{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDany jest punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n. Prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka\nAB Wyznacz\nwspółrzędne punktu .\nB\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nDany jest punkt A = (-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do\nprostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany\npunkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych (8.4). Zdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.5).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.\n18\n6\n2\n5\nB\nx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną\nszukanego punktu B , np.\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx +\nlub\n(\n)\n3 12\n3\n32 10\n5\n10\ny\ny\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AB:\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\nalbo\n• obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\n,\nalbo\n• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB\nw zależności od jednej zmiennej, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n18\n3\n10\nx\nx\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca\nB odcinka AB:\n(\n)\n10\n18\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nS\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nd) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\ne) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej\nprzez punkt A :\n1\n3\ny\nx\nb\nPunkt A należy do prostej\n1\n3\ny\nx\nb\n, więc\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ . Stąd\n4\nb =\nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n3\ny\nx\ni prostej AB:\n1\n3\n3\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\nWtedy\n1\n3\n3\n4\nx\nx\nZatem\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n, czyli\n6 18\n,\n5\n5\nS\n\n\n= \n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc\n18\n6\n2\n5\nB\nx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nStąd\n102\n5\nB\nx =\ni\n14\n5\nB\ny = -\n, czyli\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:\n1\n3\ny\nx\nb\nWtedy\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ , stąd\n4\nb =\n. Zatem równanie prostej AB ma postać:\n1\n3\n4\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nObliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu\n3\ny\nx\n:\n(\n)\n3\n18\n1 10\n32 10\n5\n10\n⋅-\n-⋅\nPonieważ prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\njest także równa 32 10\n5\nZatem otrzymujemy równanie:\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx +\n, stąd 10\n3\n4\n64\nx -\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n10\n3\n4\n64\nx -\nlub 10\n3\n4\n64\nx -\nStąd\n102\n5\nx =\nlub\n18\nx = -\nObliczamy współrzędne punktu\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n3\n4\ny\nx\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n3\ny\nx\n, na której leży punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n, obliczyć odległość\n32 10\n5\nd =\npunktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n32 10\n18\n3\n10\n5\nx\nx\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.\nIII sposób\nNiech\n(\n)\n,\nB\nx y\nbędzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\n18\n10\n,\n2\n2\nx\ny\nS\n\n\n= \n\n\n\nPunkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu\n3\ny\nx\n, więc\n10\n18\n2\n2\n3\ny\nx\n= ⋅\n,\n10\n3\n54\ny\nx\n,\n3\n64\ny\nx\nProsta prostopadła do prostej o równaniu\n3\n64\ny\nx\ni przechodząca przez punkt A ma\nrównanie postaci:\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n3\n64\ny\nx\ni\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\n. Stąd otrzymujemy\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\n,\n1\n3\n3\n74\n6\nx\nx\n,\n10\n3\n68\nx =\n,\n683\n34 3\n102\n5\n5\n10\nB\nx\n⋅\n⋅\nZatem druga współrzędna punktu B jest równa\n102\n14\n5\n5\n3\n64\ny = ⋅\n, czyli\n(\n)\n102\n14\n5\n5\n,\nB =\nUwaga\nRównanie\n3\n64\ny\nx\n, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie\nprostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej\nprostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi\nrównoległymi oraz odległość punktu od prostej.\nPunkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m\nrównoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa\nodległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci\n3\ny\nx\nc\n+ . Ponieważ\nodległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od\nsymetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie\n(\n)\n3\n18\n10\n0\n10\n10\nc\n⋅-\n,\nStąd\n64\nc =\n, więc\n64\nc = -\nlub\n64\nc =\nOtrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach\n3\n64\ny\nx\noraz\n3\n64\ny\nx\n. Drugie z tych\nrównań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż\n(\n)\n3\n18\n64\n10\n⋅-\n, więc\nprosta m ma równanie postaci\n3\n64\ny\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\frac{102}{5},\\ -\\frac{14}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - układ warunków symetralnej\n\nSymetralna odcinka \\(AB\\) to prosta, która:\n1. **Przechodzi przez środek** odcinka \\(AB\\)\n2. **Jest prostopadła** do odcinka \\(AB\\)\n\nNiech \\(B = (x_B, y_B)\\). Korzystamy z obu warunków.