{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest\nA. 12\nB. 36\nC. 162\nD. 243\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12; B. 36; C. 162; 243.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania (10.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **162**\n\n## Sposób 1 - zliczanie wyboru cyfr na każdej pozycji\n\nSzukamy liczb **pięciocyfrowych**, w których **każda cyfra należy do zbioru \\(\\{0, 2, 5\\}\\)**.\n\nKluczowe ograniczenie: **liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od 0** (bo byłaby co najwyżej czterocyfrowa).\n\nAnalizujemy pozycje od lewej:\n\n| Pozycja | Dostępne cyfry | Liczba wyborów |\n| 1. (pierwsza) | \\(2\\) lub \\(5\\) (nie \\(0\\)!) | \\(2\\) |\n| 2. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 3. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 4. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n| 5. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |\n\nWybory są **niezależne**, więc mnożymy:\n\n\\[N = 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 2 \\cdot 3^4 = 2 \\cdot 81 = \\mathbf{162}\\]\n\n## Sposób 2 - wszystkie ciągi minus te z zerem na początku\n\nPoliczmy **wszystkie** 5-elementowe ciągi z cyfr \\(\\{0, 2, 5\\}\\) (bez ograniczenia na pierwszą cyfrę):\n\n\\[\\text{Wszystkich ciągów: } 3^5 = 243\\]\n\nTeraz odejmujemy ciągi **zaczynające się od 0** - wówczas pierwsze miejsce jest ustalone (cyfra \\(0\\)), a pozostałe 4 miejsca mają po 3 wybory:\n\n\\[\\text{Ciągów z 0 na początku: } 1 \\cdot 3^4 = 81\\]\n\nZatem liczb pięciocyfrowych:\n\n\\[N = 243 - 81 = \\mathbf{162}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\n\\[\\text{Liczba ciągów } k\\text{-elementowych z } n\\text{-elementowego zbioru} = n^k\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(3^5 = 243\\) i \\(3^4 = 81\\). W Sposobie 1 zastosowaliśmy **regułę mnożenia** (każda pozycja niezależna od pozostałych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** (\\(12\\)) | Przyjęcie, że cyfry **nie mogą się powtarzać** - wtedy dla 5-cyfrowej liczby zabrakłoby cyfr (mamy tylko 3 różne), co prowadzi do bezsensownego liczenia; albo pomylenie z liczbami **trzy**cyfrowymi: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |\n| **B** (\\(36\\)) | Błędne wykluczenie zera **z drugiej pozycji** też (jakby dwie pierwsze cyfry nie mogły być \\(0\\)): \\(2 \\cdot 2 \\cdot 3^2 = 36\\) |\n| **D** (\\(243\\)) | Policzenie \\(3^5 = 243\\) - **zapomniano**, że liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od \\(0\\). To wynik dla ciągów, nie dla liczb! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej **nigdy nie może być zerem** - to najczęstszy błąd w zadaniach o liczeniu liczb wielocyfrowych. Sprawdź zawsze, czy zero jest dozwolone na pierwszej pozycji!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Cyfry \\(0, 2, 5\\) **występują**\" nie oznacza, że każda musi wystąpić - oznacza jedynie, że każda cyfra w liczbie musi należeć do tego zbioru. Powtórzenia są jak najbardziej dozwolone (np. \\(22225\\) jest poprawne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **kombinacji** z **wariacjami z powtórzeniami** - tutaj kolejność cyfr ma znaczenie (\\(25000 \\neq 52000\\)), więc liczymy wariacje, nie kombinacje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa: pierwsza cyfra \\(\\ne 0\\) (bo wtedy byłaby czterocyfrowa).\n- **Pierwsza cyfra:** \\(\\{2, 5\\}\\) → 2 możliwości.\n- **Pozostałe 4 cyfry:** \\(\\{0, 2, 5\\}\\) → 3 możliwości każda.\n\nŁącznie: \\(2\\cdot 3^4 = 2\\cdot 81 = 162\\).\n\n### Sposób 2 - Wszystkie ciągi \\(-\\) zaczynające się od 0\n- Wszystkie ciągi 5-cyfrowe z \\(\\{0,2,5\\}\\): \\(3^5 = 243\\).\n- Zaczynające się od 0 (= czterocyfrowe z dodanym 0 na początku): \\(3^4 = 81\\).\n- Pięciocyfrowe: \\(243 - 81 = 162\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)** - za mało; być może permutacje.\n- **B. \\(36\\)** - niewłaściwe liczenie.\n- **D. \\(243\\)** - wszystkie ciągi 5-elementowe, bez warunku pięciocyfrowości.\n\n**Pułapka:** pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej **musi** być różna od zera.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Metoda liczenia kombinatorycznego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Musimy policzyć liczbę pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, i 5. Każda cyfra może pojawić się dowolną ilość razy, ale pierwsze cyfra nie może być zerem.\n\n2. **Analiza możliwości dla każdej pozycji:**\n* Pierwsza cyfra: Może być 2 lub 5 (2 możliwości).\n* Pozostałe 4 cyfry: Każda z cyfr 0, 2, i 5 może pojawić się dowolną liczbę razy. Zatem dla każdej z tych 4 pozycji mamy 3 możliwości wyboru cyfry.\n\n3. **Obliczenie:** Liczba możliwych liczb pięciocyfrowych to: 2 * 34 = 2 * 81 = 162.\n\n📖 Karta wzorów: Kombinatoryka: (n nad k), strona 28\n\n### Sposób 2: Rozważenie przypadków dla każdej cyfry\n\n1. **Przypadek 1: Wszystkie cyfry to 2 i 5.**\nWtedy mamy 2 możliwości dla pierwszej cyfry (2 lub 5), a dla pozostałych 4 cyfr tylko 1 możliwość (2 lub 5). Liczba takich liczb to 25 = 32.\n\n2. **Przypadek 2: Występuje zero razy cyfra 2 i zero razy cyfra 5.**\nWtedy mamy tylko cyfrę 0. To nie spełnia warunku, że występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5.\n\n3. **Przypadek 3: Występuje 1 cyfra 2 i 0 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Pozostałe 3 pozycje muszą być wypełnione zerami. Liczba takich liczb to 4.\n\n4. **Przypadek 4: Występuje 0 cyfr 2 i 1 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Liczba takich liczb to 4.\n\n5. **Przypadek 5: Występuje 2 cyfry 2 i 0 cyfr 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)\nLiczba takich liczb to 6.\n\n6. **Przypadek 6: Występuje 0 cyfr 2 i 2 cyfry 5.**\nWtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)\nLiczba takich liczb to 6.\n\n7. **Suma:** 32 + 4 + 4 + 6 + 6 = 52. To jest błędne. Musimy to zrobić inaczej.\n\n8. **Poprawne rozwiązanie:** Zauważmy, że każda z 5 pozycji może przyjąć jedną z 3 wartości: 0, 2, lub 5. Zatem liczba wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 = 243\\). Jednakże, pierwsza cyfra nie może być zerem. Jeśli pierwsza cyfra to 0, to pozostałe 4 cyfry mogą przyjmować dowolne wartości z zbioru {0, 2, 5}. Zatem liczba takich liczb, w których pierwsza cyfra to 0, wynosi \\(3^4 = 81\\). Oznacza to, że liczba pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 - 3^4 = 243 - 81 = 162\\).\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A i B:** Te odpowiedzi sugerują użycie silni lub kombinacji, które nie są odpowiednie do tego problemu. Problem dotyczy liczenia liczb, a nie liczenia kombinacji.\n* **D:** Ta odpowiedź sugeruje użycie wzoru na permutacje, co nie jest konieczne i prowadzi do niepotrzebnego skomplikowania. W tym przypadku liczymy liczbę wystąpień cyfr, a nie permutacje.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A. 12
B. 36
C. 162
D. 243
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12; B. 36; C. 162; 243.

