{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.\nPrawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną\nkulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest\nrówne\nA. 1\n8\nB. 1\n5\nC.\n1\n40\nD.\n1\n35\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. 1/8; B. 1/5; C. 1/40; D. 1/35.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa (10.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB\nZadania otwarte\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne (zliczanie)\n\n**Krok 1: Ustal przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nW pudełku jest łącznie \\(40\\) kul, a każda ma jednakowe prawdopodobieństwo wylosowania. Zatem:\n\\[|\\Omega| = 40\\]\n\n**Krok 2: Policz kule czerwone.**\n\nSkoro kul białych jest \\(35\\), to kul czerwonych jest:\n\\[40 - 35 = 5\\]\n\n**Krok 3: Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.**\n\nZdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie kuli czerwonej\", \\(|A| = 5\\):\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{40} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Frakcja bezpośrednia (intuicyjnie)\n\nZamiast liczyć kule czerwone osobno, od razu myślimy o proporcji:\n\n- Kule czerwone stanowią \\(\\dfrac{5}{40}\\) wszystkich kul.\n- Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez \\(5\\):\n\\[\\frac{5}{40} = \\frac{5 \\div 5}{40 \\div 5} = \\frac{1}{8}\\]\n\nWeryfikacja: \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot 40 = 5\\) - zgadza się z liczbą kul czerwonych. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nWzór stosujemy w Sposobie 1: \\(|\\Omega| = 40\\) (wszystkie kule), \\(|A| = 5\\) (kule czerwone).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(\\dfrac{1}{5}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{5}{25}\\) lub myli „5 kul czerwonych spośród białych\" z \\(\\dfrac{1}{5}\\); albo błędnie zakłada 25 kul w mianowniku zamiast 40 |\n| C - \\(\\dfrac{1}{40}\\) | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{40}\\) - prawdopodobieństwo wylosowania **konkretnej jednej** kuli, zapominając, że czerwonych jest 5, nie 1 |\n| D - \\(\\dfrac{1}{35}\\) | Uczeń wstawia w mianownik liczbę kul białych (\\(35\\)) zamiast łącznej liczby kul (\\(40\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\) to WSZYSTKIE kule w pudełku (\\(40\\)), nie tylko kule danego koloru. Mianownik zawsze = łączna liczba kul.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz liczbę kul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\). Treść podaje bezpośrednio tylko liczbę kul białych - to częsta pułapka, która sprawia, że uczniowie pomijają ten krok i wstawiają \\(35\\) lub \\(1\\) w licznik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\dfrac{1}{40}\\)) to prawdopodobieństwo wylosowania **jednej konkretnej** kuli (np. kuli nr 7). Zadanie pyta o dowolną kulę **czerwoną** - a jest ich 5, więc mnożymy przez 5.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja klasyczna\nKul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\).\n\\[P(\\text{czerwona}) = \\dfrac{5}{40} = \\dfrac{1}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne\n\\(P(\\text{biała}) = \\tfrac{35}{40} = \\tfrac{7}{8}\\).\n\\(P(\\text{czerwona}) = 1 - \\tfrac{7}{8} = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)** - być może policzono \\(\\tfrac{8}{40}\\) błędnie.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{40}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej jednej kuli.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{35}\\)** - obrócona proporcja.\n\n**Zasada:** \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}} = \\tfrac{5}{40} = \\tfrac{1}{8}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czerwonej kuli\n1. **Obliczamy całkowitą liczbę kul:** Pudełko zawiera 40 kul.\n2. **Obliczamy liczbę czerwonych kul:** Jest ich 40 - 35 = 5.\n3. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo to liczba sprzyjających zdarzeń podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba sprzyjających zdarzeń to 5 (czerwone kule), a liczba wszystkich możliwych zdarzeń to 40 (wszystkie kule). Zatem:\nP(czerwona kula) = 5/40 = 1/8\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1\n\n### Sposób 2: Użycie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego\n1. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to 35/40 = 7/8.\n2. **Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:** Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli to 1 - P(biała kula) = 1 - 7/8 = 1/8.\n\n📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 1/5:** To prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli, gdyby wszystkie kule były białe. W naszym przypadku mamy 35 białych i 5 czerwonych, więc 1/5 jest błędne.\n* **C. 1/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej kuli z 40. Chcemy prawdopodobieństwa wylosowania *czerwonej* kuli, a nie konkretnej kuli z puli.\n* **D. 35/40:** To prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli, a nie czerwonej.\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli jest zatem 1/8.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.
Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną
kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest
równe
A. 1
8
B. 1
5
C.
1
40
D.
1
35

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. 1/8; B. 1/5; C. 1/40; D. 1/35.

