamy 515: 515 = 5 * 103<br>Zatem: \\(n = (2 \\cdot 107) \\cdot (5 \\cdot 103) = 2 \\cdot 5 \\cdot 107 \\cdot 103\\)</p>\n<ol><li><strong>Zliczenie cyfr:</strong></li></ol>\n<ul><li>2: 1 cyfra</li><li>5: 1 cyfra</li><li>107: 3 cyfry</li><li>103: 3 cyfry</li></ul>\n<p>Łączna liczba cyfr to: 1 + 1 + 3 + 3 = 8 cyfr. To jest błąd w treści zadania. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 2140, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13</p>\n<h5>Sposób 2: Obliczenie wartości liczby</h5>\n<p>Ten sposób polega na obliczeniu wartości liczby \\(n = 214 \\cdot 515\\) i zliczeniu cyfr w wyniku.</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie:</strong></li></ol>\n<p>\\(214 \\cdot 515 = 214 \\cdot (500 + 15) = 214 \\cdot 500 + 214 \\cdot 15 = 107000 + 214 \\cdot (10 + 5) = 107000 + 2140 + 1070 = 107000 + 3210 = 110210\\)</p>\n<ol><li><strong>Zliczenie cyfr:</strong></li></ol>\n<p>Liczba 110210 ma 6 cyfr. To również jest błąd. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 214000, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 30</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 14 cyfr:</strong> Wynik \\(214 \\cdot 515 = 110210\\) ma 6 cyfr, a nie 14.</li><li><strong>C. (liczba) cyfr:</strong> Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, wynik ma zbyt mało cyfr.</li><li><strong>D. (liczba) cyfr:</strong> Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, wynik ma zbyt mało cyfr.</li></ul>\n<p><strong>Krótko wyjaśnienie błędów w treści zadania:</strong> Zadanie zostało sformułowane w sposób, który prowadzi do błędnego wyniku. Wartość \\(214 \\cdot 515\\) daje liczbę 110210, która ma 6 cyfr, a nie 14. Aby zadanie było poprawne, trzeba by zmienić wartość jednego z czynników, aby liczba miała 14 cyfr. Np. \\(2140 \\cdot 515 = 1100000 - 2140 \\cdot 515\\)</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, liczbę $n = 2^{14} \\cdot 5^{15}$ można zapisać jako $2^{14} \\cdot5^{14}\\cdot5^1$, co daje $10^{14} \\cdot 5^1 = 5 \\cdot 10^{14}$, więc z pewnością ma $15$ cyfr.</p>"}]}