Zadanie 28. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
MMA_1P
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a^2 - 2ab + 3b^2 ≥ 0.
Zadanie 28. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
mnożenia na
oraz
(2.1).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze nierówność w postaci, zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę
wyrażeń algebraicznych, będących wielokrotnościami kwadratów liczb lub
stanowiących jedną stronę wzoru skróconego mnożenia, którego druga strona jest
kwadratem, np.:
2
2
2
2
2
2
2
0
a
a
ab
b
b
≥
albo
• zapisze oszacowanie
2
2
2
2
3
2
3
2
a
ab
b
a
ab
b
≥
,
albo
• obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0, i stwierdzi,
że jest on niedodatni,
albo
• rozważa dwa przypadki: w pierwszym stwierdza, że gdy
0
ab ≤
, to nierówność jest
prawdziwa, a drugim doprowadza nierówność do postaci
2
3
a
b
b
a
≥
,
albo
• rozważa dwa przypadki: w jednym dzieli stronami nierówność przez
2
b lub przez
2
a ,
a w drugim przyjmuje, że a lub b jest równe 0, oraz w przypadku, w którym dzieli
stronami nierówność i obliczy wyróżnik otrzymanego trójmianu kwadratowego,
albo
• zapisze, że prawdziwa jest nierówność
2
2
2
2
0
a
b
≥
oraz zapisze, że prawdziwa jest
nierówność (
)
2
0
a
b
≥
i przedstawi tę nierówność w postaci równoważnej
2
2
2
0
a
ab
b
≥
,
albo
• wskaże, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
oraz zapisze jeden z dwóch poniższych komentarzy:
o nierówność (
)
2
0
a
b
<
jest nieprawdziwa;
o nierówność (
)
2
0
a
b
≥
jest prawdziwa oraz nierówność
2
2
2
2
0
a
b
<
jest
nieprawdziwa
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
(
)
2
a
b
±
2
2
a
b
Uwagi
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
\n(
)
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
b
b
lub
2
2
1
8
0
3
9
≥
a
b
b
i nie przedstawi komentarza uzasadniającego przyjmowanie wyłącznie
nieujemnych wartości przez wyrażenie zapisane po lewej stronie nierówności, to otrzymuje
1 punkt.
0
b =
lub
0
a =
, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
0
ab ≤
, to za całe rozwiązanie
może otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile wykaże prawdziwość nierówności w przypadku
0
ab >
2
2
2
0
a
ab
b
≥
zapisze
nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
i na tym zakończy, to za całe rozwiązanie otrzymuje
1 punkt.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
,
2
2
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
ab
b
b
,
(
)
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
b
b
Lewa strona nierówności jest sumą trzech liczb nieujemnych:
2
2a - jako wielokrotność
kwadratu liczby, (
)
2
a
b
2
2b - jako wielokrotność kwadratu liczby.
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
Uwaga
Całe rozumowanie można zapisać w postaci
,
co jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3
2
0
a
ab
b
a
ab
b
a
b
≥
≥
II sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
,
2
2
2
0
3
≥
a
ab
b
,
2
2
2
1
1
0
3
9
≥
a
b
b
b
,
2
2
1
8
0
3
9
≥
a
b
b
Lewa strona nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych:
2
1
3
a
b
2
8
9 b - jako wielokrotność kwadratu liczby.
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
III sposób
Wyrażenie z lewej strony jest trójmianem kwadratowym dla zmiennej a, z parametrem b.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:
(
)
2
2
2
2
2
2
4 3 3
4
36
32
Δ = -
-⋅⋅
b
b
b
b
b .
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej b.
Zatem trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków lub ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Przy
najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba dodatnia 3, zatem lewa strona
nierówności przyjmuje wartości nieujemne dla dowolnej zmiennej rzeczywistej a. Oznacza to,
że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
IV sposób
Rozważmy dwa przypadki.
1.
0
b
2.
0
≠
b
W pierwszym przypadku otrzymujemy nierówność
2
3
0
≥
a
, która jest prawdziwa dla dowolnej
liczby rzeczywistej a, bo wyrażenie po lewej stronie jest wielokrotnością kwadratu liczby.
Zatem nierówność
jest prawdziwa w przypadku, gdy
0
b
W drugim przypadku możemy podzielić obie strony nierówności
przez
2.
b
Otrzymujemy nierówność:
2
3
2
3
0
-
≥
a
a
b
b
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zmiennej x, gdzie
= a
x
b , występującego
z lewej strony nierówności:
(
)
2
2
4 3 3
4
36
32
Δ = -
-⋅⋅=
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian kwadratowy nie ma
pierwiastków rzeczywistych. Przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba
dodatnia 3, zatem lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że
nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby a i dowolnej liczby b różnej od zera.
Z rozważonych dwóch przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych
rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
V sposób (przypadki ze względu na znak ab).
Rozważmy dwa przypadki.
. Wtedy nierówność
jest prawdziwa, gdyż po jej lewej
stronie jest suma trzech nieujemnych składników
,
,
. Wtedy nierówność zapisujemy w postaci równoważnej
Obie strony tej nierówności możemy wtedy podzielić przez dodatnią liczbę
, otrzymując
nierówność
Z twierdzenia o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności wynika, że
To kończy dowód.
