{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiąż równanie (x^3-8)(x^2-4x-5) = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0\n(3.7).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx\n,\n1\nx\noraz\n5\nx\n, o ile nie zastosuje\nniepoprawnej metody.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zapisze dwa równania\n3\n8\n0\nx\ni\n2\n4\n5\n0\nx\nx\nlub z zapisu wynika, że rozwiązuje\nte równania\nalbo\n• wyznaczy poprawnie lub poda rozwiązania jednego z równań:\n3\n8\n0\nx\nlub\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający jedynie poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów,\nznajdzie trzy rozwiązania:\n1, 2, 5\n, ale nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania,\nto otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli na etapie przyrównywania czynników do zera jedynym błędem zdającego jest błąd\nprzy rozkładzie wielomianu\n3\n8\nx\n, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIloczyn (\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx\njest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0.\nZatem\n3\n8\n0\nx\nlub\n2\n4\n5\n0\nx\nx\nRównanie\n3\n8\n0\nx\nma jedno rozwiązanie\n2\nx\nRównanie\n2\n4\n5\n0\nx\nx\ndoprowadzamy do postaci iloczynowej (\n) (\n)\n1\n5\n0\n⋅\nx\nx\nPrzynajmniej jeden z czynników (\n)1\nx\nlub (\n)\n5\nx\njest równy 0, czyli\n1\nx\nlub\n5\nx\nZatem rozwiązaniami równania\nsą liczby:\n2\nx\n,\n1\nx\noraz\n5\nx\n2\n4\n5\n0\nx\nx\n(\n)(\n)\n3\n2\n8\n4\n5\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 2,\\ 5\\}\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 2\\), \\(x_3 = 5\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie każdego nawiasu\n\nIloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest równy zero**. Mamy więc dwa przypadki do rozwiązania niezależnie.\n\n**Przypadek A: \\(x^3 - 8 = 0\\)**\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów (Dział 6, wzory skróconego mnożenia):\n\\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\\]\n\nStąd:\n\\[(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\\]\n\n- Z \\(x - 2 = 0\\) dostajemy \\(\\boxed{x = 2}\\).\n\n- Sprawdzamy \\(x^2 + 2x + 4 = 0\\):\n\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\\]\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.**\n\n**Przypadek B: \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\)**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_{1,2} = \\frac{4 \\pm \\sqrt{36}}{2} = \\frac{4 \\pm 6}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nStąd \\(\\boxed{x = -1}\\) lub \\(\\boxed{x = 5}\\).\n\n**Wszystkie rozwiązania równania:**\n\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = 2, \\quad x = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład trójmianu na iloraz przez próbne pierwiastki\n\n**Dla czynnika \\(x^2 - 4x - 5\\):** zamiast delty, możemy próbować rozłożyć na dwa nawiasy \\((x - p)(x - q)\\), gdzie \\(p + q = 4\\) i \\(p \\cdot q = -5\\) (wzory Viète'a).\n\nSzukamy dwóch liczb, których suma to \\(4\\), a iloczyn to \\(-5\\). Próbujemy:\n\\[5 + (-1) = 4 \\quad \\checkmark, \\qquad 5 \\cdot (-1) = -5 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)\\]\n\nZ \\((x-5)(x+1) = 0\\) bezpośrednio odczytujemy: \\(x = 5\\) lub \\(x = -1\\). Szybciej niż liczenie delty!\n\n**Weryfikacja wszystkich wyników** - podstawiamy do oryginalnego równania:\n\n| \\(x\\) | \\(x^3 - 8\\) | \\(x^2 - 4x - 5\\) | Iloczyn |\n| \\(-1\\) | \\(-9\\) | \\(1+4-5 = 0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(2\\) | \\(0\\) | \\(4-8-5 = -9\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(5\\) | \\(117\\) | \\(25-20-5=0\\) | \\(0\\) ✓ |\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica sześcianów:\n\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do rozwiązania \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\) (Sposób 1) i do sprawdzenia braku rozwiązań \\(x^2 + 2x + 4 = 0\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do inteligentnego rozkładu trójmianu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^3 - 8 = 0\\) to NIE JEST \\(x^3 = 8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{8} = 2\\) - to tylko jedno z możliwych podejść (które tu działa, bo szukamy rozwiązań rzeczywistych). Zawsze warto rozłożyć na czynniki i sprawdzić, czy drugi czynnik nie daje dodatkowych rozwiązań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozłożeniu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\) wielu uczniów „zapomina\" sprawdzić drugi czynnik \\(x^2 + 2x + 4\\). Tu \\(\\Delta < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych - ale zawsze trzeba to sprawdzić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w iloczynie otrzymasz \\(x = 2\\) zarówno z jednego, jak i z drugiego nawiasu, zapisujesz go **tylko raz** jako pierwiastek - nie dubluj rozwiązań.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\n**Czynnik 1:** \\(x^3 - 8 = 0 \\Rightarrow x^3 = 8 \\Rightarrow x = 2\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\):\n\\(\\Delta = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).\n\\(x_{1,2} = \\tfrac{4 \\pm 6}{2}\\), czyli \\(x_1 = -1\\) lub \\(x_2 = 5\\).\n\nRozwiązania: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy\n\\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 4-16 < 0\\), brak rozwiązań rzeczywistych.\n\\(x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)\\).\nOstatecznie: \\(x = 2, x = 5, x = -1\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\{-1, 2, 5\\}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż równanie (
)(
)
3
2
8
4
5
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

