{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiąż nierówność 3x^2-16x+16 > 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności\nkwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞, lub\n4\n3\n4\nx\nx\n<\n∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n( )\n2\n3\n16\n16\nf x\nx\nx\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\n• popełni\nbłędy\nprzy\nwyznaczaniu\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\n, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n4\n3\nx <\ni\n4\nx >\n,\n4\n3\nx <\noraz\n4\nx >\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n4\n3\nx =\n,\n2\n4\nx =\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n4\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n-∞\n∪\n+ ∞, (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n+∞\n∪\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n3\n16\n16\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n2\n2\n16 16\n4 3 16\n4 16\n2\n4\nΔ =\n⋅\n-⋅⋅\n⋅\n⋅\ni stąd\n1\n16 8\n4\n6\n3\nx\noraz\n2\n16 8\n6\n4\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n, stąd\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\nDrugi etap rozwiązania.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4,\\ +\\infty\\right)\\]\n\nczyli \\(x < \\frac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).\n\n## Sposób 1 - Wyróżnik i analiza znaku trójmianu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu \\(3x^2 - 16x + 16\\).**\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 16 = 256 - 192 = 64\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta = 64 > 0\\), trójmian ma **dwa różne pierwiastki rzeczywiste**:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 - \\sqrt{64}}{2 \\cdot 3} = \\frac{16 - 8}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 + 8}{6} = \\frac{24}{6} = 4\\]\n\n**Krok 2: Ustalamy kształt paraboli.**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).\n\n**Krok 3: Odczytujemy znak trójmianu.**\n\nTrójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest:\n- **ujemny** (poniżej osi \\(OX\\)) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- **dodatni** (powyżej osi \\(OX\\)) dla \\(x < x_1\\) lub \\(x > x_2\\)\n\nSzukamy \\(3x^2 - 16x + 16 > 0\\), czyli kiedy trójmian jest **dodatni**:\n\n\\[\\boxed{x < \\frac{4}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x > 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)\n\nSkoro znamy pierwiastki \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\) i \\(x_2 = 4\\), możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:\n\\[3x^2 - 16x + 16 = 3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4)\\]\n\n**Sprawdzenie rozkładu:**\n\\[3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4) = 3\\left(x^2 - 4x - \\frac{4}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3\\left(x^2 - \\frac{16}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3x^2 - 16x + 16 \\checkmark\\]\n\n**Rozwiązujemy nierówność:**\n\\[3\\underbrace{\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)}_{A}\\underbrace{(x - 4)}_{B} > 0\\]\n\nStały czynnik \\(3 > 0\\) nie zmienia znaku nierówności. Badamy znaki czynników \\(A\\) i \\(B\\):\n\n| Przedział | \\(A = x - \\frac{4}{3}\\) | \\(B = x - 4\\) | Iloczyn \\(A \\cdot B\\) |\n| \\(x < \\frac{4}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4, +\\infty\\right)\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\).\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyte w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu i analizy znaku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), trójmian jest **większy od zera NA ZEWNĄTRZ** pierwiastków (nie między nimi). Uczniowie często mylą kierunek i podają \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) - to jest odpowiedź do nierówności \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(> 0\\)), więc punkty \\(x = \\frac{4}{3}\\) i \\(x = 4\\) **nie należą** do rozwiązania. Gdyby było \\(\\geq 0\\), bralibyśmy przedziały domknięte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\Delta\\) pamiętaj, że \\(b = -16\\), więc \\(b^2 = (-16)^2 = 256\\), nie \\(-256\\). Błąd znaku tu jest bardzo częsty!\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Delta\n\\(\\Delta = 256 - 192 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 8\\).\n\\[x_{1,2} = \\dfrac{16 \\pm 8}{6}, \\quad x_1 = \\dfrac{4}{3}, \\quad x_2 = 4.\\]\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(3 > 0\\)) → parabola ramiona w górę. Nierówność \\(>0\\) zachodzi **poza** pierwiastkami:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, \\tfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_1 x_2 = \\tfrac{16}{3}\\), \\(x_1 + x_2 = \\tfrac{16}{3}\\). Dobieramy: \\(x_1 = \\tfrac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(x < \\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
3
16
16
0
x
x

\n
\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Rozwiąż nierówność 3x^2-16x+16 > 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności
\n

kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
4
3
,
4,
-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞
∪

\n\n

4
3
4
x
x
<
∨

\n
\n

albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
4
3
x =
oraz
2
4
x =
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem
( )
2
3
16
16
f x
x
x
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań
nierówności
• popełni
błędy
przy
wyznaczaniu
pierwiastków
trójmianu
kwadratowego
2
3
16
16
x
x
, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
\n

wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,
\n

to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
\n

4
3
x <
i
4
x >
,
4
3
x <
oraz
4
x >
, itp.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
4
3
x =
,
2
4
x =
i błędnie zapisze
odpowiedź, np.
(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞-
∪

