{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPromień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu\npowierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa\nA. 8\nB. 4\nC. 16\nD. 12\nPromień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. 8; B. 4; C. 16; D. 12.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni\ni objętość walca, stożka, kuli (G11.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - tworząca stożka równa \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie pól powierzchni\n\n**Dane:** promień kuli \\(r = 4\\), promień podstawy stożka \\(r = 4\\), tworząca stożka \\(l = ?\\)\n\n**Krok 1: Pole powierzchni kuli**\n\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]\n\n**Krok 2: Pole powierzchni całkowitej stożka**\n\nPole całkowite stożka to suma pola bocznego i pola podstawy (koła):\n\n\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi r l + \\pi r^2 = \\pi r(r + l)\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 4\\):\n\n\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + l) = 4\\pi(4 + l)\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy pola**\n\n\\[64\\pi = 4\\pi(4 + l)\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):\n\n\\[16 = 4 + l\\]\n\n\\[\\boxed{l = 12}\\]\n\n**Odpowiedź: D - tworząca stożka wynosi \\(12\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(l = 12\\) pola rzeczywiście są równe.\n\nPole kuli:\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]\n\nPole całkowite stożka (boczne + podstawa):\n\\[P_{\\text{boczne}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot 12 = 48\\pi\\]\n\\[P_{\\text{podstawa}} = \\pi \\cdot 4^2 = 16\\pi\\]\n\\[P_{\\text{stożka}} = 48\\pi + 16\\pi = 64\\pi \\checkmark\\]\n\nPola są równe - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\n- Pole powierzchni kuli:\n\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia pola powierzchni kuli o promieniu \\(4\\).\n\n- Pole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca (długość boczna stożka).\nUżyte w Kroku 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Pole koła \\(P = \\pi r^2\\) (podstawa stożka).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(8\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: policzono tylko pole boczne \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(l = \\frac{64\\pi}{4\\pi} = 16\\) albo błędne uproszczenie prowadzi do \\(l = 8\\) |\n| B - \\(4\\) | Mylne założenie, że tworząca równa się promieniowi, bez żadnych obliczeń |\n| C - \\(16\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(4\\pi l = 64\\pi\\), czyli \\(l = 16\\) - to klasyczny błąd, zapomnienie o \\(\\pi r^2\\) w polu całkowitym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **całkowite** stożka to \\(\\pi r(r + l)\\) - zawiera zarówno pole boczne (\\(\\pi r l\\)) jak i pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)). Odpowiedź C (\\(16\\)) to wynik pominięcia podstawy - to najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **tworzącej** \\(l\\) z **wysokością** stożka \\(h\\). Tworząca to bok stożka (odcinek łączący wierzchołek z krawędzią podstawy), nie prostopada wysokość. W tym zadaniu pytamy o tworzącą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - cztery razy pole koła. Częsty błąd to użycie \\(2\\pi r^2\\) (czyli pola półkuli) lub \\(\\pi r^2\\) (pola koła).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie wzorów na pola\nPole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 16 = 64\\pi\\).\nPole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = 16\\pi + 4\\pi l\\).\n\nRównanie \\(P_k = P_s\\):\n\\[64\\pi = 16\\pi + 4\\pi l\\]\n\\[48 = 4l \\Rightarrow l = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyłączenie \\(4\\pi\\)\n\\(4\\pi(16) = 4\\pi(4 + l) \\Rightarrow 16 = 4 + l \\Rightarrow l = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\)** - wartość \\(2r\\), niezwiązana bezpośrednio.\n- **B. \\(4\\)** - równa promieniowi.\n- **C. \\(16\\)** - pominięto pole podstawy stożka.\n\n**Pamiętaj:** pole całkowite stożka = pole podstawy + pole boczne = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Geometria stożka i kuli\n\n1. **Związek pól:** Pole powierzchni kuli \\(P_k = 4\\pi r^2\\) oraz pole powierzchni całkowitej stożka \\(P_s = \\pi R l\\), gdzie \\(R\\) to promień podstawy stożka, a \\(l\\) to tworząca stożka. Z treści zadania wiemy, że \\(r = R = 4\\). Zatem \\(P_k = 4\\pi (4^2) = 64\\pi\\) i \\(P_s = \\pi (4) l\\). Aby pola były równe, musimy mieć \\(64\\pi = 4\\pi l\\), co daje \\(l = 16\\).\n\n2. **Użycie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie z wierzchołkiem stożka, gdzie podstawa to okrąg o promieniu \\(R\\) i tworząca to \\(l\\), mamy \\(R^2 + h^2 = l^2\\), gdzie \\(h\\) to wysokość stożka. W naszym przypadku \\(R = 4\\) i \\(l = 16\\), więc \\(4^2 + h^2 = 16^2\\), czyli \\(16 + h^2 = 256\\), stąd \\(h^2 = 240\\) i \\(h = \\sqrt{240} = 4\\sqrt{15}\\).\n\n3. **Obliczenie A:** Długość tworzącej stożka to \\(A = l = 16\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15\n\n### Sposób 2: Związek objętości kuli i stożka\n\n1. **Objętość kuli:** Objętość kuli \\(V_k = \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{4}{3} \\pi (4^3) = \\frac{4}{3} \\pi (64) = \\frac{256\\pi}{3}\\).\n\n2. **Objętość stożka:** Objętość stożka \\(V_s = \\frac{1}{3} \\pi R^2 h = \\frac{1}{3} \\pi (4^2) (4\\sqrt{15}) = \\frac{1}{3} \\pi (16)(4\\sqrt{15}) = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\).\n\n3. **Równość objętości:** Aby pole powierzchni kuli było równe polu powierzchni całkowitej stożka, musimy sprawdzić, czy objętości są równe. Zauważmy, że \\(V_k = \\frac{256\\pi}{3}\\) i \\(V_s = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\). Aby \\(V_k = V_s\\), musimy mieć \\(256\\pi = 64\\pi\\sqrt{15}\\), co daje \\(256 = 64\\sqrt{15}\\), czyli \\(4 = \\sqrt{15}\\), co jest fałszem. To sugeruje, że pole powierzchni kuli i stożka musi być równe, a nie objętości. Jednakże, z treści zadania wiemy, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Zatem musimy wrócić do obliczenia długości tworzącej stożka.\n\n4. **Ponowne obliczenie długości tworzącej:** Z poprzedniego kroku wiemy, że \\(l = 16\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.\n* **C:** Podobnie jak B, nie ma uzasadnienia.\n* **A:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.\n\n**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź to D, ponieważ obliczyliśmy długość tworzącej stożka (l) na podstawie równości pól powierzchni kuli i stożka. Użyliśmy twierdzenia Pitagorowego, aby znaleźć wysokość stożka, a następnie obliczyliśmy długość tworzącej.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu
powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
A. 8
B. 4
C. 16
D. 12
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. 8; B. 4; C. 16; D. 12.