\n\n**Warunek 1: środek odcinka \\(AB\\) leży na prostej \\(y = 3x\\)**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):\n\\[M = \\left(\\frac{-18 + x_B}{2},\\ \\frac{10 + y_B}{2}\\right)\\]\n\nWarunek \\(M \\in \\{y = 3x\\}\\):\n\\[\\frac{10 + y_B}{2} = 3 \\cdot \\frac{-18 + x_B}{2}\\]\n\\[10 + y_B = -54 + 3x_B\\]\n\\[\\boxed{y_B = 3x_B - 64} \\tag{1}\\]\n\n**Warunek 2: prosta \\(AB\\) jest prostopadła do \\(y = 3x\\)**\n\nNachylenie \\(y = 3x\\) wynosi \\(a_1 = 3\\). Dla prostopadłości potrzeba \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zatem nachylenie \\(AB\\) wynosi \\(a_2 = -\\frac{1}{3}\\).\n\nNachylenie odcinka \\(AB\\):\n\\[\\frac{y_B - 10}{x_B - (-18)} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[3(y_B - 10) = -(x_B + 18)\\]\n\\[3y_B - 30 = -x_B - 18\\]\n\\[\\boxed{y_B = \\frac{-x_B + 12}{3}} \\tag{2}\\]\n\n**Rozwiązanie układu (1) i (2):**\n\n\\[3x_B - 64 = \\frac{-x_B + 12}{3}\\]\n\\[9x_B - 192 = -x_B + 12\\]\n\\[10x_B = 204\\]\n\\[x_B = \\frac{204}{10} = \\frac{102}{5}\\]\n\nPodstawiamy do (1):\n\\[y_B = 3 \\cdot \\frac{102}{5} - 64 = \\frac{306}{5} - \\frac{320}{5} = -\\frac{14}{5}\\]\n\n**Wynik: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - odbicie symetryczne przez prostą\n\nJeśli \\(y = 3x\\) jest symetralną \\(AB\\), to \\(B\\) jest **odbiciem punktu \\(A\\) względem prostej** \\(y = 3x\\), czyli \\(3x - y = 0\\).\n\nWzór na stopę prostopadłej z punktu \\(A = (x_0, y_0)\\) na prostą \\(Ax + By + C = 0\\):\n\nProsta prostopadła do \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)) przechodząca przez \\(A = (-18, 10)\\) ma nachylenie \\(-\\frac{1}{3}\\):\n\\[y - 10 = -\\frac{1}{3}(x + 18)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{3}x - 6 + 10 = -\\frac{1}{3}x + 4\\]\n\nPunkt przecięcia z \\(y = 3x\\) (to jest środek \\(M\\)):\n\\[3x = -\\frac{1}{3}x + 4\\]\n\\[\\frac{10}{3}x = 4 \\implies x = \\frac{6}{5},\\quad y = \\frac{18}{5}\\]\n\nŚrodek \\(M = \\left(\\frac{6}{5}, \\frac{18}{5}\\right)\\) to **średnia** współrzędnych \\(A\\) i \\(B\\):\n\\[x_B = 2 \\cdot \\frac{6}{5} - (-18) = \\frac{12}{5} + \\frac{90}{5} = \\frac{102}{5}\\]\n\\[y_B = 2 \\cdot \\frac{18}{5} - 10 = \\frac{36}{5} - \\frac{50}{5} = -\\frac{14}{5}\\]\n\n**Wynik identyczny: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\) ✓**\n\n## Weryfikacja\n\n- Środek \\(M = \\left(\\frac{6}{5}, \\frac{18}{5}\\right)\\): czy \\(\\frac{18}{5} = 3 \\cdot \\frac{6}{5}\\)? Tak ✓\n- Nachylenie \\(AB\\): \\(\\dfrac{-\\frac{14}{5} - 10}{\\frac{102}{5} + 18} = \\dfrac{-\\frac{64}{5}}{\\frac{192}{5}} = -\\frac{1}{3}\\), a \\(3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -1\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy przy warunku, że środek \\(AB\\) leży na symetralnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (nachylenia kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy przy wyznaczaniu kierunku \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów stosuje tylko **jeden** warunek (np. tylko prostopadłość) i zapomina o warunku na środek - otrzymują wtedy prostą, a nie konkretny punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, co to \"symetralna\" - to nie jest prosta **równoległa** do \\(AB\\), lecz prostopadła i przez środek. Sprawdź czy pamiętasz oba warunki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wychodzą ułamki, nie porzucaj obliczeń - na maturze wynik ułamkowy jest w pełni poprawny. Zawsze warto zweryfikować środek, wstawiając do \\(y = 3x\\).\n\n**Odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right) = (20{,}4;\\ -2{,}8)\\)**\n\n### Sposób 1 - Odbicie punktu \\(A\\) względem prostej\nSymetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek. \\(B\\) jest odbiciem \\(A\\) względem prostej \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)).\n\nWzór na odbicie \\((x_0, y_0)\\) względem \\(ax+by+c=0\\):\n\\[x' = x_0 - \\dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}, \\quad y' = y_0 - \\dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}.\\]\nDla \\(3x-y=0\\): \\(a=3, b=-1, c=0\\). Obliczamy \\(3\\cdot(-18) + (-1)\\cdot 10 = -64\\), oraz \\(a^2+b^2 = 10\\):\n\\[x' = -18 - \\dfrac{2\\cdot 3\\cdot(-64)}{10} = -18 + \\dfrac{384}{10} = -18 + 38{,}4 = 20{,}4 = \\tfrac{102}{5}\\]\n\\[y' = 10 - \\dfrac{2\\cdot(-1)\\cdot(-64)}{10} = 10 - 12{,}8 = -2{,}8 = -\\tfrac{14}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nNiech \\(B = (x, y)\\). Dwa warunki:\n1. Środek \\(AB\\) leży na \\(y = 3x\\): \\(\\tfrac{10+y}{2} = 3\\cdot\\tfrac{-18+x}{2}\\) → \\(y = 3x - 64\\).\n2. \\(AB \\perp\\) symetralnej: iloczyn skalarny wektora \\(AB\\) i wektora kierunkowego \\((1, 3)\\) = 0:\n\\[(x+18)\\cdot 1 + (y-10)\\cdot 3 = 0 \\Rightarrow x + 3y = 12.\\]\n\nPodstawiamy \\(y = 3x-64\\) do \\(x + 3y = 12\\):\n\\[x + 3(3x-64) = 12 \\Rightarrow 10x = 204 \\Rightarrow x = \\tfrac{102}{5}.\\]\n\\[y = 3\\cdot\\tfrac{102}{5} - 64 = \\tfrac{306}{5} - \\tfrac{320}{5} = -\\tfrac{14}{5}.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Dany jest punkt
(
)
18,10
A = -
. Prosta o równaniu
3
y
x
jest symetralną odcinka
AB Wyznacz
współrzędne punktu .
B

