{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n12\na =\nC.\n14\na =\nD.\n20\na =\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem A. a=7; B. a=12; C. a=14; D. a=20.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do\nrachunku prawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną i medianę\nzestawu danych (G9.4).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja mediany i układanie nierówności\n\n**Mediana** zbioru sześciu danych to średnia arytmetyczna **trzeciej i czwartej** wartości po posortowaniu rosnącym.\n\nMamy dane: \\(4, 8, 21, a, 16, 25\\) i szukamy \\(a\\) takiego, żeby mediana wynosiła \\(14\\).\n\n**Krok 1:** Zastanówmy się, gdzie \\(a\\) trafi po posortowaniu.\n\nZnane wartości (bez \\(a\\)): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Liczba \\(a\\) musi wpaść gdzieś w tym ciągu.\n\n**Krok 2:** Skoro mediana \\(= 14\\), czyli średnia 3. i 4. wartości wynosi \\(14\\), to:\n\\[\\frac{x_3 + x_4}{2} = 14 \\implies x_3 + x_4 = 28\\]\n\n**Krok 3:** Sprawdzamy, przy jakim umiejscowieniu \\(a\\) suma 3. i 4. wyrazu wynosi 28.\n\nJeśli \\(8 \\leq a \\leq 16\\), posortowany ciąg wygląda tak: \\(4, 8, a, 16, 21, 25\\).\n\nWtedy \\(x_3 = a\\), \\(x_4 = 16\\), więc:\n\\[a + 16 = 28 \\implies a = 12\\]\n\n**Krok 4:** Sprawdzamy, czy \\(a = 12\\) spełnia założenie \\(8 \\leq a \\leq 16\\):\n\\[8 \\leq 12 \\leq 16 \\checkmark\\]\n\nPosortowany ciąg: \\(4, 8, \\mathbf{12}, \\mathbf{16}, 21, 25\\)\n\nMediana \\(= \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\mathbf{14}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Próba wszystkich odpowiedzi (podstawianie)\n\nMożna szybko sprawdzić każdą z odpowiedzi:\n\n**A.** \\(a = 7\\): posortowany ciąg: \\(4, 7, 8, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{8 + 16}{2} = \\frac{24}{2} = 12 \\neq 14\\]\n\n**B.** \\(a = 12\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 12, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = 14 \\checkmark\\]\n\nJuż znamy odpowiedź, ale dla porządku:\n\n**C.** \\(a = 14\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 14, 16, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{14 + 16}{2} = \\frac{30}{2} = 15 \\neq 14\\]\n\n**D.** \\(a = 20\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 16, 20, 21, 25\\)\n\\[\\text{mediana} = \\frac{16 + 20}{2} = \\frac{36}{2} = 18 \\neq 14\\]\n\n**Jedyna poprawna odpowiedź to B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub **średnia dwóch środkowych** wyrazów (parzyste \\(n\\))\n\nMamy \\(n = 6\\) (parzyste), więc mediana to:\n\\[\\text{Me} = \\frac{x_3 + x_4}{2}\\]\ngdzie \\(x_3, x_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu rosnąco.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(a = 7\\) trafia przed 8, więc ciąg to \\(4,7,8,16,21,25\\) - mediana wychodzi \\(\\frac{8+16}{2} = 12\\), a nie 14. Uczeń mógł błędnie założyć miejsce \\(a\\) w ciągu. |\n| C | \\(a = 14\\) to sama wartość mediany - intuicja podpowiada \"skoro mediana = 14, to a = 14\", ale to pułapka. Mediana \\(= \\frac{14+16}{2} = 15\\). |\n| D | \\(a = 20\\) trafia między 16 a 21, ciąg: \\(4,8,16,20,21,25\\) - mediana \\(= \\frac{16+20}{2} = 18\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby danych mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz! Dla 6 liczb bierzemy 3. i 4. wyraz po posortowaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim wyznaczysz 3. i 4. wyraz, musisz uwzględnić, **gdzie w posortowanym ciągu trafi \\(a\\)**. Różne zakresy \\(a\\) dają różne ciągi - sprawdź, czy Twoje założenie jest spójne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myśl, że \"jeśli mediana = 14, to \\(a\\) musi być równe 14\". Mediana zależy od 3. i 4. wyrazu - \\(a\\) może wpaść na inne miejsce w ciągu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Mediana sześciu liczb\nMediana 6 liczb (parzystej ilości) = średnia dwóch środkowych po posortowaniu.\n\nSortujemy bez \\(a\\): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Wstawiamy \\(a\\) w odpowiednie miejsce:\n- Jeśli \\(a \\le 8\\): sortowanie \\((a, 4, 8, 16, 21, 25)\\) (gdzie \\(a\\) idzie na początek lub drugą pozycję). Środkowe to 8 i 16 - mediana \\(= 12\\).\n- Jeśli \\(8 < a < 16\\): sortowanie \\((4, 8, a, 16, 21, 25)\\). Środkowe: \\(a\\) i \\(16\\) - mediana \\(= \\tfrac{a+16}{2}\\).\n- Jeśli \\(a \\ge 16\\): środkowe 8 i 16 sortowanie \\((4, 8, 16, a, 21, 25)\\). Środkowe: 16 i \\(a\\)? Nie, zawsze środkowe to 3. i 4. miejsce. Dla \\(a=20\\): \\((4,8,16,20,21,25)\\), środkowe \\(16, 20\\), mediana \\(18\\).\n\nWarunek mediana \\(=14\\):\n- \\(\\tfrac{a+16}{2} = 14 \\Rightarrow a = 12\\) ✓ (i \\(8<12<16\\), pasuje).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=12\\): \\((4,8,12,16,21,25)\\), mediana \\(= \\tfrac{12+16}{2} = 14\\) ✓\n- \\(a=7\\): \\((4,7,8,16,21,25)\\), mediana \\(= \\tfrac{8+16}{2} = 12\\) ✗\n- \\(a=14\\): mediana = \\(\\tfrac{14+16}{2} = 15\\) ✗\n- \\(a=20\\): mediana = \\(\\tfrac{16+20}{2} = 18\\) ✗\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Uporządkowanie danych i znalezienie mediany\n1. **Uporządkowanie danych:** Zaczynamy od posortowania podanych liczb w kolejności rosnącej: 4, 8, 16, 21, 25, a.\n2. **Definicja mediany:** Mediana zestawu danych to wartość środkowa, czyli wartość, która dzieli zbiór danych na dwie równe części. W przypadku parzystej liczby elementów (w tym przypadku 6), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.\n3. **Identyfikacja środkowych wartości:** W posortowanym zbiorze liczby 4, 8, 16, 21, 25, a, środkowymi wartościami są 16 i 21.\n4. **Obliczenie mediany:** Mediana = (16 + 21) / 2 = 37 / 2 = 18.5.\n5. **Błąd:** W zadaniu podano, że mediana wynosi 14. Zatem, liczba \"a\" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na medianę\n1. **Zrozumienie definicji mediany:** Mediana to wartość środkowa w posortowanym zbiorze danych.\n2. **Zbiór danych:** 4, 8, 21, a, 16, 25\n3. **Posortowanie:** 4, 8, 16, 21, 25, a\n4. **Obliczenie mediany:** Ponieważ mamy 6 elementów, mediana to element na pozycji (6+1)/2 = 3.5. Ponieważ nie możemy mieć ułamkowej mediany, musimy wziąć dwa środkowe elementy, czyli 16 i 21.\n5. **Równanie:** (16 + 21) / 2 = 14\n6. **Rozwiązanie:** 37 / 2 = 18.5. Zatem, liczba \"a\" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, strona 32 - Statystyka: mediana\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na wartość bezwzględną, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na logarytm, który również nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na kombinacje, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.\n\nW obu sposobach, aby mediana wynosiła 14, liczba \"a\" musi być równa 12. Zatem, poprawna odpowiedź to B.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem
A.
7
a =
B.
12
a =
C.
14
a =
D.
20
a =
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem A. a=7; B. a=12; C. a=14; D. a=20.

