{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu\nma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze\n(zobacz rysunek). Oblicz\ndługość przekątnej BD tego trapezu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n30°\nD\nC\nA\nB\n4\n8\n\nMMA_1P\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych,\nw tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi. (7.4).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:\n68\n2 17\nBD =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wysokość trapezu:\n2\nAD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na\nniepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym\nzinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,\nlub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy\nwyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może\notrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n30\n°\nACD\n, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem\n1\n1\n2\n2 4\n2\n⋅\n⋅\nAD\nAC\nTrójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa\n2\n2\n2\nBD\nAD\nAB .\nStąd otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n8\n68\nBD\nZatem\n68\n2 17\nBD\nUwaga\nWysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.\n1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1\n1\n2\n2\n8 4 sin30\n8\n⋅⋅⋅\n° =\n⋅⋅AD .\n2. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:\nsin30\n°\nAD\nAC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(BD = 2\\sqrt{17}\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt ACD i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Ustalamy układ i kąty w trapezie.**\n\nTrapez prostokątny \\(ABCD\\): \\(AB = 8\\) (dłuższa podstawa, dół), \\(DC\\) - krótsza podstawa (góra). Kąt prosty w trapezie jest przy wierzchołku \\(A\\), czyli:\n\\[AD \\perp AB\\]\n\nPonieważ \\(DC \\parallel AB\\), mamy też:\n\\[AD \\perp DC\\]\n\n**Trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny** (kąt prosty przy \\(D\\)).\n\n**Wyznaczamy wysokość trapezu i długość krótszej podstawy.**\n\nPrzekątna \\(AC = 4\\) tworzy z \\(DC\\) kąt \\(30°\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):\n\n\\[AD = AC \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n\\[DC = AC \\cdot \\cos 30° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nZatem **wysokość trapezu** \\(h = AD = 2\\).\n\n**Wyznaczamy przekątną \\(BD\\).**\n\nW trójkącie \\(ABD\\):\n- \\(AB = 8\\)\n- \\(AD = 2\\)\n- kąt \\(\\angle DAB = 90°\\) (kąt prosty trapezu)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{8^2 + 2^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = \\sqrt{4 \\cdot 17}\\]\n\n\\[\\boxed{BD = 2\\sqrt{17}}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie\n\nWprowadzamy układ współrzędnych:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (8, 0), \\quad D = (0, 2), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\, 2)\\]\n\n**Weryfikacja warunków:**\n\n- \\(AB = 8\\) ✓\n- \\(AD = 2\\), \\(DC = 2\\sqrt{3} < 8\\) → \\(DC\\) krótsza ✓\n- \\(AC = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12 + 4} = \\sqrt{16} = 4\\) ✓\n- Kąt między \\(AC\\) a \\(DC\\) przy \\(C\\):\n\n\\[\\cos(\\angle DCA) = \\frac{\\vec{CD} \\cdot \\vec{CA}}{|CD||CA|} = \\frac{(-2\\sqrt{3})(-2\\sqrt{3}) + 0 \\cdot (-2)}{2\\sqrt{3} \\cdot 4} = \\frac{12}{8\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[\\angle DCA = 30°\\] ✓\n\n**Obliczamy \\(BD\\):**\n\\[BD = \\sqrt{(8-0)^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte dwukrotnie: do wyznaczenia \\(AD\\), \\(DC\\) z trójkąta \\(ACD\\) oraz do obliczenia \\(BD\\) z trójkąta \\(ABD\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte do odczytania \\(AD = AC\\cdot\\sin 30°\\) i \\(DC = AC\\cdot\\cos 30°\\).\n\n**Dział 9 (s. 12)** - wartości dla kąta \\(30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) tworzy \\(AC\\) z **krótszą podstawą** \\(DC\\), nie z dłuższą \\(AB\\). Pomylenie tego prowadzi do użycia niewłaściwej przyprostokątnej w obliczeniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trapez jest **prostokątny**, więc kąt przy \\(A\\) to \\(90°\\), a trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(D\\) - bo \\(AD \\perp DC\\) (obie prostopadłe do \\(AB\\), które jest równoległe do \\(DC\\)). Bez dostrzeżenia tego prostokąta zadanie komplikuje się bez potrzeby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\), nie \\(4\\sqrt{4}\\) - warto rozłożyć pod pierwiastkiem: \\(68 = 4 \\cdot 17\\).\n\n**Odpowiedź: \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\)**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ADC\\)\nTrapez prostokątny: \\(AD \\perp AB\\), \\(AD \\perp DC\\) (ramię \\(AD\\) prostopadłe do podstaw).\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(ADC\\).** W nim: \\(\\angle ADC = 90^\\circ\\), \\(\\angle ACD = 30^\\circ\\), \\(|AC| = 4\\).\n\\[|AD| = |AC|\\sin(\\angle ACD) = 4\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]\n\n**Krok 2 - trójkąt \\(ABD\\).** Prostokątny przy \\(A\\): \\(|AB| = 8\\), \\(|AD| = 2\\).\n\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{64+4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}.\\]\n\n### Sposób 2 - Długości + Pitagoras\nZ trójkąta \\(ADC\\): \\(|AD| = 2\\), \\(|DC| = 4\\cos 30^\\circ = 2\\sqrt{3}\\).\nZ trójkąta \\(ABD\\) prostokątnego: \\(|BD|^2 = 64+4 = 68\\).\n\\(|BD| = 2\\sqrt{17} \\approx 8{,}25\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu
ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze
(zobacz rysunek). Oblicz
długość przekątnej BD tego trapezu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
30°
D
C
A
B
4
8

\n

MMA_1P
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji
\n

trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych,
w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch
bokach i kącie między nimi. (7.4).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:
68
2 17
BD =
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze wysokość trapezu:
2
AD =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na
\n

niepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym
zinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,
lub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy
\n

wyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może
otrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ
30
°
ACD
, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem
1
1
2
2 4
2
⋅
⋅
AD
AC
Trójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa
2
2
2
BD
AD
AB .
Stąd otrzymujemy
2
2
2
2
8
68
BD
Zatem
68
2 17
BD
Uwaga
Wysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.