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Dany jest punkt A = (-18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza
\n

równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do
prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany
punkt (8.3). Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia
dwóch prostych (8.4). Zdający wyznacza współrzędne środka
odcinka (8.5).
Schemat punktowania
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :
102
14
,
5
5
B






Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.
18
6
2
5
B
x
i 10
18
2
5
B
y
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną
szukanego punktu B , np.
3
3
4
32 10
5
10
x
x +
lub
(
)
3 12
3
32 10
5
10
y
y
lub
(
)
1
3
3
64
18
10
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
oraz obliczy odległość d punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
32 10
5
d =
albo
• obliczy współrzędne środka odcinka AB:
6
5
x =
i
18
5
y =
,
albo
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
oraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do
symetralnej odcinka AB:
3
64
y
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
albo
• obliczy odległość d punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
32 10
5
d =
,
albo
• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB
w zależności od jednej zmiennej, np.: (
)
(
)
2
2
18
3
10
x
x
,
albo
• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca
B odcinka AB:
(
)
10
18
2
2
,
B
B
y
x
S
,
albo
• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do
symetralnej odcinka AB:
3
64
y
x
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania
\n

i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie
co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli jedynym błędem jest:
\n

a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
b) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
c) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
d) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
e) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „
a
b
a
b
”, to zdający
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej
przez punkt A :
1
3
y
x
b
Punkt A należy do prostej
1
3
y
x
b
, więc
(
)
1
3
10
18
b

\n\n

4
b =
Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej
3
y
x
i prostej AB:
1
3
3
4
y
x
y
x



Wtedy
1
3
3
4
x
x
Zatem
6
5
x =
i
18
5
y =
, czyli
6 18
,
5
5
S


= 



Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc
18
6
2
5
B
x
i 10
18
2
5
B
y
Stąd
102
5
B
x =
i
14
5
B
y = -
, czyli
102
14
,
5
5
B






II sposób („odległość punktu od prostej”)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:
1
3
y
x
b
Wtedy
(
)
1
3
10
18
b

\n\n

4
b =
. Zatem równanie prostej AB ma postać:
1
3
4
y
x
Punkt B należy do tej prostej, więc
(
)
1
3
,
4
B
x
x
Obliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu
3
y
x
:
(
)
3
18
1 10
32 10
5
10
⋅-
-⋅
Ponieważ prosta o równaniu
3
y
x
jest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu
(
)
1
3
,
4
B
x
x
od prostej o równaniu
3
y
x
jest także równa 32 10
5
Zatem otrzymujemy równanie:
3
3
4
32 10
5
10
x
x +
, stąd 10
3
4
64
x -
Równanie to jest równoważne alternatywie równań
10
3
4
64
x -
lub 10
3
4
64
x -
Stąd
102
5
x =
lub
18
x = -
Obliczamy współrzędne punktu
102
14
,
5
5
B






