{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).\nPrzekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm - równa\nA. 5,83 dm\nB. 6,16 dm\nC. 3,61 dm\nD. 5,39 dm\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nB\n0\nA\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n2 dm\n3 dm\nL\nK\n5 dm\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nPudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5dm × 3dm × 2dm (zobacz rysunek). Przekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm -- równa A. 5,83 dm; B. 6,16 dm; C. 3,61 dm; D. 5,39 dm.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą\njest dany przekrój prostopadłościanu\npłaszczyzną (9.5).\nG10. Figury płaskie. Zdający stosuje\ntwierdzenie Pitagorasa (G10.7).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(6{,}16\\,\\text{dm}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\nProstopadłościan ma wymiary \\(a = 5\\,\\text{dm}\\), \\(b = 3\\,\\text{dm}\\), \\(c = 2\\,\\text{dm}\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.**\n\nPodstawa to prostokąt o bokach \\(a = 5\\) i \\(b = 3\\). Jej przekątna \\(d_p\\) (z twierdzenia Pitagorasa):\n\\[d_p^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jeszcze raz** - teraz w trójkącie prostokątnym o podstawie \\(d_p\\) i wysokości \\(c = 2\\):\n\\[|KL|^2 = d_p^2 + c^2 = 34 + 2^2 = 34 + 4 = 38\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy długość przekątnej:**\n\\[|KL| = \\sqrt{38} \\approx 6{,}1644\\ldots \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośredni wzór na przekątną prostopadłościanu\n\nWzór wyprowadzamy od razu dla trzech wymiarów:\n\\[|KL| = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 5\\), \\(b = 3\\), \\(c = 2\\):\n\\[|KL| = \\sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38}\\]\n\nSprawdzamy na kalkulatorze (lub szacujemy: \\(6^2 = 36\\), \\(6{,}2^2 = 38{,}44\\), więc \\(\\sqrt{38}\\) jest między 6 a 6,2 - bliżej 6,16):\n\\[\\sqrt{38} \\approx 6{,}1644 \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **odpowiedź B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - prostopadłościan:\n\nKarta podaje pole i objętość prostopadłościanu, ale **nie podaje wprost wzoru na przekątną**. Wyprowadzamy go sami z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(trójkąt prostokątny)}\\]\n\nStosujemy dwukrotnie:\n1. Przekątna podstawy: \\(d_p = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)\n2. Przekątna bryły: \\(|KL| = \\sqrt{d_p^2 + c^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(5{,}83\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 3^2} = \\sqrt{34} \\approx 5{,}83\\) - zapomniano dodać trzeci wymiar \\(c = 2\\), czyli wzięto tylko przekątną podstawy |\n| C | \\(3{,}61\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\) - zapomniano o największym boku \\(a = 5\\) |\n| D | \\(5{,}39\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29} \\approx 5{,}39\\) - pominięto bok \\(b = 3\\) |\n\nKażdy z błędów to **pominięcie jednego z wymiarów** w sumie pod pierwiastkiem.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to **nie** przekątna jednej ze ścian - należy zastosować Pitagorasa dwukrotnie (albo wzór \\(\\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\) bezpośrednio). Pominięcie choćby jednego wymiaru to gotowa pułapka zastawiona przez twórców testu (odpowiedzi A, C, D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zaokrąglaniu do \\(0{,}01\\) sprawdź trzecią cyfrę po przecinku: \\(\\sqrt{38} = 6{,}164 \\) - trzecia cyfra to \\(4 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół → \\(6{,}16\\), nie \\(6{,}17\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kalkulator na maturze pokazuje \\(\\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\). Nie zgaduj - zawsze wylicz dokładnie i dopiero zaokrąglaj.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\,\\text{dm}.\\]\nPo zaokrągleniu: \\(6{,}16\\) dm.\n\n### Sposób 2 - Dwustopniowe zastosowanie Pitagorasa\nPrzekątna podstawy \\(5\\times 3\\): \\(\\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\).\nPrzekątna prostopadłościanu: \\(\\sqrt{34 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5{,}83\\)** - \\(\\sqrt{34} \\approx 5{,}83\\); to przekątna podstawy, nie całego prostopadłościanu.\n- **C. \\(3{,}61\\)** - \\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\); dla wymiarów \\(3\\times 2\\).\n- **D. \\(5{,}39\\)** - \\(\\sqrt{29}\\); dla wymiarów \\(5\\times 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Przekątna KL prostopadłościanu to najdłuższy odcinek w jego bryle. Możemy obliczyć ją, używając twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym, którego wierzchołkami są wierzchołki A, L i K.\n\n2. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:** W trójkącie AKL, gdzie AK = 5 dm, AL = 3 dm, a KL to przekątna, mamy:\n\\[KL² = AK² + AL²\\]\n\\[KL² = 5² + 3²\\]\n\\[KL² = 25 + 9\\]\n\\[KL² = 34\\]\n\\[KL = \\sqrt{34} \\approx 5.83 dm\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]\n\n### Sposób 2: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa (z uwzględnieniem przekątnej ściany bocznej)\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Możemy również obliczyć przekątną KL, korzystając z przekątnej ściany bocznej, którą oznaczmy jako PL.\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej (PL):** Używamy twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym P-L-K, gdzie PK = 2 dm, PL = √(3⁴ + 5²) = √(9 + 25) = √34, a KL to przekątna prostopadłościanu.\n\\[PL² = PK² + KL²\\]\n\\[PL² = 2² + 34\\]\n\\[PL = √(2² + 34) = √(4+34) = √38\\]\n\\[KL = √(34)\\]\n\\[KL = √(34) \\approx 5.83 dm\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 5,83 dm:** Obliczenia w Sposobie 1 dają wynik około 5,83 dm, co jest zgodne z naszymi obliczeniami.\n* **C. 3,61 dm:** To wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.\n* **D. 5,39 dm:** To również wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.\n\n**Podsumowanie:** Oba sposoby prowadzą do tej samej prawidłowej odpowiedzi, która jest 5,83 dm (z dokładnością do 0,01 dm).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).
Przekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm - równa
A. 5,83 dm
B. 6,16 dm
C. 3,61 dm
D. 5,39 dm
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
B
0
A
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
2 dm
3 dm
L
K
5 dm