\n
  1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1
\n

1
2
2
8 4 sin30
8
⋅⋅⋅
° =
⋅⋅AD .

\n
  1. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:
\n

sin30
°
AD
AC

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(BD = 2\\sqrt{17}\\)

\n

Sposób 1 - Trójkąt ACD i twierdzenie Pitagorasa

\n

Ustalamy układ i kąty w trapezie.

\n

Trapez prostokątny \\(ABCD\\): \\(AB = 8\\) (dłuższa podstawa, dół), \\(DC\\) - krótsza podstawa (góra). Kąt prosty w trapezie jest przy wierzchołku \\(A\\), czyli:
\\[AD \\perp AB\\]

\n

Ponieważ \\(DC \\parallel AB\\), mamy też:
\\[AD \\perp DC\\]

\n

Trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(D\\)).

\n

Wyznaczamy wysokość trapezu i długość krótszej podstawy.

\n

Przekątna \\(AC = 4\\) tworzy z \\(DC\\) kąt \\(30°\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):

\n

\\[AD = AC \\cdot \\sin 30° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]

\n

\\[DC = AC \\cdot \\cos 30° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]

\n

Zatem wysokość trapezu \\(h = AD = 2\\).

\n

Wyznaczamy przekątną \\(BD\\).

\n

W trójkącie \\(ABD\\):

\n\n

Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{8^2 + 2^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = \\sqrt{4 \\cdot 17}\\]

\n

\\[\\boxed{BD = 2\\sqrt{17}}\\]

\n

Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie

\n

Wprowadzamy układ współrzędnych:
\\[A = (0, 0), \\quad B = (8, 0), \\quad D = (0, 2), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\, 2)\\]

\n

Weryfikacja warunków:

\n\n

\\[\\cos(\\angle DCA) = \\frac{\\vec{CD} \\cdot \\vec{CA}}{|CD||CA|} = \\frac{(-2\\sqrt{3})(-2\\sqrt{3}) + 0 \\cdot (-2)}{2\\sqrt{3} \\cdot 4} = \\frac{12}{8\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[\\angle DCA = 30°\\] ✓

\n

Obliczamy \\(BD\\):
\\[BD = \\sqrt{(8-0)^2 + (0-2)^2} = \\sqrt{64 + 4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\] ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte dwukrotnie: do wyznaczenia \\(AD\\), \\(DC\\) z trójkąta \\(ACD\\) oraz do obliczenia \\(BD\\) z trójkąta \\(ABD\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Użyte do odczytania \\(AD = AC\\cdot\\sin 30°\\) i \\(DC = AC\\cdot\\cos 30°\\).

\n

Dział 9 (s. 12) - wartości dla kąta \\(30°\\):
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(30°\\) tworzy \\(AC\\) z krótszą podstawą \\(DC\\), nie z dłuższą \\(AB\\). Pomylenie tego prowadzi do użycia niewłaściwej przyprostokątnej w obliczeniach.
\n
⚠️ Uwaga: Trapez jest prostokątny, więc kąt przy \\(A\\) to \\(90°\\), a trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(D\\) - bo \\(AD \\perp DC\\) (obie prostopadłe do \\(AB\\), które jest równoległe do \\(DC\\)). Bez dostrzeżenia tego prostokąta zadanie komplikuje się bez potrzeby.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}\\), nie \\(4\\sqrt{4}\\) - warto rozłożyć pod pierwiastkiem: \\(68 = 4 \\cdot 17\\).
\n

Odpowiedź: \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\)

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ADC\\)
\n

Trapez prostokątny: \\(AD \\perp AB\\), \\(AD \\perp DC\\) (ramię \\(AD\\) prostopadłe do podstaw).

\n

Krok 1 - trójkąt \\(ADC\\). W nim: \\(\\angle ADC = 90^\\circ\\), \\(\\angle ACD = 30^\\circ\\), \\(|AC| = 4\\).
\\[|AD| = |AC|\\sin(\\angle ACD) = 4\\sin 30^\\circ = 4\\cdot\\tfrac{1}{2} = 2.\\]

\n

Krok 2 - trójkąt \\(ABD\\). Prostokątny przy \\(A\\): \\(|AB| = 8\\), \\(|AD| = 2\\).
\\[|BD| = \\sqrt{|AB|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{64+4} = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}.\\]

\n
Sposób 2 - Długości + Pitagoras
\n

Z trójkąta \\(ADC\\): \\(|AD| = 2\\), \\(|DC| = 4\\cos 30^\\circ = 2\\sqrt{3}\\).
Z trójkąta \\(ABD\\) prostokątnego: \\(|BD|^2 = 64+4 = 68\\).
\\(|BD| = 2\\sqrt{17} \\approx 8{,}25\\).

\n

Odpowiedź: \\(|BD| = 2\\sqrt{17}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|BD| = 2\\sqrt{17}$

"}]}