VI sposób (dowód nie wprost)
Załóżmy, nie wprost, że dla pewnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
0
ab ≤
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
2
3a
2ab
2
3b
0
ab >
2
2
3
3
2
a
b
ab
≥
3ab
2
3
a
b
b
a
≥
2
2
3
a
b
b
a
≥
Ponieważ
, więc nierówność ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby
, czyli
, co jest nieprawdą.
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
jest fałszywa.
Prawdziwa zatem jest nierówność:
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
To kończy dowód.
VII sposób
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności
(
)
2
0
a
b
≥
oraz
2
2
2
2
0
a
b
≥
,
czyli
2
2
2
0
a
ab
b
≥
oraz
2
2
2
2
0
a
b
≥
Dodając te nierówności stronami, co możemy zrobić, gdyż nierówności są tak samo
skierowane, otrzymujemy
2
2
2
2
2
2
2
0
a
ab
b
a
b
≥
,
czyli
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
To kończy dowód.
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
2
2
2
2
0
a
b
≥
2
2
2
0
a
ab
b
<
(
)
2
0
a
b
<
Zadanie polega na wykazaniu (dowodzie), że wyrażenie \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) jest zawsze nieujemne - dla wszystkich par liczb rzeczywistych \\(a, b\\).
\nCel: przekształcamy wyrażenie do postaci będącej sumą kwadratów - takie wyrażenia są zawsze \\(\\geq 0\\).
\nKrok 1. Spróbujmy "wyłuskać" z \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) pełny kwadrat zawierający \\(ab\\).
\nZauważamy, że \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), więc wyraz \\(-2ab\\) już mamy! Dokładamy odpowiednie współczynniki:
\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2\\]
\nKrok 2. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\n\\[(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^2\\]
\nZatem:
\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2\\]
\nKrok 3. Oszacowujemy każdy składnik:
\nZatem:
\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = \\underbrace{(a-b)^2}{\\geq\\, 0} + \\underbrace{2a^2}{\\geq\\, 0} + \\underbrace{2b^2}_{\\geq\\, 0} \\geq 0\\]
\nWniosek: Suma trzech wyrażeń nieujemnych jest nieujemna. Nierówność \\(3a^2 - 2ab + 3b^2 \\geq 0\\) jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)
\nPomysł: patrzymy na \\(3a^2 - 2ab + 3b^2\\) jako trójmian kwadratowy względem \\(a\\), gdzie \\(b\\) jest parametrem.
\nMamy postać \\(f(a) = 3a^2 - 2ba + 3b^2\\), czyli:
\\[A = 3, \\quad B = -2b, \\quad C = 3b^2\\]
Krok 1. Obliczamy wyróżnik \\(\\Delta\\):
\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 3b^2 = 4b^2 - 36b^2 = -32b^2\\]
\nKrok 2. Analizujemy znak \\(\\Delta\\):
\nKrok 3. Wyciągamy wniosek:
\nSkoro współczynnik przy \\(a^2\\) wynosi \\(A = 3 > 0\\) (ramiona paraboli skierowane w górę), a \\(\\Delta \\leq 0\\), to trójmian nie przyjmuje wartości ujemnych - jego wykres leży na osi \\(OX\\) lub powyżej niej.
\nZatem:
\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a, b \\in \\mathbb{R}\\]
\nWniosek: Nierówność jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór:
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do rozpoznania pełnego kwadratu w przekształceniu.
Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i jego zastosowanie:
\\[\\Delta = B^2 - 4AC\\]
Kluczowy fakt: jeśli \\(A > 0\\) i \\(\\Delta \\leq 0\\), to trójmian kwadratowy jest zawsze nieujemny. Użyliśmy tego w Sposobie 2.
\n⚠️ Uwaga: Samo stwierdzenie "kwadraty są nieujemne, więc wyrażenie jest nieujemne" to za mało - musisz pokazać konkretne przekształcenie algebraiczne i uzasadnić każdy krok.\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 nie zapomnij sprawdzić przypadku \\(b = 0\\) osobno (choć tu wychodzi trywialnie). Przy \\(\\Delta < 0\\) nie wolno "zapomnieć" o przypadku \\(\\Delta = 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd przy rozbijaniu na kwadraty - pomylenie współczynników. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie: \\((a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2a^2 + 2b^2 = 3a^2 - 2ab + 3b^2\\) ✓\n
Dowód.
\n\\[3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a-b)^2 + 2a^2 + 2b^2.\\]
Każdy składnik jest nieujemny (kwadrat liczby rzeczywistej \\(\\ge 0\\)), więc suma \\(\\ge 0\\). \\(\\blacksquare\\)
Dla ustalonego \\(b\\) rozważamy \\(f(a) = 3a^2 - 2ab + 3b^2\\):
\nTrójmian o dodatnim współczynniku przy \\(a^2\\) i \\(\\Delta \\le 0\\) przyjmuje wyłącznie wartości \\(\\ge 0\\). \\(\\blacksquare\\)
\nZ \\((a-b)^2 \\ge 0\\): \\(a^2 + b^2 \\ge 2ab\\).
Zatem \\(3a^2 + 3b^2 \\ge 3\\cdot 2ab = 6ab \\ge 2ab\\) (dla \\(ab \\ge 0\\)) Lepszy jest sposób 1. \\(\\blacksquare\\)
Kluczowe: rozpoznanie \\((a-b)^2\\) w wyrażeniu.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Dowód
"}]}