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, niewymagających użycia
wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę
mnożenia i regułę dodawania (10.2).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - 162

\n

Sposób 1 - zliczanie wyboru cyfr na każdej pozycji

\n

Szukamy liczb pięciocyfrowych, w których każda cyfra należy do zbioru \\(\\{0, 2, 5\\}\\).

\n

Kluczowe ograniczenie: liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od 0 (bo byłaby co najwyżej czterocyfrowa).

\n

Analizujemy pozycje od lewej:

\n

| Pozycja | Dostępne cyfry | Liczba wyborów |
| 1. (pierwsza) | \\(2\\) lub \\(5\\) (nie \\(0\\)!) | \\(2\\) |
| 2. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |
| 3. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |
| 4. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |
| 5. | \\(0, 2\\) lub \\(5\\) | \\(3\\) |

\n

Wybory są niezależne, więc mnożymy:

\n

\\[N = 2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 2 \\cdot 3^4 = 2 \\cdot 81 = \\mathbf{162}\\]

\n

Sposób 2 - wszystkie ciągi minus te z zerem na początku

\n

Policzmy wszystkie 5-elementowe ciągi z cyfr \\(\\{0, 2, 5\\}\\) (bez ograniczenia na pierwszą cyfrę):

\n

\\[\\text{Wszystkich ciągów: } 3^5 = 243\\]

\n

Teraz odejmujemy ciągi zaczynające się od 0 - wówczas pierwsze miejsce jest ustalone (cyfra \\(0\\)), a pozostałe 4 miejsca mają po 3 wybory:

\n

\\[\\text{Ciągów z 0 na początku: } 1 \\cdot 3^4 = 81\\]

\n

Zatem liczb pięciocyfrowych:

\n

\\[N = 243 - 81 = \\mathbf{162}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje z powtórzeniami:

\n

\\[\\text{Liczba ciągów } k\\text{-elementowych z } n\\text{-elementowego zbioru} = n^k\\]