Uwaga
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej
1
3
4
y
x
, tj. prostej prostopadłej do
prostej o równaniu
3
y
x
, na której leży punkt
(
)
18,10
A = -
, obliczyć odległość
32 10
5
d =
punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
i zapisać równanie z jedną niewiadomą
(
)
(
)
2
2
32 10
18
3
10
5
x
x
, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.
III sposób
Niech
(
)
,
B
x y
będzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są
równe
18
10
,
2
2
x
y
S


= 



Punkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu
3
y
x
, więc
10
18
2
2
3
y
x
= ⋅
,
10
3
54
y
x
,
3
64
y
x
Prosta prostopadła do prostej o równaniu
3
64
y
x
i przechodząca przez punkt A ma
równanie postaci:
(
)
1
3
18
10
y
x
Punkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań
3
64
y
x
i
(
)
1
3
18
10
y
x
. Stąd otrzymujemy
(
)
1
3
3
64
18
10
x
x
,
1
3
3
74
6
x
x
,
10
3
68
x =
,
683
34 3
102
5
5
10
B
x
⋅
⋅
Zatem druga współrzędna punktu B jest równa
102
14
5
5
3
64
y = ⋅
, czyli
(
)
102
14
5
5
,
B =
Uwaga
Równanie
3
64
y
x
, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie
prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej
prostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi
równoległymi oraz odległość punktu od prostej.
Punkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m
równoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa
odległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci
3
y
x
c

\n\n

odległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od
symetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie
(
)
3
18
10
0
10
10
c
⋅-
,
Stąd
64
c =
, więc
64
c = -
lub
64
c =
Otrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach
3
64
y
x
oraz
3
64
y
x
. Drugie z tych
równań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż
(
)
3
18
64
10
⋅-
, więc
prosta m ma równanie postaci
3
64
y
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\frac{102}{5},\\ -\\frac{14}{5}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - układ warunków symetralnej

\n

Symetralna odcinka \\(AB\\) to prosta, która:

\n
  1. Przechodzi przez środek odcinka \\(AB\\)
  2. Jest prostopadła do odcinka \\(AB\\)
\n

Niech \\(B = (x_B, y_B)\\). Korzystamy z obu warunków.

\n

Warunek 1: środek odcinka \\(AB\\) leży na prostej \\(y = 3x\\)

\n

Środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):
\\[M = \\left(\\frac{-18 + x_B}{2},\\ \\frac{10 + y_B}{2}\\right)\\]

\n

Warunek \\(M \\in \\{y = 3x\\}\\):
\\[\\frac{10 + y_B}{2} = 3 \\cdot \\frac{-18 + x_B}{2}\\]
\\[10 + y_B = -54 + 3x_B\\]
\\[\\boxed{y_B = 3x_B - 64} \\tag{1}\\]

\n

Warunek 2: prosta \\(AB\\) jest prostopadła do \\(y = 3x\\)

\n

Nachylenie \\(y = 3x\\) wynosi \\(a_1 = 3\\). Dla prostopadłości potrzeba \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zatem nachylenie \\(AB\\) wynosi \\(a_2 = -\\frac{1}{3}\\).

\n

Nachylenie odcinka \\(AB\\):
\\[\\frac{y_B - 10}{x_B - (-18)} = -\\frac{1}{3}\\]
\\[3(y_B - 10) = -(x_B + 18)\\]
\\[3y_B - 30 = -x_B - 18\\]
\\[\\boxed{y_B = \\frac{-x_B + 12}{3}} \\tag{2}\\]

\n

Rozwiązanie układu (1) i (2):

\n

\\[3x_B - 64 = \\frac{-x_B + 12}{3}\\]
\\[9x_B - 192 = -x_B + 12\\]
\\[10x_B = 204\\]
\\[x_B = \\frac{204}{10} = \\frac{102}{5}\\]

\n

Podstawiamy do (1):
\\[y_B = 3 \\cdot \\frac{102}{5} - 64 = \\frac{306}{5} - \\frac{320}{5} = -\\frac{14}{5}\\]

\n

Wynik: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\)

\n

Sposób 2 - odbicie symetryczne przez prostą

\n

Jeśli \\(y = 3x\\) jest symetralną \\(AB\\), to \\(B\\) jest odbiciem punktu \\(A\\) względem prostej \\(y = 3x\\), czyli \\(3x - y = 0\\).

