{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDane są punkty o współrzędnych\n(\n)\n2, 5\nA = -\noraz\n(\n)\n4,\n1\nB =\n. Średnica okręgu wpisanego\nw kwadrat o boku AB jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 6 2\nD. 2 6\nDane są punkty o współrzędnych A=(-2,5) oraz B=(4,-1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12; B. 6; C. 6√2; D. 2√6.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległość dwóch punktów (8.6).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Długość odcinka AB jako bok kwadratu\n\n**Krok 1: Oblicz długość boku kwadratu.**\n\nBok kwadratu to odcinek \\(AB\\), gdzie \\(A = (-2, 5)\\), \\(B = (4, -1)\\).\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.**\n\nOkrąg wpisany w kwadrat dotyka każdego boku dokładnie w jego środku. Dlatego:\n- **promień** okręgu wpisanego \\(= \\frac{\\text{bok}}{2}\\)\n- **średnica** okręgu wpisanego \\(= \\text{bok kwadratu}\\)\n\n\\[\\text{średnica} = |AB| = 6\\sqrt{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na składowe różnicy jako sygnał symetrii\n\nObliczmy osobno rzuty odcinka \\(AB\\) na osie:\n\n\\[\\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6\\]\n\\[\\Delta y = y_B - y_A = -1 - 5 = -6\\]\n\n**Uwaga:** \\(|\\Delta x| = |\\Delta y| = 6\\), czyli odcinek \\(AB\\) jest nachylony pod kątem \\(45°\\) do osi \\(OX\\). To nie zmienia długości obliczonej wzorem na odległość:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]\n\nOkrąg wpisany w kwadrat o boku \\(a\\) ma średnicę równą \\(a\\), zatem:\n\n\\[\\text{średnica} = 6\\sqrt{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości boku kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(12\\) | Uczeń policzył \\(|\\Delta x| + |\\Delta y| = 6 + 6 = 12\\) - dodał składowe zamiast użyć wzoru Pitagorasa. To nie jest długość odcinka. |\n| B: \\(6\\) | Uczeń wziął tylko jedną składową (\\(\\Delta x = 6\\) lub \\(|\\Delta y| = 6\\)) jako długość boku - zignorował drugą współrzędną. |\n| D: \\(2\\sqrt{6}\\) | Błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{72}\\): uczeń rozkłada jako \\(\\sqrt{4 \\cdot 18} = 2\\sqrt{18}\\) i dalej myli \\(\\sqrt{18} = \\sqrt{3 \\cdot 6}\\) zamiast \\(\\sqrt{9 \\cdot 2} = 3\\sqrt{2}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość odcinka to **nie** suma różnic współrzędnych, tylko pierwiastek z sumy ich kwadratów - zawsze Pitagoras!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnica okręgu **wpisanego** w kwadrat = bok kwadratu (nie przekątna!). Przekątna wyniosłaby \\(6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 12\\) - to odpowiedź A, typowa pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{72}\\) - rozkładaj na \\(\\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\), nie szukaj innych rozkładów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Długość \\(AB\\) + wzór na okrąg wpisany\n\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2}\\).\n\nŚrednica okręgu wpisanego w kwadrat = bok kwadratu:\n\\[d = |AB| = 6\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność okręgu wpisanego w kwadrat\nW kwadracie o boku \\(a\\) okrąg wpisany ma promień \\(\\tfrac{a}{2}\\), czyli średnicę \\(a\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - być może pomylono z innym wymiarem.\n- **B. \\(6\\)** - bez pierwiastka.\n- **D. \\(2\\sqrt{6}\\)** - błędnie wyciągnięta reszta z \\(6\\sqrt{2}\\).\n\n**Kluczowe:** w kwadracie \\(a\\times a\\): okrąg wpisany ma średnicę \\(a\\), okrąg opisany ma średnicę \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości odcinka AB i wykorzystanie wzoru na średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.\n\\[\nAB = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\n\\]\nŚrednica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB wynosi równa długości boku kwadratu. Zatem średnica okręgu wynosi \\(6\\sqrt{2}\\). Ponieważ pole okręgu to \\( \\pi r^2 \\) i w zadaniu pytamy o długość średnicy, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ABC i wykorzystanie wzoru na pole trójkąta w okręgu.\nTrójkąt ABC ma wierzchołki A=(-2, 5), B=(4, -1) i środek okręgu wpisanego w kwadrat jest środkiem trójkąta ABC. Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c jest obliczany ze wzoru:\n\n\\[\nO = \\frac{a \\cdot A + b \\cdot B + c \\cdot C}{a+b+c}\n\\]\n\nW naszym przypadku, a = AB = \\(6\\sqrt{2}\\), b = BC, c = AC. Obliczenie długości BC i AC jest trudne, więc ten sposób jest mniej efektywny. Zamiast tego, zauważamy, że średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15 - ten wzór jest użyteczny do obliczenia długości AC, ale nie jest to najprostszy sposób.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). Zatem, to nie jest poprawna odpowiedź.\nB. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.\nC. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). To jest poprawna odpowiedź.\nD. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Dane są punkty o współrzędnych
(
)
2, 5
A = -
oraz
(
)
4,
1
B =
. Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa
A. 12
B. 6
C. 6 2
D. 2 6
Dane są punkty o współrzędnych A=(-2,5) oraz B=(4,-1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12; B. 6; C. 6√2; D. 2√6.