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(3^5 = 243\\) i \\(3^4 = 81\\). W Sposobie 1 zastosowaliśmy regułę mnożenia (każda pozycja niezależna od pozostałych).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(12\\)) | Przyjęcie, że cyfry nie mogą się powtarzać - wtedy dla 5-cyfrowej liczby zabrakłoby cyfr (mamy tylko 3 różne), co prowadzi do bezsensownego liczenia; albo pomylenie z liczbami trzycyfrowymi: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12\\) |
| B (\\(36\\)) | Błędne wykluczenie zera z drugiej pozycji też (jakby dwie pierwsze cyfry nie mogły być \\(0\\)): \\(2 \\cdot 2 \\cdot 3^2 = 36\\) |
| D (\\(243\\)) | Policzenie \\(3^5 = 243\\) - zapomniano, że liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od \\(0\\). To wynik dla ciągów, nie dla liczb! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej nigdy nie może być zerem - to najczęstszy błąd w zadaniach o liczeniu liczb wielocyfrowych. Sprawdź zawsze, czy zero jest dozwolone na pierwszej pozycji!
\n
⚠️ Uwaga: "Cyfry \\(0, 2, 5\\) występują" nie oznacza, że każda musi wystąpić - oznacza jedynie, że każda cyfra w liczbie musi należeć do tego zbioru. Powtórzenia są jak najbardziej dozwolone (np. \\(22225\\) jest poprawne).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić kombinacji z wariacjami z powtórzeniami - tutaj kolejność cyfr ma znaczenie (\\(25000 \\neq 52000\\)), więc liczymy wariacje, nie kombinacje.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Liczba pięciocyfrowa: pierwsza cyfra \\(\\ne 0\\) (bo wtedy byłaby czterocyfrowa).

\n\n

Łącznie: \\(2\\cdot 3^4 = 2\\cdot 81 = 162\\).

\n
Sposób 2 - Wszystkie ciągi \\(-\\) zaczynające się od 0
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pułapka: pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej musi być różna od zera.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Metoda liczenia kombinatorycznego
\n
  1. Zrozumienie zadania: Musimy policzyć liczbę pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, i 5. Każda cyfra może pojawić się dowolną ilość razy, ale pierwsze cyfra nie może być zerem.
\n
  1. Analiza możliwości dla każdej pozycji:
\n\n
  1. Obliczenie: Liczba możliwych liczb pięciocyfrowych to: 2 * 3<sup>4</sup> = 2 * 81 = 162.
\n

📖 Karta wzorów: Kombinatoryka: (n nad k), strona 28

\n
Sposób 2: Rozważenie przypadków dla każdej cyfry
\n
  1. Przypadek 1: Wszystkie cyfry to 2 i 5.
\n

Wtedy mamy 2 możliwości dla pierwszej cyfry (2 lub 5), a dla pozostałych 4 cyfr tylko 1 możliwość (2 lub 5). Liczba takich liczb to 2<sup>5</sup> = 32.

\n
  1. Przypadek 2: Występuje zero razy cyfra 2 i zero razy cyfra 5.
\n

Wtedy mamy tylko cyfrę 0. To nie spełnia warunku, że występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5.

\n
  1. Przypadek 3: Występuje 1 cyfra 2 i 0 cyfr 5.
\n

Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Pozostałe 3 pozycje muszą być wypełnione zerami. Liczba takich liczb to 4.

\n
  1. Przypadek 4: Występuje 0 cyfr 2 i 1 cyfr 5.
\n

Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Liczba takich liczb to 4.

\n
  1. Przypadek 5: Występuje 2 cyfry 2 i 0 cyfr 5.
\n

Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)
Liczba takich liczb to 6.

\n
  1. Przypadek 6: Występuje 0 cyfr 2 i 2 cyfry 5.
\n

Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \\( \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!2!} = 6 \\)
Liczba takich liczb to 6.

\n
  1. Suma: 32 + 4 + 4 + 6 + 6 = 52. To jest błędne. Musimy to zrobić inaczej.
\n
  1. Poprawne rozwiązanie: Zauważmy, że każda z 5 pozycji może przyjąć jedną z 3 wartości: 0, 2, lub 5. Zatem liczba wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 = 243\\). Jednakże, pierwsza cyfra nie może być zerem. Jeśli pierwsza cyfra to 0, to pozostałe 4 cyfry mogą przyjmować dowolne wartości z zbioru {0, 2, 5}. Zatem liczba takich liczb, w których pierwsza cyfra to 0, wynosi \\(3^4 = 81\\). Oznacza to, że liczba pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \\(3^5 - 3^4 = 243 - 81 = 162\\).
\n

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby obliczyć liczbę pięciocyfrowych liczb z cyfr $0$, $2$ i $5$, na pierwszej pozycji możemy mieć jedynie $2$ lub $5$ (dwie możliwości), a na pozostałych $4$ pozycjach można używać wszystkich $3$ cyfr, co daje $2 \\cdot 3^4 = 2 \\cdot 81 = 162$.

"}]}