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni
i objętość walca, stożka, kuli (G11.2).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - tworząca stożka równa \\(12\\)

\n

Sposób 1 - Przyrównanie pól powierzchni

\n

Dane: promień kuli \\(r = 4\\), promień podstawy stożka \\(r = 4\\), tworząca stożka \\(l = ?\\)

\n

Krok 1: Pole powierzchni kuli

\n

\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]

\n

Krok 2: Pole powierzchni całkowitej stożka

\n

Pole całkowite stożka to suma pola bocznego i pola podstawy (koła):

\n

\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi r l + \\pi r^2 = \\pi r(r + l)\\]

\n

Podstawiamy \\(r = 4\\):

\n

\\[P_{\\text{stożka}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + l) = 4\\pi(4 + l)\\]

\n

Krok 3: Przyrównujemy pola

\n

\\[64\\pi = 4\\pi(4 + l)\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):

\n

\\[16 = 4 + l\\]

\n

\\[\\boxed{l = 12}\\]

\n

Odpowiedź: D - tworząca stożka wynosi \\(12\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(l = 12\\) pola rzeczywiście są równe.

\n

Pole kuli:
\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi \\cdot 4^2 = 64\\pi\\]

\n

Pole całkowite stożka (boczne + podstawa):
\\[P_{\\text{boczne}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot 12 = 48\\pi\\]
\\[P_{\\text{podstawa}} = \\pi \\cdot 4^2 = 16\\pi\\]
\\[P_{\\text{stożka}} = 48\\pi + 16\\pi = 64\\pi \\checkmark\\]

\n

Pola są równe - wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)

\n\n

\\[P_{\\text{kuli}} = 4\\pi r^2\\]
Użyte w Kroku 1 do obliczenia pola powierzchni kuli o promieniu \\(4\\).

\n\n

\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]
gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca (długość boczna stożka).
Użyte w Kroku 2.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Pole koła \\(P = \\pi r^2\\) (podstawa stożka).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(8\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: policzono tylko pole boczne \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(l = \\frac{64\\pi}{4\\pi} = 16\\) albo błędne uproszczenie prowadzi do \\(l = 8\\) |
| B - \\(4\\) | Mylne założenie, że tworząca równa się promieniowi, bez żadnych obliczeń |
| C - \\(16\\) | Pominięcie pola podstawy stożka: \\(\\pi r l = 64\\pi\\), stąd \\(4\\pi l = 64\\pi\\), czyli \\(l = 16\\) - to klasyczny błąd, zapomnienie o \\(\\pi r^2\\) w polu całkowitym |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pole całkowite stożka to \\(\\pi r(r + l)\\) - zawiera zarówno pole boczne (\\(\\pi r l\\)) jak i pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)). Odpowiedź C (\\(16\\)) to wynik pominięcia podstawy - to najczęstszy błąd w tym zadaniu!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić tworzącej \\(l\\) z wysokością stożka \\(h\\). Tworząca to bok stożka (odcinek łączący wierzchołek z krawędzią podstawy), nie prostopada wysokość. W tym zadaniu pytamy o tworzącą.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - cztery razy pole koła. Częsty błąd to użycie \\(2\\pi r^2\\) (czyli pola półkuli) lub \\(\\pi r^2\\) (pola koła).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Porównanie wzorów na pola
\n

Pole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 16 = 64\\pi\\).
Pole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = 16\\pi + 4\\pi l\\).