MMA_1P
Rozwiąż równanie (x^3-8)(x^2-4x-5) = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający korzysta z własności
\n

iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x - 7) = 0
(3.7).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
2
x
,
1
x
oraz
5
x
, o ile nie zastosuje
niepoprawnej metody.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania
3
8
0
x
i
2
4
5
0
x
x
lub z zapisu wynika, że rozwiązuje
te równania
albo
• wyznaczy poprawnie lub poda rozwiązania jednego z równań:
3
8
0
x
lub
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający jedynie poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków
\n

lub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów,
\n

znajdzie trzy rozwiązania:
1, 2, 5
, ale nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli na etapie przyrównywania czynników do zera jedynym błędem zdającego jest błąd
\n

przy rozkładzie wielomianu
3
8
x
, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązanie
Iloczyn (
)(
)
3
2
8
4
5
0
x
x
x
jest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0.
Zatem
3
8
0
x
lub
2
4
5
0
x
x
Równanie
3
8
0
x
ma jedno rozwiązanie
2
x
Równanie
2
4
5
0
x
x
doprowadzamy do postaci iloczynowej (
) (
)
1
5
0
⋅
x
x
Przynajmniej jeden z czynników (
)1
x
lub (
)
5
x
jest równy 0, czyli
1
x
lub
5
x
Zatem rozwiązaniami równania
są liczby:
2
x
,
1
x
oraz
5
x
2
4
5
0
x
x
(
)(
)
3
2
8
4
5
0
x
x
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 2,\\ 5\\}\\)

\n

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 2\\), \\(x_3 = 5\\).

\n

Sposób 1 - Rozkład na czynniki + zerowanie każdego nawiasu

\n

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero. Mamy więc dwa przypadki do rozwiązania niezależnie.

\n

Przypadek A: \\(x^3 - 8 = 0\\)

\n

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów (Dział 6, wzory skróconego mnożenia):
\\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\\]

\n

Stąd:
\\[(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\\]

\n\n\n

\\[\\Delta = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\\]
Brak rozwiązań rzeczywistych.

\n

Przypadek B: \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\)

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]

\n

Pierwiastki:
\\[x_{1,2} = \\frac{4 \\pm \\sqrt{36}}{2} = \\frac{4 \\pm 6}{2}\\]
\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]

\n

Stąd \\(\\boxed{x = -1}\\) lub \\(\\boxed{x = 5}\\).

\n

Wszystkie rozwiązania równania:
\\[\\boxed{x = -1, \\quad x = 2, \\quad x = 5}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład trójmianu na iloraz przez próbne pierwiastki

\n

Dla czynnika \\(x^2 - 4x - 5\\): zamiast delty, możemy próbować rozłożyć na dwa nawiasy \\((x - p)(x - q)\\), gdzie \\(p + q = 4\\) i \\(p \\cdot q = -5\\) (wzory Viète'a).

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma to \\(4\\), a iloczyn to \\(-5\\). Próbujemy:
\\[5 + (-1) = 4 \\quad \\checkmark, \\qquad 5 \\cdot (-1) = -5 \\quad \\checkmark\\]

\n

Zatem:
\\[x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)\\]

\n

Z \\((x-5)(x+1) = 0\\) bezpośrednio odczytujemy: \\(x = 5\\) lub \\(x = -1\\). Szybciej niż liczenie delty!

\n

Weryfikacja wszystkich wyników - podstawiamy do oryginalnego równania:

\n

| \\(x\\) | \\(x^3 - 8\\) | \\(x^2 - 4x - 5\\) | Iloczyn |
| \\(-1\\) | \\(-9\\) | \\(1+4-5 = 0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(2\\) | \\(0\\) | \\(4-8-5 = -9\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(5\\) | \\(117\\) | \\(25-20-5=0\\) | \\(0\\) ✓ |

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica sześcianów:
\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]
Użyliśmy tego do rozkładu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy do rozwiązania \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\) (Sposób 1) i do sprawdzenia braku rozwiązań \\(x^2 + 2x + 4 = 0\\).

\n

Dział 7 (s. 9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do inteligentnego rozkładu trójmianu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(x^3 - 8 = 0\\) to NIE JEST \\(x^3 = 8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{8} = 2\\) - to tylko jedno z możliwych podejść (które tu działa, bo szukamy rozwiązań rzeczywistych). Zawsze warto rozłożyć na czynniki i sprawdzić, czy drugi czynnik nie daje dodatkowych rozwiązań.
\n
⚠️ Uwaga: Po rozłożeniu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\) wielu uczniów „zapomina" sprawdzić drugi czynnik \\(x^2 + 2x + 4\\). Tu \\(\\Delta < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych - ale zawsze trzeba to sprawdzić!
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli w iloczynie otrzymasz \\(x = 2\\) zarówno z jednego, jak i z drugiego nawiasu, zapisujesz go tylko raz jako pierwiastek - nie dubluj rozwiązań.
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\)

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0
\n

Czynnik 1: \\(x^3 - 8 = 0 \\Rightarrow x^3 = 8 \\Rightarrow x = 2\\).

\n

Czynnik 2: \\(x^2 - 4x - 5 = 0\\):
\\(\\Delta = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).
\\(x_{1,2} = \\tfrac{4 \\pm 6}{2}\\), czyli \\(x_1 = -1\\) lub \\(x_2 = 5\\).

\n

Rozwiązania: \\(x \\in \\{-1, 2, 5\\}\\).

\n
Sposób 2 - Rozkład iloczynowy
\n

\\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\). Drugi czynnik ma \\(\\Delta = 4-16 < 0\\), brak rozwiązań rzeczywistych.
\\(x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)\\).
Ostatecznie: \\(x = 2, x = 5, x = -1\\).

\n

Odpowiedź: \\(\\{-1, 2, 5\\}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 2$, $x = -1$ oraz $x = 5$

"}]}