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
G9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do
rachunku prawdopodobieństwa. Zdający
wyznacza średnią arytmetyczną i medianę
zestawu danych (G9.4).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(a = 12\\)

\n

Sposób 1 - Definicja mediany i układanie nierówności

\n

Mediana zbioru sześciu danych to średnia arytmetyczna trzeciej i czwartej wartości po posortowaniu rosnącym.

\n

Mamy dane: \\(4, 8, 21, a, 16, 25\\) i szukamy \\(a\\) takiego, żeby mediana wynosiła \\(14\\).

\n

Krok 1: Zastanówmy się, gdzie \\(a\\) trafi po posortowaniu.

\n

Znane wartości (bez \\(a\\)): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Liczba \\(a\\) musi wpaść gdzieś w tym ciągu.

\n

Krok 2: Skoro mediana \\(= 14\\), czyli średnia 3. i 4. wartości wynosi \\(14\\), to:
\\[\\frac{x_3 + x_4}{2} = 14 \\implies x_3 + x_4 = 28\\]

\n

Krok 3: Sprawdzamy, przy jakim umiejscowieniu \\(a\\) suma 3. i 4. wyrazu wynosi 28.

\n

Jeśli \\(8 \\leq a \\leq 16\\), posortowany ciąg wygląda tak: \\(4, 8, a, 16, 21, 25\\).

