{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza\npunkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S\npoprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek).\nWykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nC\nB\nS\nD\nr\nr\nr\nr\nE\n\nMMA_1P\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie\no sumie kątów trójkąta (SP9.3). Zdający rozpoznaje i nazywa\ntrójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne, równoboczne\ni równoramienne (SP9.1).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta równość kątów przy podstawie w trójkątach równoramiennych BCS i ABS\noraz\n• zapisze zależność między kątami α i ABS, np.:\n2\nABS\nBAS\nα\n\n\nalbo\n• zapisze zależność między kątami α , DSA oraz dowolnym kątem trójkąta ABS\nw postaci układu dwóch równań z trzema niewiadomymi, np.: α\nγ\nβ\n=180°\ni\n4\nβ\nα\n=180° -\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli z zapisów zdającego wynikają kolejne kroki\nrozumowania.\n2. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku zależności między kątami, ale nie opatrzy rozwiązania\nstosownym wyjaśnieniem, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Tego typu sytuacje\nilustrują poniższe rysunki.\n3. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku kąty trójkątów BCS, ABS i kąt ASD i na tym\npoprzestanie, to otrzymuje 0 punktów. Tę sytuację ilustruje poniższy rysunek.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ założenia trójkąt\njest równoramienny i\n, więc\n. Zatem\n. Wynika stąd, że\n, a więc\n. Ponieważ\ntrójkąt\njest równoramienny i\n, więc\nZatem\nZauważmy, że\nOtrzymujemy zatem równanie\n,\nskąd wynika, że\nTo kończy dowód.\nCSB\nBS\nBC\nBSC\nBCS\n\n\nBCS\nACS = α\n\n\n180\n2\nCBS\nα\n°-\n\n2\nABS\nα\n\nABS\nAS\nBS\n2\nBAS\nα\n\n180\n4\nASB\nα\n°-\n\n180\nASD\nASB\nBSC\n°\n\n\n\n180\n4\n180\nASD\nα\nα\n°-\n°\n\n3\nASD\nα\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nNależy wykazać, że \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\), wiedząc że \\(\\angle ACS = \\alpha\\).\n\n## Sposób 1 - Trójkąty równoramienne (krok po kroku od C do S)\n\n**Krok 1: Trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny.**\n\nPunkt \\(B\\) leży na okręgu, więc \\(SB = r\\). Odcinek \\(BC = r\\) z treści zadania. Zatem:\n\\[SB = BC = r\\]\n\nTrójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny o ramionach \\(SB = BC\\), więc kąty przy podstawie \\(SC\\) są równe:\n\\[\\angle BCS = \\angle BSC = \\alpha\\]\n\nStąd kąt przy wierzchołku \\(B\\):\n\\[\\angle SBC = 180° - 2\\alpha\\]\n\n**Krok 2: Kąt \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\).**\n\nPunkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (w kolejności \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąty \\(\\angle SBA\\) i \\(\\angle SBC\\) są suplementarne:\n\\[\\angle SBA = 180° - \\angle SBC = 180° - (180° - 2\\alpha) = 2\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny.**\n\nPunkty \\(A\\) i \\(B\\) leżą na okręgu, więc \\(SA = SB = r\\). Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, więc:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha\\]\n\nKąt przy wierzchołku \\(S\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 2\\alpha - 2\\alpha = 180° - 4\\alpha\\]\n\n**Krok 4: Kąt \\(\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\).**\n\nPonieważ \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej, a \\(S\\) nie leży na tej prostej, promień \\(SB\\) leży wewnątrz kąta \\(\\angle ASC\\). Zatem:\n\\[\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC = (180° - 4\\alpha) + \\alpha = 180° - 3\\alpha\\]\n\n**Krok 5: Kąt \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\).