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria
\n

prawdopodobieństwa i kombinatoryka.
Zdający oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa (10.3).
Wersja
I
Wersja
II
A
B
Zadania otwarte
Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{1}{8}\\)

\n

Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne (zliczanie)

\n

Krok 1: Ustal przestrzeń zdarzeń elementarnych.

\n

W pudełku jest łącznie \\(40\\) kul, a każda ma jednakowe prawdopodobieństwo wylosowania. Zatem:
\\[|\\Omega| = 40\\]

\n

Krok 2: Policz kule czerwone.

\n

Skoro kul białych jest \\(35\\), to kul czerwonych jest:
\\[40 - 35 = 5\\]

\n

Krok 3: Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo klasyczne.

\n

Zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie kuli czerwonej", \\(|A| = 5\\):
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{40} = \\frac{1}{8}\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{8}\\)

\n

Sposób 2 - Frakcja bezpośrednia (intuicyjnie)

\n

Zamiast liczyć kule czerwone osobno, od razu myślimy o proporcji:

\n\n

\\[\\frac{5}{40} = \\frac{5 \\div 5}{40 \\div 5} = \\frac{1}{8}\\]

\n

Weryfikacja: \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot 40 = 5\\) - zgadza się z liczbą kul czerwonych. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Wzór stosujemy w Sposobie 1: \\(|\\Omega| = 40\\) (wszystkie kule), \\(|A| = 5\\) (kule czerwone).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B - \\(\\dfrac{1}{5}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{5}{25}\\) lub myli „5 kul czerwonych spośród białych" z \\(\\dfrac{1}{5}\\); albo błędnie zakłada 25 kul w mianowniku zamiast 40 |
| C - \\(\\dfrac{1}{40}\\) | Uczeń bierze \\(\\dfrac{1}{40}\\) - prawdopodobieństwo wylosowania konkretnej jednej kuli, zapominając, że czerwonych jest 5, nie 1 |
| D - \\(\\dfrac{1}{35}\\) | Uczeń wstawia w mianownik liczbę kul białych (\\(35\\)) zamiast łącznej liczby kul (\\(40\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\) to WSZYSTKIE kule w pudełku (\\(40\\)), nie tylko kule danego koloru. Mianownik zawsze = łączna liczba kul.
\n
⚠️ Uwaga: Najpierw oblicz liczbę kul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\). Treść podaje bezpośrednio tylko liczbę kul białych - to częsta pułapka, która sprawia, że uczniowie pomijają ten krok i wstawiają \\(35\\) lub \\(1\\) w licznik.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź C (\\(\\dfrac{1}{40}\\)) to prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej kuli (np. kuli nr 7). Zadanie pyta o dowolną kulę czerwoną - a jest ich 5, więc mnożymy przez 5.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Definicja klasyczna
\n

Kul czerwonych: \\(40 - 35 = 5\\).
\\[P(\\text{czerwona}) = \\dfrac{5}{40} = \\dfrac{1}{8}.\\]

\n
Sposób 2 - Zdarzenie przeciwne
\n

\\(P(\\text{biała}) = \\tfrac{35}{40} = \\tfrac{7}{8}\\).
\\(P(\\text{czerwona}) = 1 - \\tfrac{7}{8} = \\tfrac{1}{8}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Zasada: \\(P = \\tfrac{\\text{sprzyjające}}{\\text{wszystkie}} = \\tfrac{5}{40} = \\tfrac{1}{8}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania czerwonej kuli
\n
  1. Obliczamy całkowitą liczbę kul: Pudełko zawiera 40 kul.
  2. Obliczamy liczbę czerwonych kul: Jest ich 40 - 35 = 5.
  3. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli: Prawdopodobieństwo to liczba sprzyjających zdarzeń podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba sprzyjających zdarzeń to 5 (czerwone kule), a liczba wszystkich możliwych zdarzeń to 40 (wszystkie kule). Zatem:
\n

P(czerwona kula) = 5/40 = 1/8

\n

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1

\n
Sposób 2: Użycie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego
\n
  1. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli: Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to 35/40 = 7/8.
  2. Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli: Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli to 1 - P(biała kula) = 1 - 7/8 = 1/8.
\n

📖 Karta wzorów: Prawdop, s.29, strona 1

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli jest zatem 1/8.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej obliczamy jako stosunek liczby kul czerwonych do ogólnej liczby kul, czyli $\\displaystyle\\frac{5}{40}=\\frac{1}{8}$.

"}]}