\n

Wzór na stopę prostopadłej z punktu \\(A = (x_0, y_0)\\) na prostą \\(Ax + By + C = 0\\):

\n

Prosta prostopadła do \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)) przechodząca przez \\(A = (-18, 10)\\) ma nachylenie \\(-\\frac{1}{3}\\):
\\[y - 10 = -\\frac{1}{3}(x + 18)\\]
\\[y = -\\frac{1}{3}x - 6 + 10 = -\\frac{1}{3}x + 4\\]

\n

Punkt przecięcia z \\(y = 3x\\) (to jest środek \\(M\\)):
\\[3x = -\\frac{1}{3}x + 4\\]
\\[\\frac{10}{3}x = 4 \\implies x = \\frac{6}{5},\\quad y = \\frac{18}{5}\\]

\n

Środek \\(M = \\left(\\frac{6}{5}, \\frac{18}{5}\\right)\\) to średnia współrzędnych \\(A\\) i \\(B\\):
\\[x_B = 2 \\cdot \\frac{6}{5} - (-18) = \\frac{12}{5} + \\frac{90}{5} = \\frac{102}{5}\\]
\\[y_B = 2 \\cdot \\frac{18}{5} - 10 = \\frac{36}{5} - \\frac{50}{5} = -\\frac{14}{5}\\]

\n

Wynik identyczny: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5},\\ -\\dfrac{14}{5}\\right)\\) ✓

\n

Weryfikacja

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy przy warunku, że środek \\(AB\\) leży na symetralnej.

\n

Warunek prostopadłości prostych (nachylenia kierunkowe):
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu kierunku \\(AB\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów stosuje tylko jeden warunek (np. tylko prostopadłość) i zapomina o warunku na środek - otrzymują wtedy prostą, a nie konkretny punkt.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, co to "symetralna" - to nie jest prosta równoległa do \\(AB\\), lecz prostopadła i przez środek. Sprawdź czy pamiętasz oba warunki!
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli wychodzą ułamki, nie porzucaj obliczeń - na maturze wynik ułamkowy jest w pełni poprawny. Zawsze warto zweryfikować środek, wstawiając do \\(y = 3x\\).
\n

Odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right) = (20{,}4;\\ -2{,}8)\\)

\n
Sposób 1 - Odbicie punktu \\(A\\) względem prostej
\n

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek. \\(B\\) jest odbiciem \\(A\\) względem prostej \\(y = 3x\\) (czyli \\(3x - y = 0\\)).

\n

Wzór na odbicie \\((x_0, y_0)\\) względem \\(ax+by+c=0\\):
\\[x' = x_0 - \\dfrac{2a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}, \\quad y' = y_0 - \\dfrac{2b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}.\\]
Dla \\(3x-y=0\\): \\(a=3, b=-1, c=0\\). Obliczamy \\(3\\cdot(-18) + (-1)\\cdot 10 = -64\\), oraz \\(a^2+b^2 = 10\\):
\\[x' = -18 - \\dfrac{2\\cdot 3\\cdot(-64)}{10} = -18 + \\dfrac{384}{10} = -18 + 38{,}4 = 20{,}4 = \\tfrac{102}{5}\\]
\\[y' = 10 - \\dfrac{2\\cdot(-1)\\cdot(-64)}{10} = 10 - 12{,}8 = -2{,}8 = -\\tfrac{14}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

Niech \\(B = (x, y)\\). Dwa warunki:

\n
  1. Środek \\(AB\\) leży na \\(y = 3x\\): \\(\\tfrac{10+y}{2} = 3\\cdot\\tfrac{-18+x}{2}\\) → \\(y = 3x - 64\\).
  2. \\(AB \\perp\\) symetralnej: iloczyn skalarny wektora \\(AB\\) i wektora kierunkowego \\((1, 3)\\) = 0:
\n

\\[(x+18)\\cdot 1 + (y-10)\\cdot 3 = 0 \\Rightarrow x + 3y = 12.\\]

\n

Podstawiamy \\(y = 3x-64\\) do \\(x + 3y = 12\\):
\\[x + 3(3x-64) = 12 \\Rightarrow 10x = 204 \\Rightarrow x = \\tfrac{102}{5}.\\]
\\[y = 3\\cdot\\tfrac{102}{5} - 64 = \\tfrac{306}{5} - \\tfrac{320}{5} = -\\tfrac{14}{5}.\\]

\n

Odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$B = \\left(-\\dfrac{102}{5}, -\\dfrac{14}{5}\\right)$

"}]}