**\n\nProsta \\(CS\\) przecina okrąg w punktach \\(D\\) i \\(E\\), przy czym \\(S\\) jest środkiem okręgu, więc \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(E\\). Z treści zadania \\(C\\) leży za punktem \\(E\\) poza okręgiem (kolejność na prostej: \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\)). Zatem \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(C\\), a promienie \\(SD\\) i \\(SC\\) są przeciwne. Kąty \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są suplementarne:\n\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = \\boxed{3\\alpha} \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ACS\\)\n\nKorzystamy z wyników Kroku 1 i 2 powyżej (trójkąt \\(SBC\\) równoramienny → \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\)).\n\n**Kąt \\(\\angle SAC\\):**\n\nPunkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (kolejność \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąt przy wierzchołku \\(A\\) między \\(AS\\) a prostą \\(AC\\) jest taki sam jak \\(\\angle SAB\\). Z Kroku 3 (trójkąt \\(SAB\\) równoramienny):\n\\[\\angle SAC = \\angle SAB = 2\\alpha\\]\n\n**Suma kątów trójkąta \\(ACS\\):**\n\\[\\angle ACS + \\angle SAC + \\angle ASC = 180°\\]\n\\[\\alpha + 2\\alpha + \\angle ASC = 180°\\]\n\\[\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\]\n\n**Kąt \\(\\angle ASD\\)** (tak samo jak w Sposobie 1: \\(D\\) i \\(C\\) po przeciwnych stronach \\(S\\)):\n\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = 3\\alpha \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy gotowych wzorów z karty CKE** - dowód opiera się wyłącznie na:\n\n- **Właściwości trójkąta równoramiennego** (kąty przy podstawie są równe) - to definicja/podstawowa własność, niewymagająca karty.\n- **Twierdzeniu o sumie kątów trójkąta** (suma = 180°) - podstawowy fakt geometryczny.\n- **Kątach suplementarnych** (kąty na prostej sumują się do 180°).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz do zadania to rozpoznanie **dwóch trójkątów równoramiennych** - \\(SBC\\) (bo \\(SB = BC = r\\)) i \\(SAB\\) (bo \\(SA = SB = r\\)). Bez tego spostrzeżenia nie ma skąd wziąć kąta \\(2\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność punktów na prostej \\(CS\\). Kolejność to \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\) - punkt \\(C\\) jest **poza** okręgiem, za punktem \\(E\\). Dlatego \\(S\\) leży **między** \\(D\\) i \\(C\\), co gwarantuje suplementarność kątów \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Kroku 4 korzystamy z faktu, że promień \\(SB\\) leży **wewnątrz** kąta \\(\\angle ASC\\), bo \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej (a \\(S\\) nie leży na tej prostej). Bez tego uzasadnienia nie możemy zapisać \\(\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC\\).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Łańcuch trójkątów równoramiennych\n**Krok 1 - trójkąt \\(BSC\\) równoramienny.** Z warunku \\(|BC| = r = |SB|\\), trójkąt \\(BSC\\) jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(SC\\):\n\\[\\angle BSC = \\angle BCS = \\alpha.\\]\n\n**Krok 2 - kąt \\(\\angle SBC\\):** z sumy kątów trójkąta:\n\\[\\angle SBC = 180^\\circ - 2\\alpha.\\]\n\n**Krok 3 - kąt \\(\\angle SBA\\)** (kąt przyległy, bo \\(A, B, C\\) kolinearne):\n\\[\\angle SBA = 180^\\circ - \\angle SBC = 2\\alpha.\\]\n\n**Krok 4 - trójkąt \\(ASB\\) równoramienny** (\\(|SA| = |SB| = r\\)):\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha.\\]\nKąt \\(\\angle ASB = 180^\\circ - 4\\alpha\\).\n\n**Krok 5 - kąt \\(\\angle ASC\\):** suma kątów w trójkącie \\(ASC\\):\n\\[\\angle ASC = 180^\\circ - \\angle SAC - \\angle ACS = 180^\\circ - 2\\alpha - \\alpha = 180^\\circ - 3\\alpha.\\]\n\n**Krok 6 - kąt \\(\\angle ASD\\).** Punkty \\(D\\), \\(S\\), \\(E\\), \\(C\\) są kolinearne (na prostej \\(CS\\)), przy czym \\(D\\) i \\(E\\) są po przeciwnych stronach \\(S\\). Kąt \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są kątami przyległymi:\n\\[\\angle ASD = 180^\\circ - \\angle ASC = 180^\\circ - (180^\\circ - 3\\alpha) = 3\\alpha. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Kluczowe kroki:**\n- dwa trójkąty równoramienne (z promieniami jako ramionami)\n- kąt zewnętrzny = suma kątów wewnętrznych nieprzyległych","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza
punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S
poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
C
B
S
D
r
r
r
r
E