\n\n

jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
x
4
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (
)
(
)
4
3
, 4
,
-∞
∪

\n\n

)
(
)
4
3
, 4
,
+∞
∪
-∞, to przyznajemy 2 punkty.
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2
3
16
16
x
x
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:
2
3
16
16
0
x
x

\n
\n

Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:
• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
3
16
16
x
x
o obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
2
2
16 16
4 3 16
4 16
2
4
Δ =
⋅
-⋅⋅
⋅
⋅
i stąd
1
16 8
4
6
3
x
oraz
2
16 8
6
4
x
albo
o stosujemy wzory Viète’a:
1
2
16
3
x
x
⋅
oraz
1
2
16
3
x
x
, stąd
1
4
3
x =
oraz
2
4
x =
Drugi etap rozwiązania.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
4
3
,
4,
-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞
∪

\n","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4,\\ +\\infty\\right)\\]

\n

czyli \\(x < \\frac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).

\n

Sposób 1 - Wyróżnik i analiza znaku trójmianu

\n

Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu \\(3x^2 - 16x + 16\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 16 = 256 - 192 = 64\\]

\n

Ponieważ \\(\\Delta = 64 > 0\\), trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 - \\sqrt{64}}{2 \\cdot 3} = \\frac{16 - 8}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{16 + 8}{6} = \\frac{24}{6} = 4\\]

\n

Krok 2: Ustalamy kształt paraboli.

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę (kształt ∪).

\n

Krok 3: Odczytujemy znak trójmianu.

\n

Trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest:

\n\n

Szukamy \\(3x^2 - 16x + 16 > 0\\), czyli kiedy trójmian jest dodatni:

\n

\\[\\boxed{x < \\frac{4}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x > 4}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (postać iloczynowa)

\n

Skoro znamy pierwiastki \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\) i \\(x_2 = 4\\), możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
\\[3x^2 - 16x + 16 = 3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4)\\]

\n

Sprawdzenie rozkładu:
\\[3\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)(x - 4) = 3\\left(x^2 - 4x - \\frac{4}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3\\left(x^2 - \\frac{16}{3}x + \\frac{16}{3}\\right) = 3x^2 - 16x + 16 \\checkmark\\]

\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\[3\\underbrace{\\left(x - \\frac{4}{3}\\right)}{A}\\underbrace{(x - 4)}{B} > 0\\]

\n

Stały czynnik \\(3 > 0\\) nie zmienia znaku nierówności. Badamy znaki czynników \\(A\\) i \\(B\\):

\n

| Przedział | \\(A = x - \\frac{4}{3}\\) | \\(B = x - 4\\) | Iloczyn \\(A \\cdot B\\) |
| \\(x < \\frac{4}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Wynik: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{4}{3}\\right) \\cup \\left(4, +\\infty\\right)\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = \\frac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\).

\n

Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyte w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu i analizy znaku.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(a > 0\\), trójmian jest większy od zera NA ZEWNĄTRZ pierwiastków (nie między nimi). Uczniowie często mylą kierunek i podają \\(\\frac{4}{3} < x < 4\\) - to jest odpowiedź do nierówności \\(< 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(> 0\\)), więc punkty \\(x = \\frac{4}{3}\\) i \\(x = 4\\) nie należą do rozwiązania. Gdyby było \\(\\geq 0\\), bralibyśmy przedziały domknięte.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\Delta\\) pamiętaj, że \\(b = -16\\), więc \\(b^2 = (-16)^2 = 256\\), nie \\(-256\\). Błąd znaku tu jest bardzo częsty!
\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Delta
\n

\\(\\Delta = 256 - 192 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 8\\).
\\[x_{1,2} = \\dfrac{16 \\pm 8}{6}, \\quad x_1 = \\dfrac{4}{3}, \\quad x_2 = 4.\\]

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(3 > 0\\)) → parabola ramiona w górę. Nierówność \\(>0\\) zachodzi poza pierwiastkami:
\\[x \\in \\left(-\\infty, \\tfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty).\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

\\(x_1 x_2 = \\tfrac{16}{3}\\), \\(x_1 + x_2 = \\tfrac{16}{3}\\). Dobieramy: \\(x_1 = \\tfrac{4}{3}\\), \\(x_2 = 4\\) ✓.

\n

Odpowiedź: \\(x < \\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x > 4\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{4}{3}\\right) \\cup (4, +\\infty)$

"}]}