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5dm × 3dm × 2dm (zobacz rysunek). Przekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm -- równa A. 5,83 dm; B. 6,16 dm; C. 3,61 dm; D. 5,39 dm.

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą
\n

jest dany przekrój prostopadłościanu
płaszczyzną (9.5).
G10. Figury płaskie. Zdający stosuje
twierdzenie Pitagorasa (G10.7).
Wersja
I
Wersja
II
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(6{,}16\\,\\text{dm}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu

\n

Prostopadłościan ma wymiary \\(a = 5\\,\\text{dm}\\), \\(b = 3\\,\\text{dm}\\), \\(c = 2\\,\\text{dm}\\).

\n

Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.

\n

Podstawa to prostokąt o bokach \\(a = 5\\) i \\(b = 3\\). Jej przekątna \\(d_p\\) (z twierdzenia Pitagorasa):
\\[d_p^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\\]

\n

Krok 2: Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jeszcze raz - teraz w trójkącie prostokątnym o podstawie \\(d_p\\) i wysokości \\(c = 2\\):
\\[|KL|^2 = d_p^2 + c^2 = 34 + 2^2 = 34 + 4 = 38\\]

\n

Krok 3: Obliczamy długość przekątnej:
\\[|KL| = \\sqrt{38} \\approx 6{,}1644\\ldots \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośredni wzór na przekątną prostopadłościanu

\n

Wzór wyprowadzamy od razu dla trzech wymiarów:
\\[|KL| = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]

\n

Podstawiamy \\(a = 5\\), \\(b = 3\\), \\(c = 2\\):
\\[|KL| = \\sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38}\\]

\n

Sprawdzamy na kalkulatorze (lub szacujemy: \\(6^2 = 36\\), \\(6{,}2^2 = 38{,}44\\), więc \\(\\sqrt{38}\\) jest między 6 a 6,2 - bliżej 6,16):
\\[\\sqrt{38} \\approx 6{,}1644 \\approx \\mathbf{6{,}16\\,\\text{dm}}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - prostopadłościan:

\n

Karta podaje pole i objętość prostopadłościanu, ale nie podaje wprost wzoru na przekątną. Wyprowadzamy go sami z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(trójkąt prostokątny)}\\]

\n

Stosujemy dwukrotnie:

\n
  1. Przekątna podstawy: \\(d_p = \\sqrt{a^2 + b^2}\\)
  2. Przekątna bryły: \\(|KL| = \\sqrt{d_p^2 + c^2} = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\)
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wynik | Typowy błąd |
| A | \\(5{,}83\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 3^2} = \\sqrt{34} \\approx 5{,}83\\) - zapomniano dodać trzeci wymiar \\(c = 2\\), czyli wzięto tylko przekątną podstawy |
| C | \\(3{,}61\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{13} \\approx 3{,}61\\) - zapomniano o największym boku \\(a = 5\\) |
| D | \\(5{,}39\\,\\text{dm}\\) | Policzono \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29} \\approx 5{,}39\\) - pominięto bok \\(b = 3\\) |

\n

Każdy z błędów to pominięcie jednego z wymiarów w sumie pod pierwiastkiem.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna prostopadłościanu to nie przekątna jednej ze ścian - należy zastosować Pitagorasa dwukrotnie (albo wzór \\(\\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\) bezpośrednio). Pominięcie choćby jednego wymiaru to gotowa pułapka zastawiona przez twórców testu (odpowiedzi A, C, D).
\n
⚠️ Uwaga: Przy zaokrąglaniu do \\(0{,}01\\) sprawdź trzecią cyfrę po przecinku: \\(\\sqrt{38} = 6{,}164 \\) - trzecia cyfra to \\(4 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół → \\(6{,}16\\), nie \\(6{,}17\\).
\n
⚠️ Uwaga: Kalkulator na maturze pokazuje \\(\\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\). Nie zgaduj - zawsze wylicz dokładnie i dopiero zaokrąglaj.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu
\n

\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \\sqrt{25 + 9 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}164\\,\\text{dm}.\\]
Po zaokrągleniu: \\(6{,}16\\) dm.

\n
Sposób 2 - Dwustopniowe zastosowanie Pitagorasa
\n

Przekątna podstawy \\(5\\times 3\\): \\(\\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\).
Przekątna prostopadłościanu: \\(\\sqrt{34 + 4} = \\sqrt{38} \\approx 6{,}16\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa
\n
  1. Zrozumienie problemu: Przekątna KL prostopadłościanu to najdłuższy odcinek w jego bryle. Możemy obliczyć ją, używając twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym, którego wierzchołkami są wierzchołki A, L i K.
\n
  1. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa: W trójkącie AKL, gdzie AK = 5 dm, AL = 3 dm, a KL to przekątna, mamy:
\n

\\[KL² = AK² + AL²\\]
\\[KL² = 5² + 3²\\]
\\[KL² = 25 + 9\\]
\\[KL² = 34\\]
\\[KL = \\sqrt{34} \\approx 5.83 dm\\]

\n

📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]

\n
Sposób 2: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa (z uwzględnieniem przekątnej ściany bocznej)
\n
  1. Zrozumienie problemu: Możemy również obliczyć przekątną KL, korzystając z przekątnej ściany bocznej, którą oznaczmy jako PL.
\n
  1. Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej (PL): Używamy twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym P-L-K, gdzie PK = 2 dm, PL = √(3⁴ + 5²) = √(9 + 25) = √34, a KL to przekątna prostopadłościanu.
\n

\\[PL² = PK² + KL²\\]
\\[PL² = 2² + 34\\]
\\[PL = √(2² + 34) = √(4+34) = √38\\]
\\[KL = √(34)\\]
\\[KL = √(34) \\approx 5.83 dm\\]

\n

📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Oba sposoby prowadzą do tej samej prawidłowej odpowiedzi, która jest 5,83 dm (z dokładnością do 0,01 dm).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, z twierdzenia Pitagorasa przekątna podstawy to $d=\\sqrt{5^2+3^2}=\\sqrt{34}$, w takim razie również z twierdzenia Pitagorasa przekąta prostopadłościanu ma długfość $D=\\sqrt{34+2^2}=\\sqrt{38}\\approx 6{,}16\\text{ dm}$.

"}]}