\n

MMA_1P
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
SP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający stosuje twierdzenie
o sumie kątów trójkąta (SP9.3). Zdający rozpoznaje i nazywa
trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne, równoboczne
i równoramienne (SP9.1).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wykorzysta równość kątów przy podstawie w trójkątach równoramiennych BCS i ABS
oraz
• zapisze zależność między kątami α i ABS, np.:
2
ABS
BAS
α


albo
• zapisze zależność między kątami α , DSA oraz dowolnym kątem trójkąta ABS
w postaci układu dwóch równań z trzema niewiadomymi, np.: α
γ
β
=180°
i
4
β
α
=180° -
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi

\n
  1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli z zapisów zdającego wynikają kolejne kroki
\n

rozumowania.

\n
  1. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku zależności między kątami, ale nie opatrzy rozwiązania
\n

stosownym wyjaśnieniem, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Tego typu sytuacje
ilustrują poniższe rysunki.

\n
  1. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku kąty trójkątów BCS, ABS i kąt ASD i na tym
\n

poprzestanie, to otrzymuje 0 punktów. Tę sytuację ilustruje poniższy rysunek.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.
\n

Przykładowe rozwiązanie
Z założenia trójkąt
jest równoramienny i
, więc
. Zatem
. Wynika stąd, że
, a więc
. Ponieważ
trójkąt
jest równoramienny i
, więc
Zatem
Zauważmy, że
Otrzymujemy zatem równanie
,
skąd wynika, że
To kończy dowód.
CSB
BS
BC
BSC
BCS


BCS
ACS = α


180
2
CBS
α
°-

2
ABS
α

ABS
AS
BS
2
BAS
α

180
4
ASB
α
°-

180
ASD
ASB
BSC
°



180
4
180
ASD
α
α
°-
°

3
ASD
α

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

\n

Należy wykazać, że \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\), wiedząc że \\(\\angle ACS = \\alpha\\).

\n

Sposób 1 - Trójkąty równoramienne (krok po kroku od C do S)

\n

Krok 1: Trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny.

\n

Punkt \\(B\\) leży na okręgu, więc \\(SB = r\\). Odcinek \\(BC = r\\) z treści zadania. Zatem:
\\[SB = BC = r\\]

\n

Trójkąt \\(SBC\\) jest równoramienny o ramionach \\(SB = BC\\), więc kąty przy podstawie \\(SC\\) są równe:
\\[\\angle BCS = \\angle BSC = \\alpha\\]

\n

Stąd kąt przy wierzchołku \\(B\\):
\\[\\angle SBC = 180° - 2\\alpha\\]

\n

Krok 2: Kąt \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\).

\n

Punkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (w kolejności \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąty \\(\\angle SBA\\) i \\(\\angle SBC\\) są suplementarne:
\\[\\angle SBA = 180° - \\angle SBC = 180° - (180° - 2\\alpha) = 2\\alpha\\]

\n

Krok 3: Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny.

\n

Punkty \\(A\\) i \\(B\\) leżą na okręgu, więc \\(SA = SB = r\\). Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, więc:
\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha\\]

\n

Kąt przy wierzchołku \\(S\\):
\\[\\angle ASB = 180° - 2\\alpha - 2\\alpha = 180° - 4\\alpha\\]

\n

Krok 4: Kąt \\(\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\).

\n

Ponieważ \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej, a \\(S\\) nie leży na tej prostej, promień \\(SB\\) leży wewnątrz kąta \\(\\angle ASC\\). Zatem:
\\[\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC = (180° - 4\\alpha) + \\alpha = 180° - 3\\alpha\\]

\n

Krok 5: Kąt \\(\\angle ASD = 3\\alpha\\).

\n

Prosta \\(CS\\) przecina okrąg w punktach \\(D\\) i \\(E\\), przy czym \\(S\\) jest środkiem okręgu, więc \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(E\\). Z treści zadania \\(C\\) leży za punktem \\(E\\) poza okręgiem (kolejność na prostej: \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\)). Zatem \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(C\\), a promienie \\(SD\\) i \\(SC\\) są przeciwne. Kąty \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są suplementarne:
\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = \\boxed{3\\alpha} \\quad \\blacksquare\\]

\n

Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ACS\\)

\n

Korzystamy z wyników Kroku 1 i 2 powyżej (trójkąt \\(SBC\\) równoramienny → \\(\\angle SBA = 2\\alpha\\)).