\n

Wtedy \\(x_3 = a\\), \\(x_4 = 16\\), więc:
\\[a + 16 = 28 \\implies a = 12\\]

\n

Krok 4: Sprawdzamy, czy \\(a = 12\\) spełnia założenie \\(8 \\leq a \\leq 16\\):
\\[8 \\leq 12 \\leq 16 \\checkmark\\]

\n

Posortowany ciąg: \\(4, 8, \\mathbf{12}, \\mathbf{16}, 21, 25\\)

\n

Mediana \\(= \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\mathbf{14}\\) ✓

\n

Sposób 2 - Próba wszystkich odpowiedzi (podstawianie)

\n

Można szybko sprawdzić każdą z odpowiedzi:

\n

A. \\(a = 7\\): posortowany ciąg: \\(4, 7, 8, 16, 21, 25\\)
\\[\\text{mediana} = \\frac{8 + 16}{2} = \\frac{24}{2} = 12 \\neq 14\\]

\n

B. \\(a = 12\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 12, 16, 21, 25\\)
\\[\\text{mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = 14 \\checkmark\\]

\n

Już znamy odpowiedź, ale dla porządku:

\n

C. \\(a = 14\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 14, 16, 21, 25\\)
\\[\\text{mediana} = \\frac{14 + 16}{2} = \\frac{30}{2} = 15 \\neq 14\\]

\n

D. \\(a = 20\\): posortowany ciąg: \\(4, 8, 16, 20, 21, 25\\)
\\[\\text{mediana} = \\frac{16 + 20}{2} = \\frac{36}{2} = 18 \\neq 14\\]

\n

Jedyna poprawna odpowiedź to B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja mediany:

\n
Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (parzyste \\(n\\))
\n

Mamy \\(n = 6\\) (parzyste), więc mediana to:
\\[\\text{Me} = \\frac{x_3 + x_4}{2}\\]
gdzie \\(x_3, x_4\\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu rosnąco.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \\(a = 7\\) trafia przed 8, więc ciąg to \\(4,7,8,16,21,25\\) - mediana wychodzi \\(\\frac{8+16}{2} = 12\\), a nie 14. Uczeń mógł błędnie założyć miejsce \\(a\\) w ciągu. |
| C | \\(a = 14\\) to sama wartość mediany - intuicja podpowiada "skoro mediana = 14, to a = 14", ale to pułapka. Mediana \\(= \\frac{14+16}{2} = 15\\). |
| D | \\(a = 20\\) trafia między 16 a 21, ciąg: \\(4,8,16,20,21,25\\) - mediana \\(= \\frac{16+20}{2} = 18\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla parzystej liczby danych mediana to średnia dwóch środkowych - nie jeden środkowy wyraz! Dla 6 liczb bierzemy 3. i 4. wyraz po posortowaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Zanim wyznaczysz 3. i 4. wyraz, musisz uwzględnić, gdzie w posortowanym ciągu trafi \\(a\\). Różne zakresy \\(a\\) dają różne ciągi - sprawdź, czy Twoje założenie jest spójne!
\n
⚠️ Uwaga: Nie myśl, że "jeśli mediana = 14, to \\(a\\) musi być równe 14". Mediana zależy od 3. i 4. wyrazu - \\(a\\) może wpaść na inne miejsce w ciągu.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Mediana sześciu liczb
\n

Mediana 6 liczb (parzystej ilości) = średnia dwóch środkowych po posortowaniu.

\n

Sortujemy bez \\(a\\): \\(4, 8, 16, 21, 25\\). Wstawiamy \\(a\\) w odpowiednie miejsce:

\n\n

Warunek mediana \\(=14\\):

\n\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Uporządkowanie danych i znalezienie mediany
\n
  1. Uporządkowanie danych: Zaczynamy od posortowania podanych liczb w kolejności rosnącej: 4, 8, 16, 21, 25, a.
  2. Definicja mediany: Mediana zestawu danych to wartość środkowa, czyli wartość, która dzieli zbiór danych na dwie równe części. W przypadku parzystej liczby elementów (w tym przypadku 6), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości.
  3. Identyfikacja środkowych wartości: W posortowanym zbiorze liczby 4, 8, 16, 21, 25, a, środkowymi wartościami są 16 i 21.
  4. Obliczenie mediany: Mediana = (16 + 21) / 2 = 37 / 2 = 18.5.
  5. Błąd: W zadaniu podano, że mediana wynosi 14. Zatem, liczba "a" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.
\n
Sposób 2: Użycie wzoru na medianę
\n
  1. Zrozumienie definicji mediany: Mediana to wartość środkowa w posortowanym zbiorze danych.
  2. Zbiór danych: 4, 8, 21, a, 16, 25
  3. Posortowanie: 4, 8, 16, 21, 25, a
  4. Obliczenie mediany: Ponieważ mamy 6 elementów, mediana to element na pozycji (6+1)/2 = 3.5. Ponieważ nie możemy mieć ułamkowej mediany, musimy wziąć dwa środkowe elementy, czyli 16 i 21.
  5. Równanie: (16 + 21) / 2 = 14
  6. Rozwiązanie: 37 / 2 = 18.5. Zatem, liczba "a" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12.
\n

📖 Karta wzorów: s.32, strona 32 - Statystyka: mediana

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach, aby mediana wynosiła 14, liczba "a" musi być równa 12. Zatem, poprawna odpowiedź to B.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, gdy $a = 12$, zestaw danych po uporządkowaniu to: $4, 8, 12, 16, 21, 25$, a mediana wynosi $\\frac{12 + 16}{2} = 14$.

"}]}