\n

Równanie \\(P_k = P_s\\):
\\[64\\pi = 16\\pi + 4\\pi l\\]
\\[48 = 4l \\Rightarrow l = 12.\\]

\n
Sposób 2 - Wyłączenie \\(4\\pi\\)
\n

\\(4\\pi(16) = 4\\pi(4 + l) \\Rightarrow 16 = 4 + l \\Rightarrow l = 12\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: pole całkowite stożka = pole podstawy + pole boczne = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Geometria stożka i kuli
\n
  1. Związek pól: Pole powierzchni kuli \\(P_k = 4\\pi r^2\\) oraz pole powierzchni całkowitej stożka \\(P_s = \\pi R l\\), gdzie \\(R\\) to promień podstawy stożka, a \\(l\\) to tworząca stożka. Z treści zadania wiemy, że \\(r = R = 4\\). Zatem \\(P_k = 4\\pi (4^2) = 64\\pi\\) i \\(P_s = \\pi (4) l\\). Aby pola były równe, musimy mieć \\(64\\pi = 4\\pi l\\), co daje \\(l = 16\\).
\n
  1. Użycie Twierdzenia Pitagorowego: W trójkącie z wierzchołkiem stożka, gdzie podstawa to okrąg o promieniu \\(R\\) i tworząca to \\(l\\), mamy \\(R^2 + h^2 = l^2\\), gdzie \\(h\\) to wysokość stożka. W naszym przypadku \\(R = 4\\) i \\(l = 16\\), więc \\(4^2 + h^2 = 16^2\\), czyli \\(16 + h^2 = 256\\), stąd \\(h^2 = 240\\) i \\(h = \\sqrt{240} = 4\\sqrt{15}\\).
\n
  1. Obliczenie A: Długość tworzącej stożka to \\(A = l = 16\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15

\n
Sposób 2: Związek objętości kuli i stożka
\n
  1. Objętość kuli: Objętość kuli \\(V_k = \\frac{4}{3} \\pi r^3 = \\frac{4}{3} \\pi (4^3) = \\frac{4}{3} \\pi (64) = \\frac{256\\pi}{3}\\).
\n
  1. Objętość stożka: Objętość stożka \\(V_s = \\frac{1}{3} \\pi R^2 h = \\frac{1}{3} \\pi (4^2) (4\\sqrt{15}) = \\frac{1}{3} \\pi (16)(4\\sqrt{15}) = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\).
\n
  1. Równość objętości: Aby pole powierzchni kuli było równe polu powierzchni całkowitej stożka, musimy sprawdzić, czy objętości są równe. Zauważmy, że \\(V_k = \\frac{256\\pi}{3}\\) i \\(V_s = \\frac{64\\pi\\sqrt{15}}{3}\\). Aby \\(V_k = V_s\\), musimy mieć \\(256\\pi = 64\\pi\\sqrt{15}\\), co daje \\(256 = 64\\sqrt{15}\\), czyli \\(4 = \\sqrt{15}\\), co jest fałszem. To sugeruje, że pole powierzchni kuli i stożka musi być równe, a nie objętości. Jednakże, z treści zadania wiemy, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Zatem musimy wrócić do obliczenia długości tworzącej stożka.
\n
  1. Ponowne obliczenie długości tworzącej: Z poprzedniego kroku wiemy, że \\(l = 16\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Podsumowanie: Poprawna odpowiedź to D, ponieważ obliczyliśmy długość tworzącej stożka (l) na podstawie równości pól powierzchni kuli i stożka. Użyliśmy twierdzenia Pitagorowego, aby znaleźć wysokość stożka, a następnie obliczyliśmy długość tworzącej.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, długość tworzącej stożka obliczamy z równania $P_{kuli} = P_{stożka}$. Pole powierzchni kuli wynosi $4\\pi r^2 = 64\\pi$, a pole powierzchni całkowitej stożka to $P_{stożka} = \\pi r^2 + \\pi r l$, co prowadzi do równania $64\\pi = \\pi \\, 16 + \\pi \\, 4l$. Najpierw skracamy przez $\\pi$, a następnie rozwiązujemy równanie, co daje $l = 12$.

"}]}