{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była\nrówna 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów\no 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku\nzmniejszyła się o\nA. 1%\nB. 25%\nC. 33%\nD. 75%\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1%; B. 25\\%; C. 33%; D. 75%.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje\nobliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk\nz lokat (1.9).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(25\\%\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie procentowe zmiany\n\n**Pytanie brzmi: o ile procent zmalała prowizja?**\n\nKluczowe rozróżnienie: pytanie NIE pyta o to, ile punktów procentowych zmalała prowizja (to wiemy od razu - o 1 punkt procentowy). Pytanie pyta o **procentową zmianę samej prowizji**.\n\nDane:\n- Prowizja w styczniu: \\(4\\%\\)\n- Obniżka: \\(1\\) punkt procentowy\n- Prowizja w lutym: \\(4\\% - 1\\% = 3\\%\\)\n\nZmiana procentowa prowizji:\n\\[\\text{zmiana} = \\frac{\\text{wartość stara} - \\text{wartość nowa}}{\\text{wartość stara}} \\cdot 100\\%\\]\n\n\\[\\text{zmiana} = \\frac{4\\% - 3\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{4} \\cdot 100\\% = \\mathbf{25\\%}\\]\n\n**Prowizja zmniejszyła się o \\(25\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - przez konkretną kwotę kredytu\n\nPodstawmy przykładowy kredyt o wartości \\(100\\,000\\) zł, żeby zobaczyć to na liczbach.\n\n- Prowizja w styczniu: \\(4\\% \\cdot 100\\,000 = 4\\,000\\) zł\n- Prowizja w lutym: \\(3\\% \\cdot 100\\,000 = 3\\,000\\) zł\n- Różnica: \\(4\\,000 - 3\\,000 = 1\\,000\\) zł\n\nO ile procent zmalała prowizja?\n\\[\\frac{1\\,000}{4\\,000} \\cdot 100\\% = 25\\%\\]\n\n**Wynik ten sam: prowizja zmalała o \\(25\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentowej zmiany wartości i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(1\\%\\) | Mylenie **punktów procentowych** z **procentami** - obniżka wyniosła 1 punkt procentowy, ale to NIE znaczy, że prowizja zmalała o \\(1\\%\\) |\n| C. \\(33\\%\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{4}\\) - ktoś podzielił przez nową wartość prowizji (\\(3\\%\\)) zamiast przez starą (\\(4\\%\\)): \\(\\frac{1}{3} \\approx 33\\%\\) |\n| D. \\(75\\%\\) | Obliczono, jaką częścią starej prowizji jest NOWA prowizja: \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) - to ile prowizja wynosi po zmianie, a nie o ile zmalała |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Punkt procentowy ≠ procent!** Obniżka o 1 punkt procentowy (z 4% na 3%) to zupełnie coś innego niż obniżka o 1% wartości prowizji. To klasyczna pułapka w zadaniach finansowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu zmiany procentowej zawsze dziel przez **wartość wyjściową (starą)**, nie przez nową. Pomylenie mianownika to najczęstszy błąd - stąd odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(75\\%\\)) kusi, bo \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) jest łatwe do policzenia - ale to informacja o tym, ile prowizja *pozostała*, a nie o ile *zmalała*.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zmiana względna\nStara prowizja: \\(4\\%\\). Nowa: \\(4\\% - 1\\text{ pp} = 3\\%\\).\nSpadek względny:\n\\[\\dfrac{4\\% - 3\\%}{4\\%} = \\dfrac{1}{4} = 25\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nZmniejszenie z \\(4\\%\\) do \\(3\\%\\) to \\(\\tfrac{3}{4} = 75\\%\\) pierwotnej wartości, czyli spadek o \\(100\\% - 75\\% = 25\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\%\\)** - to **punkt procentowy**, nie procent. Różne pojęcia!\n- **C. \\(33\\%\\)** - byłoby gdyby wzięto \\(\\tfrac{1}{3}\\); źle policzony stosunek.\n- **D. \\(75\\%\\)** - to **pozostała** część prowizji, nie spadek.\n\n**Kluczowe rozróżnienie:** \"\\(1\\) punkt procentowy\" to bezwzględna różnica procentów. \"O \\(X\\%\\)\" to względny spadek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza zmian prowizji\nRozważmy, jak zmieniła się prowizja. Początkowo prowizja wynosiła 4%, a następnie obniżono ją o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja obniżyła się o 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1%\n* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%\n\nTo nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.\n\nPoczątkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1 punkt procentowy (czyli 1%)\n* Nowa prowizja: 4% - 1% = 3%\n\n**Sposób 2: Obliczenie procentowego zmniejszenia**\n\nZmniejszenie prowizji o 1 punkt procentowy oznacza, że prowizja zmniejszyła się o 1% wartości początkowej prowizji, która wynosiła 4%.\n\nZatem, zmniejszenie wynosi: 1% z 4% = 0.01 * 0.04 = 0.004 = 0.4%\n\nTo nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.\n\nPoczątkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o (4% - 3%) = 1%.\n\n* Początkowa prowizja: 4%\n* Obniżenie: 1%\n* Nowa prowizja: 3%\n* Zmniejszenie: 4% - 3% = 1%\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 10 (Procent składany)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 1%** - Prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.\n* **C. 33%** - To jest absurdalnie wysoka wartość zmniejszenia, która nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **D. (na zdjęciu)** - Nie ma tutaj żadnego wzoru.\n\nPrawidłowa odpowiedź to B, ponieważ prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była
równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów
o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku
zmniejszyła się o
A. 1%
B. 25%
C. 33%
D. 75%
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1%; B. 25\\%; C. 33%; D. 75%.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykonuje
\n

obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk
z lokat (1.9).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(25\\%\\)

\n

Sposób 1 - obliczenie procentowe zmiany

\n

Pytanie brzmi: o ile procent zmalała prowizja?