\n

Kąt \\(\\angle SAC\\):

\n

Punkty \\(A, B, C\\) są współliniowe (kolejność \\(A\\text{-}B\\text{-}C\\)), więc kąt przy wierzchołku \\(A\\) między \\(AS\\) a prostą \\(AC\\) jest taki sam jak \\(\\angle SAB\\). Z Kroku 3 (trójkąt \\(SAB\\) równoramienny):
\\[\\angle SAC = \\angle SAB = 2\\alpha\\]

\n

Suma kątów trójkąta \\(ACS\\):
\\[\\angle ACS + \\angle SAC + \\angle ASC = 180°\\]
\\[\\alpha + 2\\alpha + \\angle ASC = 180°\\]
\\[\\angle ASC = 180° - 3\\alpha\\]

\n

Kąt \\(\\angle ASD\\) (tak samo jak w Sposobie 1: \\(D\\) i \\(C\\) po przeciwnych stronach \\(S\\)):
\\[\\angle ASD = 180° - \\angle ASC = 180° - (180° - 3\\alpha) = 3\\alpha \\quad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy gotowych wzorów z karty CKE - dowód opiera się wyłącznie na:

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Klucz do zadania to rozpoznanie dwóch trójkątów równoramiennych - \\(SBC\\) (bo \\(SB = BC = r\\)) i \\(SAB\\) (bo \\(SA = SB = r\\)). Bez tego spostrzeżenia nie ma skąd wziąć kąta \\(2\\alpha\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kolejność punktów na prostej \\(CS\\). Kolejność to \\(D\\text{-}S\\text{-}E\\text{-}C\\) - punkt \\(C\\) jest poza okręgiem, za punktem \\(E\\). Dlatego \\(S\\) leży między \\(D\\) i \\(C\\), co gwarantuje suplementarność kątów \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Kroku 4 korzystamy z faktu, że promień \\(SB\\) leży wewnątrz kąta \\(\\angle ASC\\), bo \\(B\\) leży między \\(A\\) i \\(C\\) na prostej (a \\(S\\) nie leży na tej prostej). Bez tego uzasadnienia nie możemy zapisać \\(\\angle ASC = \\angle ASB + \\angle BSC\\).
\n

Dowód.

\n
Sposób 1 - Łańcuch trójkątów równoramiennych
\n

Krok 1 - trójkąt \\(BSC\\) równoramienny. Z warunku \\(|BC| = r = |SB|\\), trójkąt \\(BSC\\) jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(SC\\):
\\[\\angle BSC = \\angle BCS = \\alpha.\\]

\n

Krok 2 - kąt \\(\\angle SBC\\): z sumy kątów trójkąta:
\\[\\angle SBC = 180^\\circ - 2\\alpha.\\]

\n

Krok 3 - kąt \\(\\angle SBA\\) (kąt przyległy, bo \\(A, B, C\\) kolinearne):
\\[\\angle SBA = 180^\\circ - \\angle SBC = 2\\alpha.\\]

\n

Krok 4 - trójkąt \\(ASB\\) równoramienny (\\(|SA| = |SB| = r\\)):
\\[\\angle SAB = \\angle SBA = 2\\alpha.\\]
Kąt \\(\\angle ASB = 180^\\circ - 4\\alpha\\).

\n

Krok 5 - kąt \\(\\angle ASC\\): suma kątów w trójkącie \\(ASC\\):
\\[\\angle ASC = 180^\\circ - \\angle SAC - \\angle ACS = 180^\\circ - 2\\alpha - \\alpha = 180^\\circ - 3\\alpha.\\]

\n

Krok 6 - kąt \\(\\angle ASD\\). Punkty \\(D\\), \\(S\\), \\(E\\), \\(C\\) są kolinearne (na prostej \\(CS\\)), przy czym \\(D\\) i \\(E\\) są po przeciwnych stronach \\(S\\). Kąt \\(\\angle ASD\\) i \\(\\angle ASC\\) są kątami przyległymi:
\\[\\angle ASD = 180^\\circ - \\angle ASC = 180^\\circ - (180^\\circ - 3\\alpha) = 3\\alpha. \\quad \\blacksquare\\]

\n

Kluczowe kroki:

\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}