Zadanie 30. (0-2)
Ze zbioru liczb {
}
1, 2, 3, 4, 5 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą.
Odpowiedź:
MMA_1P
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 30. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.
i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję
prawdopodobieństwa (10.3).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
9
( )
25
P A =
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
25
25
Ω =
albo
• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A :
9
A =
i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A,
albo
• zapisze
przy
stosowaniu
drzewa
probabilistycznego
na
dwóch
etapach
prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże
wszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze
wszystkie zdarzenia elementarne
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi
dużo, ale nie wypisze żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy
prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.
( )
1
lub
( )
0
P A
P A
<
, to otrzymuje
za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu
w działaniach na ułamkach.
odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie jedną
z takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do końca.
9
( )
25
P A
, to otrzymuje 1 punkt.
9
A =
,
25
Ω =
,
9
( )
25
P A
, to otrzymuje 2 punkty.
3 3
( )
5 5
P A =
⋅
, to otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe rozwiązania
I sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb (
)
,a b , gdzie
{
}
,
1, 2, 3, 4, 5
a b∈
Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
5 5
25
Ω = ⋅=
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym
na otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5
A =
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
( )
9
25
P A =
II sposób (metoda tabeli)
Wszystkie zdarzenia elementarne możemy
przedstawić w postaci kwadratowej tablicy.
albo
Stąd
5 5
25
Ω = ⋅=
Jest to model klasyczny.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone
w drugiej.
Jest ich 9. Zatem
( )
9
25
P A =
(
)
1,1 (
)
1,2 (
)
1,3
(
)
1,4
(
)
1,5
(
)
2,1 (
)
2,2 (
)
2,3 (
)
2,4 (
)
2,5
(
)
3,1 (
)
3,2 (
)
3,3
(
)
3,4 (
)
3,5
(
)
4,1 (
)
4,2 (
)
4,3 (
)
4,4 (
)
4,5
(
)
5,1 (
)
5,2 (
)
5,3
(
)
5,4 (
)
5,5
1 2
3 4 5
1
X
X
X
2
3
X
X
X
4
5
X
X
X
III sposób (metoda drzewka)
Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
P - oznacza liczbę parzystą, N - nieparzystą.
Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste.
W rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie
liczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem
wymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.
Czyli
( )
3 3
9
5 5
25
⋅
P A
P
N
P
N
P
N
3
5
3
5
3
5
2
5
2
5
2
5
Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.
\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem z 5-elementowego zbioru, więc każde losowanie jest niezależne i daje 5 możliwości.
\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]
\nKrok 2: Kiedy iloczyn jest nieparzysty?
\nIloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.
\nWystarczy, że choć jedna liczba jest parzysta - iloczyn od razu staje się parzysty.\n
Krok 3: Liczymy liczby nieparzyste w zbiorze.
\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5\\}\\):
\nKrok 4: Liczymy zdarzenia sprzyjające.
\nPotrzebujemy, by pierwsze losowanie dało liczbę nieparzystą (3 możliwości) i drugie losowanie dało liczbę nieparzystą (3 możliwości):
\n\\[|A| = 3 \\cdot 3 = 9\\]
\nKrok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.
\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{9}{25}}\\]
\nDefiniujemy zdarzenia:
\nPonieważ losujemy ze zwracaniem, losowania są niezależne, więc:
\n\\[P(B_1) = \\frac{3}{5}, \\qquad P(B_2) = \\frac{3}{5}\\]
\nZdarzenie \\(A = B_1 \\cap B_2\\), więc z niezależności:
\n\\[P(A) = P(B_1) \\cdot P(B_2) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nGdybyśmy losowali bez zwracania, zdarzenia NIE byłyby niezależne i musielibyśmy użyć prawdopodobieństwa warunkowego. Zwracanie jest tu kluczowe!\n
Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - klasyczna definicja:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(P(A) = \\frac{9}{25}\\).
Dział 14 (s. 29-30) - prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A \\cap B\\) dla zdarzeń niezależnych:
\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw obu losowań.
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to założenie, że "iloczyn nieparzysty" wystarczy, by jedna liczba była nieparzysta. Nie - muszą być nieparzyste obie! Np. \\(3 \\times 4 = 12\\) - parzyste.\n
⚠️ Uwaga: Drugie słowo kluczowe w treści to "ze zwracaniem" - oznacza, że po pierwszym losowaniu wkładamy liczbę z powrotem, więc zbiór nie zmienia się i oba losowania są niezależne. Bez zwracania wynik byłby inny: \\(\\frac{3}{5} \\cdot \\frac{2}{4} = \\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\).\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić "iloczyn nieparzysty" z "suma nieparzysta". Suma jest nieparzysta, gdy jedna liczba jest parzysta, a druga nieparzysta - zupełnie inny warunek!\n
Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{25}\\)
\nIloczyn liczb jest nieparzysty, gdy obie są nieparzyste.
\nNieparzyste w \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\): \\(\\{1, 3, 5\\}\\) - 3 liczby.
\\(P(\\text{1. nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}\\), \\(P(\\text{2. nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}\\) (ze zwracaniem, niezależne).
\\[P(A) = \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}.\\]
\n\\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).
Pary \\((x,y)\\) z obiema nieparzystymi: \\(3\\cdot 3 = 9\\).
\\[P(A) = \\tfrac{9}{25}.\\]
Można narysować tabelę \\(5\\times 5\\) i zaznaczyć komórki z nieparzystym iloczynem (9 komórek).
\nOdpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{25}\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$P(A) = \\dfrac{9}{25}$
"}]}