\n

Kluczowe rozróżnienie: pytanie NIE pyta o to, ile punktów procentowych zmalała prowizja (to wiemy od razu - o 1 punkt procentowy). Pytanie pyta o procentową zmianę samej prowizji.

\n

Dane:

\n\n

Zmiana procentowa prowizji:
\\[\\text{zmiana} = \\frac{\\text{wartość stara} - \\text{wartość nowa}}{\\text{wartość stara}} \\cdot 100\\%\\]

\n

\\[\\text{zmiana} = \\frac{4\\% - 3\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1\\%}{4\\%} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{4} \\cdot 100\\% = \\mathbf{25\\%}\\]

\n

Prowizja zmniejszyła się o \\(25\\%\\).

\n

Sposób 2 - przez konkretną kwotę kredytu

\n

Podstawmy przykładowy kredyt o wartości \\(100\\,000\\) zł, żeby zobaczyć to na liczbach.

\n\n

O ile procent zmalała prowizja?
\\[\\frac{1\\,000}{4\\,000} \\cdot 100\\% = 25\\%\\]

\n

Wynik ten sam: prowizja zmalała o \\(25\\%\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentowej zmiany wartości i podstawowe działania arytmetyczne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(1\\%\\) | Mylenie punktów procentowych z procentami - obniżka wyniosła 1 punkt procentowy, ale to NIE znaczy, że prowizja zmalała o \\(1\\%\\) |
| C. \\(33\\%\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{4}\\) - ktoś podzielił przez nową wartość prowizji (\\(3\\%\\)) zamiast przez starą (\\(4\\%\\)): \\(\\frac{1}{3} \\approx 33\\%\\) |
| D. \\(75\\%\\) | Obliczono, jaką częścią starej prowizji jest NOWA prowizja: \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) - to ile prowizja wynosi po zmianie, a nie o ile zmalała |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Punkt procentowy ≠ procent! Obniżka o 1 punkt procentowy (z 4% na 3%) to zupełnie coś innego niż obniżka o 1% wartości prowizji. To klasyczna pułapka w zadaniach finansowych.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu zmiany procentowej zawsze dziel przez wartość wyjściową (starą), nie przez nową. Pomylenie mianownika to najczęstszy błąd - stąd odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź D (\\(75\\%\\)) kusi, bo \\(\\frac{3}{4} = 75\\%\\) jest łatwe do policzenia - ale to informacja o tym, ile prowizja pozostała, a nie o ile zmalała.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Zmiana względna
\n

Stara prowizja: \\(4\\%\\). Nowa: \\(4\\% - 1\\text{ pp} = 3\\%\\).
Spadek względny:
\\[\\dfrac{4\\% - 3\\%}{4\\%} = \\dfrac{1}{4} = 25\\%.\\]

\n
Sposób 2 - Proporcja
\n

Zmniejszenie z \\(4\\%\\) do \\(3\\%\\) to \\(\\tfrac{3}{4} = 75\\%\\) pierwotnej wartości, czyli spadek o \\(100\\% - 75\\% = 25\\%\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Kluczowe rozróżnienie: "\\(1\\) punkt procentowy" to bezwzględna różnica procentów. "O \\(X\\%\\)" to względny spadek.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Analiza zmian prowizji
\n

Rozważmy, jak zmieniła się prowizja. Początkowo prowizja wynosiła 4%, a następnie obniżono ją o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja obniżyła się o 1%.

\n\n

To nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.

\n

Początkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o 1%.

\n\n

Sposób 2: Obliczenie procentowego zmniejszenia

\n

Zmniejszenie prowizji o 1 punkt procentowy oznacza, że prowizja zmniejszyła się o 1% wartości początkowej prowizji, która wynosiła 4%.

\n

Zatem, zmniejszenie wynosi: 1% z 4% = 0.01 * 0.04 = 0.004 = 0.4%

\n

To nie jest poprawne. Musimy obliczyć, o ile procent zmniejszyła się prowizja.

\n

Początkowa prowizja to 4%, a po obniżeniu prowizja wynosi 4% - 1% = 3%. Zatem, prowizja zmniejszyła się o (4% - 3%) = 1%.

\n\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 10 (Procent składany)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Prawidłowa odpowiedź to B, ponieważ prowizja zmniejszyła się o 1%, a nie o 1% wartości początkowej prowizji.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od określenia wysokości prowizji przed obniżką. Prowizja wynosiła 4\\%.
  2. Obliczamy nową wysokość prowizji po obniżeniu. Nowa prowizja wynosi:
\n

$$ 4\\% - 1\\% = 3\\% $$

\n
  1. Teraz obliczamy, o ile procent zmniejszyła się prowizja.
\n

Wysokość zmiany to:
$$ 4\\% - 3\\% = 1\\% $$

\n
  1. Możemy obliczyć, jaki procent stanowi ta zmiana wobec pierwotnej wysokości prowizji:
\n

$$ \\frac{1\\%}{4\\%} \\times 100\\% = 25\\% $$

\n
  1. W rezultacie prowizja zmniejszyła się o 25\\%.
\n

Odpowiedź: 25\\%

"}]}