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający oblicza odległość dwóch punktów (8.6).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób 1 - Długość odcinka AB jako bok kwadratu

\n

Krok 1: Oblicz długość boku kwadratu.

\n

Bok kwadratu to odcinek \\(AB\\), gdzie \\(A = (-2, 5)\\), \\(B = (4, -1)\\).

\n

\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
\\[|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72}\\]
\\[|AB| = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Krok 2: Wyznacz średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.

\n

Okrąg wpisany w kwadrat dotyka każdego boku dokładnie w jego środku. Dlatego:

\n\n

\\[\\text{średnica} = |AB| = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na składowe różnicy jako sygnał symetrii

\n

Obliczmy osobno rzuty odcinka \\(AB\\) na osie:

\n

\\[\\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6\\]
\\[\\Delta y = y_B - y_A = -1 - 5 = -6\\]

\n

Uwaga: \\(|\\Delta x| = |\\Delta y| = 6\\), czyli odcinek \\(AB\\) jest nachylony pod kątem \\(45°\\) do osi \\(OX\\). To nie zmienia długości obliczonej wzorem na odległość:

\n

\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + 6^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Okrąg wpisany w kwadrat o boku \\(a\\) ma średnicę równą \\(a\\), zatem:

\n

\\[\\text{średnica} = 6\\sqrt{2}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości boku kwadratu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(12\\) | Uczeń policzył \\(|\\Delta x| + |\\Delta y| = 6 + 6 = 12\\) - dodał składowe zamiast użyć wzoru Pitagorasa. To nie jest długość odcinka. |
| B: \\(6\\) | Uczeń wziął tylko jedną składową (\\(\\Delta x = 6\\) lub \\(|\\Delta y| = 6\\)) jako długość boku - zignorował drugą współrzędną. |
| D: \\(2\\sqrt{6}\\) | Błąd w obliczeniu \\(\\sqrt{72}\\): uczeń rozkłada jako \\(\\sqrt{4 \\cdot 18} = 2\\sqrt{18}\\) i dalej myli \\(\\sqrt{18} = \\sqrt{3 \\cdot 6}\\) zamiast \\(\\sqrt{9 \\cdot 2} = 3\\sqrt{2}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Długość odcinka to nie suma różnic współrzędnych, tylko pierwiastek z sumy ich kwadratów - zawsze Pitagoras!
\n
⚠️ Uwaga: Średnica okręgu wpisanego w kwadrat = bok kwadratu (nie przekątna!). Przekątna wyniosłaby \\(6\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} = 12\\) - to odpowiedź A, typowa pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{72}\\) - rozkładaj na \\(\\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\\), nie szukaj innych rozkładów.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Długość \\(AB\\) + wzór na okrąg wpisany
\n

\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2}\\).

\n

Średnica okręgu wpisanego w kwadrat = bok kwadratu:
\\[d = |AB| = 6\\sqrt{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Własność okręgu wpisanego w kwadrat
\n

W kwadracie o boku \\(a\\) okrąg wpisany ma promień \\(\\tfrac{a}{2}\\), czyli średnicę \\(a\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe: w kwadracie \\(a\\times a\\): okrąg wpisany ma średnicę \\(a\\), okrąg opisany ma średnicę \\(a\\sqrt{2}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie długości odcinka AB i wykorzystanie wzoru na średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.
\n

\\[
AB = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-6)^2} = \\sqrt{36 + 36} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}
\\]
Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB wynosi równa długości boku kwadratu. Zatem średnica okręgu wynosi \\(6\\sqrt{2}\\). Ponieważ pole okręgu to \\( \\pi r^2 \\) i w zadaniu pytamy o długość średnicy, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.

\n

📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22

\n
Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ABC i wykorzystanie wzoru na pole trójkąta w okręgu.
\n

Trójkąt ABC ma wierzchołki A=(-2, 5), B=(4, -1) i środek okręgu wpisanego w kwadrat jest środkiem trójkąta ABC. Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c jest obliczany ze wzoru:

\n

\\[
O = \\frac{a \\cdot A + b \\cdot B + c \\cdot C}{a+b+c}
\\]

\n

W naszym przypadku, a = AB = \\(6\\sqrt{2}\\), b = BC, c = AC. Obliczenie długości BC i AC jest trudne, więc ten sposób jest mniej efektywny. Zamiast tego, zauważamy, że średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15 - ten wzór jest użyteczny do obliczenia długości AC, ale nie jest to najprostszy sposób.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

A. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). Zatem, to nie jest poprawna odpowiedź.
B. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.
C. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \\(6\\sqrt{2}\\). To jest poprawna odpowiedź.
D. Długość AB wynosi \\(6\\sqrt{2}\\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, długość odcinka $AB$ obliczamy jako $\\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}$. Okrąg wpisany w kwadrat ma średnicę równą długości boku, więc jest to $6\\sqrt{2}$.

"}]}